Étude des fonctions 1 bac exercices corrigés

Étude des fonctions 1 bac exercices corrigés

Étude des fonctions 1 bac exercices corrigés.(première s/ 1ère année bac)

Exercice 1

Soit la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = sinx+1+x2−1/√x2+1−1

    1. Montrer que Dƒ = *.
    2. Calculer limx→0 ƒ(x) et limx→0+ ƒ(x) puis interpréter géométriquement les résultats obtenus.
    1. Montrer que : limx→+∞ sinx/x = 0.
    2. Déduire limx→+∞ ƒ(x) puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  1. Calculer limx→0 x.ƒ(x) .
  2. Résoudre dans * l’équation : ƒ(x) = 1.
  3. Montrer que :

(∀x*) , ∣x−1/√x2+1−1 ≤ ƒ(x) ≤ √x2+2−1/√x2+1−1

Exercice 2  

On considère la fonction numérique g définie sur par :

g(x) = 1/4(x3 − 3x − 18)

  1. Étudier les variations de la fonction g.
    1. Montrer que la courbe (Cg) admet un unique point d’inflexion A qu’on déterminera.
    2. Écrire l’équation de la tangente (T) a la courbe (Cg) au point A.
  2. Étudier les branches infinies de la courbe (Cg).
  3. Construire (T) et la courbe (Cg) dans un repère orthonormé ( O, i , j ).
  • On considère la fonction numérique ƒ définie par :

ƒ(x) = 1/3(x3+9/x2−1)

  1. a) Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.

b) Déterminer les limites de ƒ aux bornes de D.

2. a) Montrer que pour tout xD :

ƒ′(x) = 4/3 × xg(x)/(x2 − 1)2

b) Dresser le tableau de variations de ƒ.

3. Étudier la position relative de la courbe (Cƒ) et son asymptote oblique (∆).

4. Construire (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

5. Discuter suivant les valeurs du paramètres réel m le nombre de solutions de l’équation :

x3 − 3mx2 + 3m + 9 = 0.

6. A partir de la courbe (Cƒ) construire la courbe représentative de la fonction h : x → ∣ƒ(x)∣.

Exercice 3 

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = x − 1 − 1/x + 1/x2

et soit (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

  1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ puis déterminer le limite de ƒ aux bornes de D.
  2. Étudier les branches infinies de la courbe (Cƒ).
  3. Étudier la position relative de la courbe (Cƒ) et son asymptote oblique.
  4. a) Montrer que pour tout x * :

ƒ′(x) = (x − 1)(x2 + x + 2)/x3

b) Étudier les variations de la fonction ƒ.

5. Montrer que le point I d’abscisse 3 est un point d’inflexion pour la courbe (Cƒ).

6. Vérifier que pour tout x* :

ƒ(x) = (x − 1/x)(1 − 1/x)

et en déduire les points d’intersection de la courbe (Cƒ) avec l’axe des abscisses.

7. Construire la courbe (Cƒ).

8. Déterminer le signe de ƒ(x) pour tout x*.

9. Soit g la fonction numérique définie par :

g(x) = |x − 1/x| . |1 − 1/x|

a) Étudier la dérivabilité de la fonction g en 1 et −1, puis interpréter les résultats obtenus.

b) En utilisant la courbe (Cƒ), construire la courbe (Cg) de al fonction g.

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Correction de la série N°1

Exercice 1

Soit la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = sinx+1+x2−1/√x2+1−1

  1. a) Montrons que : Dƒ = *.

Dƒ = {x/ sin x + 1 + x2 0 et √x2+1 − 10 et x2 + 10}

Soit x.

∣sin x∣ ≤ 1

⇔  − 1 ≤ sin x 1

⇔  0 ≤ sin x + 1 2

⇔  x2 ≤ sin x + 1 + x2 2 + x2

Donc

(∀x) , sin x + 1 + x2 0 et (∀x) , x2 + 10

Soit x.

√x2+1 − 1 = 0 ⇔ √x2+1 = 1

⇔ x2 + 1 = 1

⇔  x2 = 0

⇔  x = 0.

Donc

Dƒ = {x/ x ≠ 0}

= *

b) Calculons : limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x).

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Étude des fonctions 1 bac exercices corrigés (Série N°2)

Exercice 1

On considère la fonction F définie sur [0, π/2] par : F(x) = 4x(π − x) − πsin2x.

  1. Montrer que F deux fois dérivables et que : F″(x) = −2(4 + πcos(2x)).
  2. Étudier le sens de variations de F′ déduire le signe de F′ sur [0, π/2] .
  3. En déduire que : (∀x ∈ [0, π/2]) , sin2x4/πx(π − x).
Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par :

{ ƒ(x) = √x/x2+1 , x0 et ƒ(x) = √x2+1 − 1, x 0

et soit (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

  1. a) Calculer : limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).

b) Étudier la dérivabilité de la fonction ƒ au point x0 = 0 et interpréter les résultats obtenus.

2. Étudier les branches infinies de la courbe (Cƒ).

