Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun. Cours complet sur le calcul trigonométrique 2(Équations, Inéquation et représentations graphiques des fonctions trigonométriques.)
La représentation graphique de fonction cos (Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun)
La fonction cosinus
Définition 1
La fonction cosinus, notée cos, est la fonction qui à tout réel x associe son cosinus.
cos ℝ → [−1, 1]
x → cos x
Sa courbe représentative est la suivante :
La représentation graphique de fonction sin (Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun)
La fonction sinus
Définition 2
La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui à tout réel x associe son sinus.
sin ℝ → [−1, 1]
x → sin x
Sa courbe représentative est la suivante :
Fonction périodique
Définition 3
Soit ƒ : Dƒ → ℝ et soit T ∈ ]0, +∞[. On dit que T est une période pour ƒ si :
pour tout x ∈ Dƒ , x + T ∈ Dƒ et ƒ(x + T) = ƒ(x)
Exemple 4
Pour tout x ∈ ℝ on a : (x + 2π) ∈ ℝ et sin(x + 2π) = sin x. Donc la fonction sin est périodique de période 2π.
Résolution d’équations trigonométriques (Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun)
Équation trigonométrique du type cos x = a.
Propriété 5
Soit a un réel.
On considère l’équation (E1) : cos x = a.
- Si : ∣a∣ ≻ 1, il n’y a pas de solution.
- Si : ∣a∣ ≤ 1, alors il existe α ∈ ℝ tel que a = cos α . L’équation devient alors cos x = cos α et on a donc :
{ x = α + 2kπ /k ∈ ℤ ou x = −α + 2kπ /k ∈ ℤ
Alors les solution d’équation (E1) dans ℝ sont les réels : α + 2kπ ou −α + 2kπ tel que k ∈ ℤ.
Exemple 6
Résoudre dans ℝ l’équation : (E) : cos x = 1/2.
Exemple 7
Résoudre dans ℝ l’équation : (E) : cos x = −√3/2.
Exemple 8
Résoudre dans [−π, π[ l’équation : (E) : cos x = √2/2.
Équations particulières
cos x = 1 ⇔ x = 2kπ / k ∈ ℤ
cos x = −1 ⇔ x = π + 2kπ / k ∈ ℤ
cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ / k ∈ ℤ
Équation trigonométrique du type sin x = a. (Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun)
Propriété 9
Soit a un réel.
On considère l’équation (E2) : sin x = a.
- Si : ∣a∣ ≻ 1, il n’y a pas de solution.
- Si : ∣a∣ ≤ 1, alors il existe α ∈ ℝ tel que a = sin α . L’équation devient alors sin x = sin α et on a donc :
{ x = α + 2kπ /k ∈ ℤ ou x = π − α + 2kπ /k ∈ ℤ
Alors les solution d’équation (E2) dans ℝ sont les réels : α + 2kπ ou π − α + 2kπ tel que k ∈ ℤ.
Exemple 10
Résoudre dans ℝ l’équation : (E) : sin x = 1/2.
Soit x ∈ ℝ.
On a : 1/2 = sin π/6. Donc
sin x = sin π/6 ⇔ { x = π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = π − π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ⇔ { x = π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 5π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ
Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) dans ℝ est :
S = {π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ} ∪ {5π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ}
Exemple 11
Résoudre dans ℝ l’équation : (E) : sin x = −√3/2.
Soit x ∈ ℝ.
On a : −√3/2 = − sin π/3 = sin(−π/3). Donc
sin x = sin(−π/3) ⇔ { x = −π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = π + π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ⇔ { x = −π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 4π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ
Alors l’ensemble des solutions de l’équation (E) dans ℝ est :
S = {−π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ} ∪ {4π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ}
Exemple 12
Résoudre dans [−π, π[ l’équation : (E) : sin x = √2/2.
Soit x ∈ [−π, π[.
On a : √2/2 = sin π/4. Donc
sin x = sin π/4 ⇔ { x = π/4 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = π − π/4 + 2kπ / k ∈ ℤ ⇔ { x = π/4 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 3π/4 + 2kπ / k ∈ ℤ
Cherchons parmi ces solutions ceux qui appartiennent à l’intervalle [−π, π[ .
Donc
−π ≼ π/4 + 2kπ ≺ π
⇔ −1 ≼ 1/4 + 2k ≺ 1
⇔ −5/4 ≼ 2k ≺ 3/4
⇔ −5/8 ≼ k ≺ 3/8
et comme k ∈ ℤ, alors k = 0. Donc : x = π/4.
De même on a : k = 0. Donc : x = 3π/4.
Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) dans [−π, π[ est :
S = {π/4, 3π/4}
Équations particulières
sin x = 0 ⇔ x = kπ / k ∈ ℤ
sin x = 1 ⇔ x = π/2 + 2kπ / k ∈ ℤ
sin x = −1 ⇔ x = −π/2 + kπ / k ∈ ℤ
Équation trigonométrique du type tan x = a.
