Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun

Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun. Cours complet sur le calcul trigonométrique 2(Équations, Inéquation et représentations graphiques des fonctions trigonométriques.)

La représentation graphique de fonction cos (Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun)

La fonction cosinus

Définition 1

La fonction cosinus, notée cos, est la fonction qui à tout réel x associe son cosinus.

cos ℝ → [−1, 1]

x → cos x

Sa courbe représentative est la suivante :

La représentation graphique de fonction sin (Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun)

La fonction sinus

Définition 2

La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui à tout réel x associe son sinus.

sin ℝ → [−1, 1]

x → sin x

Sa courbe représentative est la suivante :

Fonction périodique  

Définition 3

Soit ƒ : D_ƒ → ℝ et soit T ∈ ]0, +∞[. On dit que T est une période pour ƒ si :

pour tout x ∈ D_ƒ , x + T ∈ D_ƒ et ƒ(x + T) = ƒ(x)  

Exemple 4

Pour tout x ∈ ℝ on a : (x + 2π) ∈ ℝ et sin(x + 2π) = sin x. Donc la fonction sin est périodique de période 2π.

Résolution d’équations trigonométriques (Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun)

Équation trigonométrique du type cos x = a.

Propriété 5

Soit a un réel.

On considère l’équation (E₁) : cos x = a.

• Si : ∣a∣ ≻ 1, il n’y a pas de solution.

• Si : ∣a∣ ≤ 1, alors il existe α ∈ ℝ tel que a = cos α . L’équation devient alors cos x = cos α et on a donc :

{ x = α + 2kπ /k ∈ ℤ ou x = −α + 2kπ /k ∈ ℤ

Alors les solution d’équation (E₁) dans ℝ sont les réels : α + 2kπ ou −α + 2kπ tel que k ∈ ℤ.

Exemple 6

Résoudre dans ℝ l’équation : (E) : cos x = 1/2.

Exemple 7

Résoudre dans ℝ l’équation : (E) : cos x = −√3/2.

Exemple 8

Résoudre dans [−π, π[ l’équation : (E) : cos x = √2/2.

Équations particulières

cos x = 1 ⇔ x = 2kπ / k ∈ ℤ

cos x = −1 ⇔ x = π + 2kπ / k ∈ ℤ

cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ / k ∈ ℤ

Équation trigonométrique du type sin x = a. (Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun)

Propriété 9

Soit a un réel.

On considère l’équation (E₂) : sin x = a.

• Si : ∣a∣ ≻ 1, il n’y a pas de solution.

• Si : ∣a∣ ≤ 1, alors il existe α ∈ ℝ tel que a = sin α . L’équation devient alors sin x = sin α et on a donc :

{ x = α + 2kπ /k ∈ ℤ ou x = π − α + 2kπ /k ∈ ℤ

Alors les solution d’équation (E₂) dans ℝ sont les réels : α + 2kπ ou π − α + 2kπ tel que k ∈ ℤ.

Exemple 10

Résoudre dans ℝ l’équation : (E) : sin x = 1/2.

Soit x ∈ ℝ.

On a : 1/2 = sin π/6. Donc

sin x = sin π/6 ⇔ { x = π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = π − π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ⇔ { x = π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 5π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) dans ℝ est :

S = {π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ} ∪ {5π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ}

Exemple 11

Résoudre dans ℝ l’équation : (E) : sin x = −√3/2.

Soit x ∈ ℝ.

On a : −√3/2 = − sin π/3 = sin(−π/3). Donc

sin x = sin(−π/3) ⇔ { x = −π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = π + π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ⇔ { x = −π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 4π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ

Alors l’ensemble des solutions de l’équation (E) dans ℝ est :

S = {−π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ} ∪ {4π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ}

Exemple 12

Résoudre dans [−π, π[ l’équation : (E) : sin x = √2/2.

Soit x ∈ [−π, π[.

On a : √2/2 = sin π/4. Donc

sin x = sin π/4 ⇔ { x = π/4 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = π − π/4 + 2kπ / k ∈ ℤ ⇔ { x = π/4 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 3π/4 + 2kπ / k ∈ ℤ

Cherchons parmi ces solutions ceux qui appartiennent à l’intervalle [−π, π[ .

Donc

−π ≼ π/4 + 2kπ ≺ π

⇔ −1 ≼ 1/4 + 2k ≺ 1

⇔ −5/4 ≼ 2k ≺ 3/4

⇔ −5/8 ≼ k ≺ 3/8

et comme k ∈ ℤ, alors k = 0. Donc : x = π/4.

De même on a : k = 0. Donc : x = 3π/4.

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) dans [−π, π[ est :

S = {π/4, 3π/4} 

Équations particulières

sin x = 0 ⇔ x = kπ / k ∈ ℤ

sin x = 1 ⇔ x = π/2 + 2kπ / k ∈ ℤ

sin x = −1 ⇔ x = −π/2 + kπ / k ∈ ℤ

Équation trigonométrique du type tan x = a.

Propriété 13

Soit a un réel.

