Les ensembles de nombres

Les ensembles de nombres tronc commun

Les ensembles de nombres tronc commun. Cours complet et bien détaillé sur les ensembles de nombres (1ère année lycée/ tronc commun scientifique/ seconde)

Les ensembles ℕ, ℤ, ID, ℚ et ℝ

Les nombres entiers naturels : ℕ
Définition 1

Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L’ensemble des nombres entiers naturels est noté .

= {0, 1, 2, 3, …}

Exemple 2
  • 4
  • −2
Les nombres entiers relatifs : ℤ
Définition 3

Un nombre entiers relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté .

= {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

Exemple 4
  • −2
  • 5
  • −0,334
Remarque 5

Tous les nombres relatifs des entiers naturels appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs . On dit que l’ensemble est inclus dans l’ensemble . On note .

Les nombres décimaux : ID
Définition 6

Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté ID.

ID = {a/10n⁄ a et n}

Exemple 7
  • 0,56 ∈ ID
  • 3 ∈ ID
  • 1/3 ∉ ID
  • 3/4 ∈ ID
Remarque 8

Tous les nombres de l’ensemble des entiers relatifs appartiennent à l’ensemble des nombres décimaux ID. On dit que l’ensemble est inclus dans l’ensemble ID. On note : ⊂ ID. On obtient :

⊂ ID

Les nombres rationnels : ℚ
Définition 9

Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’un quotient a/b avec a un entiers et b un entier non nul. L’ensemble des nombres rationnels est noté .

= {a/b ⁄ a et b*} 

Exemple 10
  • 1/3
  • 4
  • −4,8
  • √2
Remarque 11

Tous les nombres de l’ensembles des nombres décimaux ID appartiennent à l’ensembles des nombres rationnels . On dit que l’ensemble ID est inclus dans l’ensemble . On note : ID ⊂ . On obtient :

⊂ ID ⊂

Les nombres réels : ℝ
Définition 12

Un nombre est irrationnel lorsqu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.

Exemple 13
  • √2, √3 et √17… irrationnels.
  • π est un nombre irrationnel.
Définition 14

Un nombre réel est un nombre qui est soit rationnel soit irrationnel. est l’ensemble des nombres réels.

Exemple 15

2; 0; −5; 0; 67; 1/3; √3; et π appartiennent à .

Remarque 16

L’ensemble est inclus dans l’ensemble . On note : . On obtient :

⊂ ID ⊂

Ensemble vide
Définition 17

Un ensemble qui ne contient pas de nombre s’appelle l’ensemble vide et se note ∅.

Exercice d’application 18

On considère les nombres suivants :

225/5 ; √202/102 ; −√25 ; 4/3 ; 3√2/√8 ; √2 ; 7/23 ×5 ; 2,859 ;

Recopier et compléter le tableau suivant :

Les opérations dans l’ensemble ℝ

La multiplication dans ℝ

a, b et c des réels.

  1. a × b = b × a = ab = ba
  2. a(bc) = (ab)c = (ac)b = abc
  3. a × 1/a = 1/a × a = a/a = 1; (a ≠ 0)
  4. 1 × a = a × 1 = a
Les opérations sur les fractions

a, b, c et d des réels tels que : bd = 0.

  1. a/b + c/b = a+c/b et a/b + c/d = ad+bc/bd
  2. a/b − c/d = ad−bc/bd
  3. a/b × c/d = ac/bd
  4. a/b/c = a/b × 1/c = a/bc; {c ≠ 0 et b ≠ 0}
  5. k × a/b = ak/b
  6. a/b/c/d = a/b × d/c = ad/bc; {c ≠ 0 et b ≠ 0}
  7. a/b/c = a × c/b = ac/b; (b ≠ 0)
  8. Si a/b = c/d alors ad = bc; (produit en croix)
Exemple 20

Simplifier A, B et C .

Exemple 21

Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’expression A(x) existe, puis simplifier l’expression :

A(x) = 3/x+1 − 2/x

A(x) existe (A(x) ∈ ) si, et seulement si : x + 1 ≠ 0 et x ≠ 0. C’est-à-dire : x ≠ −1 et x ≠ 0.

Donc, A(x) existe si et seulement si x est diffèrent de −1 et 0.

A(x) = 3/x+1 − 2/x

= 3x−2(x+1)/x(x+1)

= 3x−2x−1/x(x+1)

= x−1/x(x+1)

Les racines carrées
Définition 22

Étant donné un nombre positif a, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est appelé racine carrée de a et noté √a. Autrement dit, si a est positif, √a est l’unique nombre positif tel que (√a)2 = a.

Exemple 23

√9 = 3 et (√3)2 = 3.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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