Propriété 13
Soit a un réel.
On considère l’équation (E3) : tan x = a, il existe α dans ℝ tel que : a = tan α. L’équation devient alors tan x = tan α et on a donc : x = α + kπ avec k ∈ ℤ. Alors les solutions d’équation (E3) dans ℝ sont les réels : α + kπ , tel que k ∈ ℤ.
Exemple 14
Résoudre dans ℝ l’équation (E) : tan x = 1.
Soit x un réel tel que : x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.
On a : 1 = tan π/4. Donc
tan x = tan π/4 ⇔ x = π/4 + kπ / k ∈ ℤ
Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :
S = {π/4 + kπ / k ∈ ℤ}
Exemple 15
Résoudre dans ℝ l’équation (E) : tan x = −√3/3.
Soit x un réel tel que : x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.
On a : −√3/3 = −tan π/6 = tan ( −π/6). Donc
tan x = tan( −π/6) ⇔ x = −π/6 + kπ / k ∈ ℤ
Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :
S = { −π/6 + kπ / k ∈ ℤ}
Inéquations trigonométriques
Inéquations : sin x ≥ a et sin x ≤ a
Exemple 16
Résoudre dans l’intervalle [0, 2π[ l’inéquation (I) : sin x ≥ 1/2.
On commence par résoudre dans [0, 2π[ l’équation : sin x = 1/2.
On a : 1/2 = sin π/6. Donc
sin x = 1/2 ⇔ sin x = sin π/6 ⇔ { x = π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = π − π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ⇔ { x = π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 5π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ
On cherche les solutions qui appartiennent à l’intervalle [0, 2π[ .
0 ≼ π/6 + 2kπ ≺ 2π
⇔ −1/6 ≼ 2k ≺ 2 − 1/6
⇔ −1/6 ≼ 2k ≺ 11/6
⇔ −1/12 ≼ k ≺ 11/12
et comme k ∈ ℤ, alors k = 0. Donc : x = π/6.
De même
0 ≼ 5π/6 + 2kπ ≺ 2π
⇔ −5/6 ≼ 2k ≺ 2 − 5/6
⇔ −5/6 ≼ 2k ≺ 7/6
⇔ −5/12 ≼ k ≺ 7/12
et comme k ∈ ℤ, alors k = 0. Donc : x = 5π/6. Ce qui signifie que les solutions de l’équation sur l’intervalle [0, 2π[ sont : π/6 et 5π/6.
D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle [0, 2π[ est :
S = [π/6, 5π/6]
Exemple 17
Résoudre dans l’intervalle [−π, π] l’inéquation suivante (I) : sin x ≺ √3/2.
Les solutions d’équation (E) : sin x = √3/2 sur l’intervalle [−π, π] sont : π/3 et 2π/3.
D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle [−π, π] est :
S = [−π, π/3[ ∪ ]2π/3, π]
Inéquations : cos x ≥ a et cos x ≤ a
Exemple 18
Résoudre dans l’intervalle ]−π, π] l’inéquation suivante : (I) : cos x ≤ −√2/2.
Les solutions d’équation (E) : cos x = −√2/2 sur l’intervalle ]−π, π] sont : −3π/4 et 3π/4.
D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle ]−π, π] est :
S = ]−π , −3π/4] ∪ [3π/4, π]
Exemple 19
Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation (I) : cos x ≥ 1/2.
Les solutions d’équation (E) : cos x = 1/2 sur l’intervalle [0, 2π] sont : π/3 et 5π/3.
D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle [0, 2π] est :
S = [0, π/3] ∪ [5π/3, 2π]
Inéquations : tan x ≥ a et tan x ≤ a
Exemple 20
Résoudre dans l’intervalle [−π, π] l’inéquation suivante : (I) : tan x ≤ √3.
L’inéquation existe si x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.
Les solutions d’équation (E) : tan x = √3 sur l’intervalle [−π, π] sont : π/3 et −2π/3.
D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle [−π, π] est :
S = [−π, −2π/3] ∪ ]−π/2, π/3] ∪ ]π/2, π]
Exemple 21
Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation suivante : (I) : tan x ≻ −1.
L’inéquation existe si x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.
Les solutions d’équation (E) : tan x = −1 sur l’intervalle [0, 2π] sont : 3π/4 et 7π/4
D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle [0, 2π] est :
S = [0, π/2[ ∪ ]3π/4, 3π/2[ ∪ ]7π/4, 2π]
Exercice d’application 22
On considère dans ℝ l’équation
(E) : tan x − sin x = 1 − tan x. sin x
- Déterminer D l’ensemble de définition de l’équation (E).
- Résoudre dans D l’équation (E).
- Déterminer les solutions d’équation (E) qui appartiennent à l’ensemble D∩ [−41π/3, −35π/3].
Cliquer ici pour télécharger Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun
Vous pouvez aussi consulter :
Merci beaucoup
Tu es le bienvenu👋