Limites d’une fonction exercices corrigés

Limites d’une fonction exercices corrigés. (Première s/1ère année bac)

Exercice 1 (Limites d’une fonction exercices corrigés)

Calculer les limites suivantes :

lim_x→1 3x²−2x−1/x−1 , lim_x→1 x⁴−2x³+x²+x−1/x²+x−2 , lim_x→0 √4−x−√4+x/x , lim_x→0 √x+1−1/x²−x

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

lim_x→2 x²ⁿ−4ⁿ/x²−3x+2 , lim_x→0 √x+1+√x+4−3/x , lim_x→3 √6+x−3/x²−x−6 , lim_x→0 1−x²E(1/x)/1+x²E(1/x)

Exercice 3

Calculer les limites suivantes :

lim_x→−∞ √x+√x−√x , lim_{∣x∣→+∞} 3x−1+√9x²+3x−2 , lim_x→+∞ x+2−√x²−x+6

Exercice 4

Calculer les limites suivantes :

lim_x→π/4 2cos x−√2/x−π/4 , lim_x→1 sin(πx)/x−1 , lim_x→π/4 1−√2cosx/1−√2sin x et lim_x→0 xcos x +sin x/√x+1−1

Exercice 5

Soit n ∈ ℕ*, on considère la fonction numérique ƒ_n définie par :

ƒ_n(x) = n − sin x − sin²x − sin³x − … − sinⁿx/1−sin²x

1. Déterminer D_ƒ.
2. Montrer que :

lim_x→π/2 1−sin^kx/1−sin²x = k/2 , ∀k ∈  {1, …,n}

3. Déduire que : lim_x→π/2 ƒ_n(x) = n(n+1)/4

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Correction des exercices sur les limites d’une fonction

Exercice 1

• lim_x→1 3x²−2x−1/x−1 = 0/0 (F. I)

lim_x→1 3x²−2x−1/x−1 = lim_x→1 (3x+1)(x−1)/x−1 = lim_x→1 3x+1 = 3 × 1 +1 = 4

• lim_x→1 x⁴−2x³+x²+x−1/x²+x−2 = 0/0 (F. I)

lim_x→1 x⁴−2x³+x²+x−1/x²+x−2 = lim_x→1 (x−1)(x³−x²+1)/(x+2)(x−1) = lim_x→1 x³−x²+1/x+2 = −1+1+1/1+2 = 1/3

• lim_x→0 √4−x−√4+x/x = 0/0 (F. I)

lim_x→0 √4−x−√4+x/x = lim_x→0 (√4−x−√4+x)(√4−x+√4+x)/x(√4−x+√4+x)

= lim_x→0 (4−x)−(4+x)/x(√4−x+√4+x)

= lim_x→0 −2x/(√4−x+√4+x)

= lim_x→0 −2/√4−x+√4+x = −2/√4−0+√4+0 = −1/2

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Limites d’une fonction exercices corrigés – série (N°2)

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

lim_x→1 2x²−3x+1/√x−1 , lim_x→0 2−√x+4/1−√x+1 et lim_x→+∞ x + 2 − √x²−x+6

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie par : { ƒ(x) = 2/3√x+1 si x ≥ − 1 et ƒ(x) = 1−x²/x+2 si x < − 1

1. Justifier que : D_ƒ = ℝ ∖ {−2}.
2. Calculer lim_{x→(−1)⁺} ƒ(x) et lim_{x→(−1)⁻} ƒ(x).
3. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→+∞ ƒ(x)/x.
4. Calculer lim_x→−∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x)/x.

Exercice 3

On considère la fonction ƒ définie sur [0, +∞[ par : ƒ(x) = 2+cosx/1+√x.

1. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x)∣ ≤ 3/√x.
2. En déduire que : lim_x→+∞ ƒ(x).

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par : ƒ(x) = x/√1+x²+x

1. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x) − 1/2∣ ≤ 1/x²
2. En déduire : lim_x→+∞ ƒ(x).

Exercice 5

Calculer la limite suivante : lim_x→0 1/x²(2/cosx + cosx − 3).

Exercice 6

On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = 1−x²E(1/x)/1+x²E(1/x).

1. Montrer que : ∀x > 1, ƒ(x) = 1.
2. Montrer que : (∀x ∈ ]1/2, 1]) , ƒ(x) = 1−x²/1+x².
3. Étudier la limite de la fonction ƒ en 1.
   1. Montrer que : (∀x ∈ ℝ*) , x − x² < x²E(1/x) ≤ x.
   2. Déduire que : lim_x→0 ƒ(x) = 1.

Exercice 7

Calculer : lim_x→5⁺ √x−√5/x−E(x) et lim_x→5⁻ √x−√5/x−E(x) .

Exercice 8

Soit ƒ une fonction définie par : { ƒ(x) = x²+(m + 1)x−3/x²+x si x < − 1 et ƒ(x) = −2x+b/√x²+2+1 si x ≥ −1

1. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).
2. Calculer suivant les valeurs de m, lim_{x→(−1)⁻} ƒ(x).
3. Calculer lim_{x→(−1)⁺} ƒ(x).
4. En déduire les valeurs de m et b pour que ƒ admette une limite en a = − 1.

