Limites d'une fonction exercices corrigés

Limites d’une fonction exercices corrigés

Limites d’une fonction exercices corrigés.(première s/1ère année bac)

Exercice 1 (Limites d’une fonction exercices corrigés)

Calculer les limites suivantes :

limx→1 3x2−2x−1/x−1 , limx→1 x4−2x3+x2+x−1/x2+x−2 , limx→0 √4−x−√4+x/x , limx→0 √x+1−1/x2−x

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

limx→2 x2n−4n/x2−3x+2 , limx→0 √x+1+√x+4−3/x , limx→3 √6+x−3/x2−x−6 , limx→0 1−x2E(1/x)/1+x2E(1/x)

Exercice 3

Calculer les limites suivantes :

limx→−∞ √x+√x−√x , limx→+∞ 3x−1+√9x2+3x−2 , limx→+∞ x+2−√x2−x+6

Exercice 4

Calculer les limites suivantes :

limx→π/4 2cos x−√2/x−π/4 , limx→1 sin(πx)/x−1 , limx→π/4 1−√2cosx/1−√2sin x et limx→0 xcos x +sin x/√x+1−1

Exercice 5

Soit n*, on considère la fonction numérique ƒn définie par :

ƒn(x) = n − sin x − sin2x − sin3x − … − sinnx/1−sin2x

  1. Déterminer Dƒ.
  2. Montrer que :

limx→π/2 1−sinkx/1−sin2x = k/2 , ∀k ∈  {1, …,n}

3. Déduire que : limx→π/2 ƒn(x) = n(n+1)/4

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Correction des exercices sur les limites d’une fonction

Exercice 1

  • limx→1 3x2−2x−1/x−1 = 0/0 (F. I)

limx→1 3x2−2x−1/x−1 = limx→1 (3x+1)(x−1)/x−1 = limx→1 3x+1 = 3 × 1 +1 = 4

  • limx→1 x4−2x3+x2+x−1/x2+x−2 = 0/0 (F. I)

limx→1 x4−2x3+x2+x−1/x2+x−2 = limx→1 (x−1)(x3−x2+1)/(x+2)(x−1) = limx→1 x3−x2+1/x+2 = −1+1+1/1+2 = 1/3

  • limx→0 √4−x−√4+x/x = 0/0 (F. I)

limx→0 √4−x−√4+x/x = limx→0 (√4−x−√4+x)(√4−x+√4+x)/x(√4−x+√4+x)

= limx→0 (4−x)(4+x)/x(√4−x+√4+x)

= limx→0 −2x/(√4−x+√4+x)

= limx→0 −2/√4−x+√4+x = −2/√4−0+√4+0 = −1/2

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limites d’une fonction exercices corrigés – série (N°2)

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

limx→1 2x2−3x+1/√x−1 , limx→0 2−√x+4/1−√x+1 et limx→+∞ x + 2 − √x2−x+6

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie par : { ƒ(x) = 2/3√x+1 si x − 1 et ƒ(x) = 1−x2/x+2 si x < − 1

  1. Justifier que : Dƒ = ∖ {−2}.
  2. Calculer limx→(−1)+ ƒ(x) et limx→(−1) ƒ(x).
  3. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→+∞ ƒ(x)/x.
  4. Calculer limx→−∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x)/x.

Exercice 3

On considère la fonction ƒ définie sur [0, +∞[ par : ƒ(x) = 2+cosx/1+√x.

  1. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x)∣ ≤ 3/√x.
  2. En déduire que : limx→+∞ ƒ(x).

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par : ƒ(x) = x/√1+x2+x

  1. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x) − 1/2∣ ≤ 1/x2
  2. En déduire : limx→+∞ ƒ(x).

Exercice 5

Calculer la limite suivante : limx→0 1/x2(2/cosx + cosx − 3).

Exercice 6

On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = 1−x2E(1/x)/1+x2E(1/x).

  1. Montrer que : ∀x > 1, ƒ(x) = 1.
  2. Montrer que : (∀x ∈ ]1/2, 1]) , ƒ(x) = 1−x2/1+x2.
  3. Étudier la limite de la fonction ƒ en 1.
    1. Montrer que : (∀x*) , x − x2 < x2E(1/x) ≤ x.
    2. Déduire que : limx→0 ƒ(x) = 1.

Exercice 7

Calculer : limx→5+ √x−√5/x−E(x) et limx→5 √x−√5/x−E(x) .

Exercice 8

Soit ƒ une fonction définie par : { ƒ(x) = x2+(m + 1)x−3/x2+x si x < − 1 et ƒ(x) = −2x+b/√x2+2+1 si x −1

  1. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
  2. Calculer suivant les valeurs de m, limx→(−1) ƒ(x).
  3. Calculer limx→(−1)+ ƒ(x).
  4. En déduire les valeurs de m et b pour que ƒ admette une limite en a = − 1.

