par Les ensembles de nombres tronc commun. Cours complet et bien détaillé sur les ensembles de nombres (1ère année lycée/ tronc commun scientifique/ seconde)
Les ensembles ℕ, ℤ, ID, ℚ et ℝ (Les ensembles de nombres tronc commun)
Les nombres entiers naturels : ℕ (Les ensembles de nombres tronc commun)
Définition 1
Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L’ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ.
ℕ = {0, 1, 2, 3, …}
Exemple 2
- 4 ∈ ℕ
- −2 ∉ ℕ
Les nombres entiers relatifs : ℤ
Définition 3
Un nombre entiers relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ.
ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
Exemple 4
- −2 ∈ ℤ
- 5 ∈ ℤ
- −0,334 ∉ ℤ
Remarque 5
Tous les nombres relatifs des entiers naturels ℕ appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs ℤ. On dit que l’ensemble ℕ est inclus dans l’ensemble ℤ. On note ℕ ⊂ ℤ.
Les nombres décimaux : ID
Définition 6
Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté ID.
ID = {a/10n⁄ a ∈ ℤ et n ∈ ℕ}
Exemple 7
- 0,56 ∈ ID
- 3 ∈ ID
- 1/3 ∉ ID
- 3/4 ∈ ID
Remarque 8
Tous les nombres de l’ensemble des entiers relatifs ℤ appartiennent à l’ensemble des nombres décimaux ID. On dit que l’ensemble ℤ est inclus dans l’ensemble ID. On note : ℤ ⊂ ID. On obtient :
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ID
Les nombres rationnels : ℚ
Définition 9
Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’un quotient a/b avec a un entiers et b un entier non nul. L’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ.
ℚ = {a/b ⁄ a ∈ ℤ et b ∈ ℕ*}
Exemple 10
- 1/3 ∈ ℚ
- 4 ∈ ℚ
- −4,8 ∈ ℚ
- √2 ∈ ℚ
Remarque 11
Tous les nombres de l’ensembles des nombres décimaux ID appartiennent à l’ensembles des nombres rationnels ℚ. On dit que l’ensemble ID est inclus dans l’ensemble ℚ. On note : ID ⊂ ℚ. On obtient :
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ID ⊂ ℚ
Les nombres réels : ℝ
Définition 12
Un nombre est irrationnel lorsqu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.
Exemple 13
- √2, √3 et √17… irrationnels.
- π est un nombre irrationnel.
Définition 14
Un nombre réel est un nombre qui est soit rationnel soit irrationnel. ℝ est l’ensemble des nombres réels.
Exemple 15
2; 0; −5; 0; 67; 1/3; √3; et π appartiennent à ℝ.
Remarque 16
L’ensemble ℚ est inclus dans l’ensemble ℝ. On note : ℚ ⊂ ℝ. On obtient :
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ID ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Ensemble vide
Définition 17
Un ensemble qui ne contient pas de nombre s’appelle l’ensemble vide et se note ∅.
Exercice d’application 18
On considère les nombres suivants :
225/5 ; √202/102 ; −√25 ; 4/3 ; 3√2/√8 ; √2 ; 7/23 ×5 ; 2,859 ;
Recopier et compléter le tableau suivant :
Les opérations dans l’ensemble ℝ (Les ensembles de nombres tronc commun)
La multiplication dans ℝ
a, b et c des réels.
- a × b = b × a = ab = ba
- a(bc) = (ab)c = (ac)b = abc
- a × 1/a = 1/a × a = a/a = 1; (a ≠ 0)
- 1 × a = a × 1 = a
Les opérations sur les fractions
a, b, c et d des réels tels que : bd = 0.
- a/b + c/b = a+c/b et a/b + c/d = ad+bc/bd
- a/b − c/d = ad−bc/bd
- a/b × c/d = ac/bd
- a/b/c = a/b × 1/c = a/bc; {c ≠ 0 et b ≠ 0}
- k × a/b = ak/b
- a/b/c/d = a/b × d/c = ad/bc; {c ≠ 0 et b ≠ 0}
- a/b/c = a × c/b = ac/b; (b ≠ 0)
- Si a/b = c/d alors ad = bc; (produit en croix)
Exemple 20
Simplifier A, B et C .
Exemple 21
Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’expression A(x) existe, puis simplifier l’expression :
A(x) = 3/x+1 − 2/x
A(x) existe (A(x) ∈ ℝ) si, et seulement si : x + 1 ≠ 0 et x ≠ 0. C’est-à-dire : x ≠ −1 et x ≠ 0.
Donc, A(x) existe si et seulement si x est diffèrent de −1 et 0.
A(x) = 3/x+1 − 2/x
= 3x−2(x+1)/x(x+1)
= 3x−2x−1/x(x+1)
= x−1/x(x+1)
Les racines carrées
Définition 22
Étant donné un nombre positif a, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est appelé racine carrée de a et noté √a. Autrement dit, si a est positif, √a est l’unique nombre positif tel que (√a)2 = a.
Exemple 23
√9 = 3 et (√3)2 = 3.
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