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Correction de la série (N°2)

Exercice 1

∎ lim_x→1 2x²−3x+1/√x−1= 0/0 (F.I)

On a lim_x→1 2x²−3x+1/√x−1 = lim_x→1 (2x²−3x+1)(√x+1)/(√x−1)(√x+1)

et comme 2x² − 3x + 1 = (x − 1)(2x − 1) donc

lim_x→1 (2x − 1)(x − 1)(√x + 1)/x−1 = lim_x→1 (2x − 1)(√x + 1) = 2.

Exercice 3

On considère la fonction ƒ définie sur [0, +∞[ par : ƒ(x) = 2+cosx/1+√x.

1. Montrons que : (∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x)∣ ≤ 3/√x.

Soit x ∈ ]0, +∞[.

On a : ∣ƒ(x)∣ = ∣2+cosx/1+√x∣ = ∣2 + cosx∣ × ∣1/1+√x∣ = ∣2 + cosx∣ × 1/1+√x.

On a 1 + √x ≥ √x donc 1/1+√x ≤ 1/√x (1)

d’autre part, on a ∣2 + cosx∣ ≤ ∣2∣ + ∣cosx∣ ≤ 3 (2)

donc d’après (1) et (2) on déduit que ∣2 + cosx∣ × 1/1+√x ≤ 3/√x d’où

(∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x)∣ ≤ 3/√x.

2. On a lim_x→+∞ 3/√x = 0 et comme ∣ƒ(x) − 0∣ ≤ 3/√x pour tout x ∈ ]0, +∞[ donc d’après limites et ordre on déduit que

lim_x→+∞ ƒ(x) = 0

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par : ƒ(x) = x/√1+x²+x

1. Montrons que : (∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x) − 1/2∣ ≤ 1/x².

Soit x ∈ ]0, +∞[

On a

∣ƒ(x) − 1/2∣ = ∣x/√1+x²+x − 1/2∣

= ∣2x−(√x²+1 + x)/2(√x²+1 + x)∣

= ∣x − √x²+1/2(√x²+1 + x)∣

= ∣(x − √x²+1)(x + √x²+1)/2(√x²+1 + x)(x + √x²+1)∣

= ∣−1/2(√x²+1 + x)∣

= 1/2(√x²+1 + x)

comme √1+x² + x ≥ x alors (√1+x² + x)² ≥ x² donc 1/(√1+x² + x)² ≤ 1/x² d’où

1/2(√x²+1 + x) ≤ 1/2x² ≤ 1/x²

ce qui signifie que ∣ƒ(x) − 1/2∣ ≤ 1/x² donc

(∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x) − 1/2∣ ≤ 1/x².

2. On a lim_x→+∞ 1/x² = 0 et comme ∣ƒ(x) − 1/2∣ ≤ 1/x² pour tout x ∈ ]0, +∞[ donc d’après limites et ordre on déduit que

lim_x→+∞ ƒ(x) = 1/2

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Devoir surveillé sur les limites d’une fonction

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

lim_x→0 x+sin²x/1−cosx , lim_x→π/3 sin(3x)/1−2cosx , lim_x→π/3 √3cosx−sinx/sin3x et lim_x→−π/3 cosx/1+sinx

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ √x²+3x+mx (m ∈ ℝ) , lim_x→+∞ √x²ⁿ⁺¹/x−1 −2x (n ∈ ℕ*)

Exercice 3

On considère la fonction numérique ƒ définie par :

{ƒ(x) = √x− √1+x²/2+x ; x ≥ 0 et ƒ(x) = cosx−√2+sinx/x ; x ≺ 0

1. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x).
2. Calculer lim_x→0⁺ƒ(x) et lim_x→0⁻ƒ(x). Que peut-on conclure ?
   1. Montrer que : (∀x ∈ ]−∞, 0[), ∣ƒ(x)∣ ≤ 1+√3/∣x∣
   2. Déduire lim_x→−∞ ƒ(x).

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

{ƒ(x) = √x−1/2−√3+x si x ≻ 1 et ƒ(x) = √1−x/2x²+x−3 si x ≺ 1

1. Montrer que : D_ƒ = ]−∞, −3/2[⋃]−3/2, 1[⋃]1, +∞[
2. Calculer : lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).
3. Calculer : lim_x→1⁺ ƒ(x) et lim_x→1⁻ ƒ(x). Que peut-on conclure ?
4. Étudier la limite de la fonction ƒ au point x₁ = −3/2.

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Correction du devoir surveillé N1

Exercice 1

Calculons les limites suivantes :

• lim_x→0 x+sin²x/1−cosx = 0/0 (F.I)

lim_x→0 x+sin²x/1−cosx = lim_x→0 x²(1/x + sin²x/x²)/(1−cos²x/x²)×x²

= lim_x→0 1/x+(sinx/x)²/1−cos²x/x²

comme : lim_x→0 (sinx/x)² = 1 et lim_x→0 1−cosx/x² = 1/2, alors :

lim_x→0⁺ x+sin²x/1−cosx = +∞ et lim_x→0⁻ x+sin²x/1−cosx = −∞

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Vous pouvez aussi consulter :

• Limites et continuité cours terminale
• Démonstration des propriétés de la valeur absolue