On considère l’équation (E₃) : tan x = a, il existe α dans ℝ tel que : a = tan α. L’équation devient alors tan x = tan α et on a donc : x = α + kπ avec k ∈ ℤ. Alors les solutions d’équation (E₃) dans ℝ sont les réels : α + kπ , tel que k ∈ ℤ.

Exemple 14

Résoudre dans ℝ l’équation (E) : tan x = 1.

Soit x un réel tel que : x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.

On a : 1 = tan π/4. Donc

tan x = tan π/4 ⇔ x = π/4 + kπ / k ∈ ℤ

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :

S = {π/4 + kπ / k ∈ ℤ}

Exemple 15

Résoudre dans ℝ l’équation (E) : tan x = −√3/3.

Soit x un réel tel que : x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.

On a : −√3/3 = −tan π/6 = tan ( −π/6). Donc

tan x = tan( −π/6) ⇔ x = −π/6 + kπ / k ∈ ℤ

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :

S = { −π/6 + kπ / k ∈ ℤ}

Inéquations trigonométriques

Inéquations : sin x ≥ a et sin x ≤ a

Exemple 16

Résoudre dans l’intervalle [0, 2π[ l’inéquation (I) : sin x ≥ 1/2.

On commence par résoudre dans [0, 2π[ l’équation : sin x = 1/2.

On a : 1/2 = sin π/6. Donc

sin x = 1/2 ⇔ sin x = sin π/6 ⇔ { x = π/6 + 2kπ  / k ∈ ℤ ou x = π − π/6 + 2kπ  / k ∈ ℤ ⇔ { x = π/6 + 2kπ  / k ∈ ℤ ou x = 5π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ

On cherche les solutions qui appartiennent à l’intervalle [0, 2π[ .

0 ≼ π/6 + 2kπ ≺ 2π 

⇔  −1/6 ≼ 2k ≺ 2 − 1/6

⇔ −1/6 ≼ 2k ≺ 11/6

⇔ −1/12 ≼ k ≺ 11/12

et comme k ∈ ℤ, alors k = 0. Donc : x = π/6.

De même

0 ≼ 5π/6 + 2kπ ≺ 2π 

⇔  −5/6 ≼ 2k ≺ 2 − 5/6

⇔  −5/6 ≼ 2k ≺ 7/6

⇔ −5/12 ≼ k ≺ 7/12

et comme k ∈ ℤ, alors k = 0. Donc : x = 5π/6. Ce qui signifie que les solutions de l’équation sur l’intervalle [0, 2π[ sont : π/6 et 5π/6.

D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle [0, 2π[ est :

S = [π/6, 5π/6]   

Exemple 17

Résoudre dans l’intervalle [−π, π] l’inéquation suivante (I) : sin x ≺ √3/2.

Les solutions d’équation (E) : sin x = √3/2 sur l’intervalle [−π, π] sont : π/3 et 2π/3.

D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle [−π, π] est :

S = [−π, π/3[ ∪ ]2π/3, π]  

Inéquations : cos x ≥ a et cos x ≤ a

Exemple 18

Résoudre dans l’intervalle ]−π, π] l’inéquation suivante : (I) : cos x ≤ −√2/2.

Les solutions d’équation (E) : cos x = −√2/2 sur l’intervalle ]−π, π] sont : −3π/4 et 3π/4.

D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle ]−π, π] est :

S = ]−π , −3π/4] ∪ [3π/4, π]

Exemple 19

Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation (I) : cos x ≥ 1/2.

Les solutions d’équation (E) : cos x = 1/2 sur l’intervalle [0, 2π] sont : π/3 et 5π/3.

D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle [0, 2π] est :

S = [0, π/3] ∪ [5π/3, 2π] 

Inéquations : tan x ≥ a et tan x ≤ a

Exemple 20

Résoudre dans l’intervalle [−π, π] l’inéquation suivante : (I) : tan x ≤ √3.

L’inéquation existe si x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.

Les solutions d’équation (E) : tan x = √3 sur l’intervalle [−π, π] sont : π/3 et −2π/3.

D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle [−π, π] est :

S = [−π, −2π/3] ∪ ]−π/2, π/3] ∪ ]π/2, π]

Exemple 21

Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation suivante : (I) : tan x ≻ −1.

L’inéquation existe si x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.

Les solutions d’équation (E) : tan x = −1 sur l’intervalle [0, 2π] sont : 3π/4 et 7π/4

D’après le cercle trigonométrique l’ensemble des solutions d’inéquation (I) sur l’intervalle [0, 2π] est :

S = [0, π/2[ ∪ ]3π/4, 3π/2[ ∪ ]7π/4, 2π]

Exercice d’application 22

On considère dans ℝ l’équation

(E) : tan x − sin x = 1 − tan x. sin x

1. Déterminer D l’ensemble de définition de l’équation (E).
2. Résoudre dans D l’équation (E).
3. Déterminer les solutions d’équation (E) qui appartiennent à l’ensemble D∩ [−41π/3, −35π/3].

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