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Correction de la série (N°2)

Exercice 1

∎ limx→1 2x2−3x+1/√x−1= 0/0 (F.I)

On a limx→1 2x2−3x+1/√x−1 = limx→1 (2x2−3x+1)(√x+1)/(√x−1)(√x+1)

et comme 2x2 − 3x + 1 = (x − 1)(2x − 1) donc

limx→1 (2x − 1)(x − 1)(√x + 1)/x−1 = limx→1 (2x − 1)(√x + 1) = 2.

Exercice 3

On considère la fonction ƒ définie sur [0, +∞[ par : ƒ(x) = 2+cosx/1+√x.

  1. Montrons que : (∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x)∣ ≤ 3/√x.

Soit x ∈ ]0, +∞[.

On a : ∣ƒ(x)∣ = ∣2+cosx/1+√x∣ = ∣2 + cosx∣ × ∣1/1+√x∣ = ∣2 + cosx∣ × 1/1+√x.

On a 1 + √x √x donc 1/1+√x 1/√x (1)

d’autre part, on a ∣2 + cosx∣ ≤ ∣2∣ + ∣cosx∣ ≤ 3 (2)

donc d’après (1) et (2) on déduit que ∣2 + cosx× 1/1+√x3/√x d’où

(∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x)∣ ≤ 3/√x.

2. On a limx→+∞ 3/√x = 0 et comme ∣ƒ(x) − 0∣ ≤ 3/√x pour tout x ∈ ]0, +∞[ donc d’après limites et ordre on déduit que

limx→+∞ ƒ(x) = 0

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par : ƒ(x) = x/√1+x2+x

  1. Montrons que : (∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x) − 1/2∣ ≤ 1/x2.

Soit x ∈ ]0, +∞[

On a

∣ƒ(x) − 1/2∣ = ∣x/√1+x2+x − 1/2

= ∣2x−(√x2+1 + x)/2(√x2+1 + x)∣

= ∣x − √x2+1/2(√x2+1 + x)∣

= ∣(x − √x2+1)(x + √x2+1)/2(√x2+1 + x)(x + √x2+1)∣

= ∣−1/2(√x2+1 + x)∣

= 1/2(√x2+1 + x)

comme √1+x2 + xx alors (√1+x2 + x)2 x2 donc 1/(√1+x2 + x)2 1/x2 d’où

1/2(√x2+1 + x) ≤ 1/2x2 1/x2

ce qui signifie que ∣ƒ(x) − 1/2∣ ≤ 1/x2 donc

(∀x ∈ ]0, +∞[), ∣ƒ(x) − 1/2∣ ≤ 1/x2.

2. On a limx→+∞ 1/x2 = 0 et comme ∣ƒ(x) − 1/2∣ ≤ 1/x2 pour tout x ∈ ]0, +∞[ donc d’après limites et ordre on déduit que

limx→+∞ ƒ(x) = 1/2

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Devoir surveillé sur les limites d’une fonction

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

limx→0 x+sin2x/1−cosx , limx→π/3 sin(3x)/1−2cosx , limx→π/3 √3cosx−sinx/sin3x et limx→−π/3 cosx/1+sinx

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

limx→+∞ √x2+3x+mx (m) , limx→+∞ √x2n+1/x−1 −2x (n*)

Exercice 3

On considère la fonction numérique ƒ définie par :

{ƒ(x) = √x− √1+x2/2+x ; x0 et ƒ(x) = cosx√2+sinx/x ; x0

  1. Calculer limx→+∞ ƒ(x).
  2. Calculer limx→0+ƒ(x) et limx→0ƒ(x). Que peut-on conclure ?
    1. Montrer que : (∀x ∈ ]−∞, 0[), ∣ƒ(x)∣ ≤ 1+√3/∣x
    2. Déduire limx→−∞ ƒ(x).

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

{ƒ(x) = √x−1/2−√3+x si x1 et ƒ(x) = √1−x/2x2+x−3 si x1

  1. Montrer que : Dƒ = ]−∞, −3/2[⋃]−3/2, 1[⋃]1, +∞[
  2. Calculer : limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
  3. Calculer : limx→1+ ƒ(x) et limx→1 ƒ(x). Que peut-on conclure ?
  4. Étudier la limite de la fonction ƒ au point x1 = −3/2.

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Correction du devoir surveillé N1

Exercice 1

Calculons les limites suivantes :

  • limx→0 x+sin2x/1−cosx = 0/0 (F.I)

limx→0 x+sin2x/1−cosx = limx→0 x2(1/x + sin2x/x2)/(1−cos2x/x2)×x2

= limx→0 1/x+(sinx/x)2/1−cos2x/x2

comme : limx→0 (sinx/x)2 = 1 et limx→0 1−cosx/x2 = 1/2, alors :

limx→0+ x+sin2x/1−cosx = +∞ et limx→0 x+sin2x/1−cosx = −

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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