3. a) Calculer ƒ′(x) pour tout x *.

b) Dresser le tableau de variations de ƒ.

4. Construire la courbe (Cƒ).

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Correction de la série N°2

Exercice 1

On considère la fonction F définie sur [0, π/2] par : F(x) = 4x(π − x) − πsin2x.

  1. La fonction F est deux fois dérivable sur [0, π/2] comme la somme de deux fonctions deux fois dérivables sur [0, π/2] . (x → 4x(π − x) et x−πsin2x).

Soit x ∈ [0, π/2] .

F′(x) = 4(π − x) − 4x − 2πsin x. cos x

= 4(π − 2x) − πsin(2x

et

F″(x) = − 8 − π × 2cos(2x)

= −8 −2πcos(2x)

= −2(4 + πcos(2x))

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , F″(x) = −2(4 + πcos(2x))

2. ∎ Soit x ∈ [0, π/2] .

∣cos(2x)∣ ≤ 1

⇔  −1 ≤ cos(2x) ≤ 1

⇔  −π πcos(2x) ≤ π

⇔ 4 − π4 + πcos(2x) ≤ 4 + π 

⇔ −2(4 + π) ≤ −2(4 + πcos(2x)) ≤ −2(4 − π)

⇔  −2(4 + π) ≤ F″(x) ≤ −2(4 − π)

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , F″(x) < 0.

Ceci signifie que la fonction F′ est strictement décroissante sur [0, π/2] .

∎ Soit x ∈ [0, π/2] .

0x π/2F′ est strictement décroissante F′(π/2) ≤ F′(x) ≤ F′(0) ⇒  0F′(x) ≤ 4π 

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , F′(x) ≥ 0

Ceci signifie que F′ est positive sur [0, π/2] .

3. On déduit que : (∀x ∈ [0, π/2]) , sin2x4/πx(π − x).

Comme la fonction F′ est positive sur [0, π/2] et puisque elle ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors la fonction F est strictement croissante sur [0, π/2].

Soit x ∈ [0, π/2] .

0x π/2

⇒  F(0) ≤ F(x) ≤ F(π/2)

⇒  0 F(x) ≤ π2 − π 

Donc

F(x) ≥ 0.

Par suite

F(x) ≥ 04x(π − x) − πsin2x0

πsin2x4x(π − x)

⇔ sin2x 4/πx(π − x)

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , sin2x4/πx(π − x).

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par :

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Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur * par :

ƒ(x) = 2 − √x2+3/x

    1. Calculer limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x).
    2. En déduire que (Cƒ) admet une asymptote verticale qu’on déterminera.
  1. Montrer que limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3, puis interpréter géométriquement chaque résultat.
  2. a) Montrer que :

(∀x*) , ƒ′(x) = 3/x2√x2+3

puis dresser le tableau de variations complet de ƒ en justifiant votre réponse.

b) Écrire les équations des deux tangentes (T1) et (T2) à (Cƒ) aux points d’abscisses x1 = 1 et x2 = − 1 respectivement.

4. Déterminer les points d’intersections de (Cƒ) avec l’axe des abscisses.

5. Construire (Cƒ) dans un repère orthonormé (O, i , j).

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie sur par :

ƒ(x) = 1 − x + x/√1+x2

  1. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
    1. Montrer que : limx→+∞ ƒ(x) − (2 − x) = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (D) que l’on déterminera.
    2. Justifier que (Cƒ) est au dessous de (D) sur l’intervalle [0, +∞[ .
    1. Montrer que : limx→−∞ ƒ(x) + x = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de −∞ une asymptote oblique (∆) que l’on déterminera.
    2. Étudier la position relative de (Cƒ) par rapport à (∆) sur l’intervalle ]−∞, 0].
  2. a) Montrer que :

(∀x*) , ƒ′(x) = 1/(1+x2)√1+x2 − 1

b) Calculer ƒ′(0) puis justifier que ƒ est strictement décroissante sur .

c) Dresser le tableau de variations complet de ƒ.

5. Construire la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

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Correction du devoir surveillé
Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur * par :

ƒ(x) = 2 − √x2+3/x

  1. a) Calculons limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x)

limx→0+ ƒ(x) = limx→0+ 2 − √x2+3/x = −∞, car : limx→0+ √x2+3/x = +∞ 

et

limx→0 ƒ(x) = limx→0 2 − √x2+3/x = +∞, car : limx→0 √x2+3/x = −∞ 

b) Comme limx→0+ ƒ(x) = +∞ et limx→0 ƒ(x) = −∞, alors (Cƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.

2. Montrons que : limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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2 réflexions sur « Étude des fonctions 1 bac exercices corrigés »

  1. Bonjour chers Mr, c’est avec plaisir que je suis chaque jour vos publications sur le site à travers Facebook. Et je suis très émue, je trouve toujours du plaisir à apprendre davantage les mathématiques. S’il est possible, je souhaiterais avoir des livres ou annales de mathématiques pour le second cycle des lycées. Cordialement. Un enseignement du BURKINA FASO

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