Les Polynômes tronc commun

Les polynômes tronc commun

Les polynômes cours tronc commun. (1ère année lycée/ tronc commun scientifique)

Notion de polynôme, égalité de deux polynômes (Les polynômes tronc commun) 

Notion de polynôme, degré d’un polynôme (Les polynômes tronc commun)
Définition 1

Soient an, an−1, …, a2, a1 et a0 des réels et n un entier naturel.

Toute expression qui s’écrit sous la forme P(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a2x2 + a1x + a0 est appelée polynôme qu’on note par : P(x) ou Q(x) ou R(x) …

an, an−1, …, a2, a1 et a0 sont appelés coefficients du polynôme P(x), ak est le coefficient du terme de degré k pour k ∈ {0, 1, 2, …, n}, et a0 est appelé terme constant.

Si an ≠ 0 alors n est appelé le degré de P(x), on écrit deg (P(x)).

Exemple 2

Soit le polynôme : P(x) = 1/2x3 − √2x2 + x − 1/3.

1/2x3 est un nombre de degré 3.

−√2x2 est un monôme de degré 2.

x est un monôme de degré 1.

−1/3x0 est un monôme de degré 0.

∎ Le degré du polynôme P(x) est 3. (deg (P(x)) = 3)

Remarque 3

∎ Un polynôme est une somme finie de monômes.

x2 + 1/x −2 ; x3 + √x − 2 et x3 + x− 2 ne sont pas des polynômes.

∎ Par convention 0 est le polynôme nul (qui n’a pas de degré).

∎ Un polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls.

∎ On peut écrire le polynôme P(x) = x4 + 4x2 + x − x3 + 3 sous la forme P(x) = x4 − x3 + 4x2 + x + 3 et on dit qu’on ordonné P(x) suivant les puissances décroissantes. On peut écrire le polynôme sous la forme P(x) = 3 + x + 4x2 − x3 + x4 et on dit que qu’on a ordonné P(x) suivant les puissances croissantes.

∎ Le mot (”mono”) signifie seul. On en déduit alors le sens de binôme, de trinôme. Par exemple pour P(x) = ax + b, (a ≠ 0) P(x) est appelé binôme de degré 1. Pour P(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0), P(x) est un trinôme du second degré.

Exemple 4

Identifier parmi les expressions suivantes celles qui sont des polynômes.

  1. P(x) = 1/4x3 + √2/2x2 − √3.
  2. Q(x) = 2x2 − x − √3
  3. R(x) = 5x2 + 4x − 5
  4. S(x) = x4 + 1/x + 3
  5. F(x) = (a − 1)x4 + x2 + x + 1 avec a.

P(x) est un polynôme de degré 3. On peut écrire : P(x) = 1/4x3 + √2/2x2 + 0x − √3.

Q(x) n’est pas un polynôme. Car √x n’est pas un monôme.

R(x) n’est pas un polynôme. Car ∣x∣ n’est pas un monôme.

S(x) n’est pas un polynôme. Car 1/x n’est pas un monôme.

∎ Si a = 1, alors F(x) est un polynôme de degré 2. Si a ≠ 1, alors F(x) est un polynôme de degré 4.

Égalité de deux polynômes (Les polynômes tronc commun)
Propriété 5

Soient P(x) = anxn + … + a2x2 + a1x + a0 et Q(x) = bmxm + … + b2x2 + b1x + b0 deux polynômes non nuls à coefficients réels.

P(x) et Q(x) sont égaux si et seulement s’ils ont le même degré et les coefficients des monômes de même degré sont égaux, c’est-à-dire :

n = m et bm = am et…et b1 = a1 et b0 = a0

Autrement dit :

P(x) = Q(x) éq : { n = m et ai = bi, pour but i ∈ {0, 1, …, n

Exemple 6

Étudier l’égalité des polynômes P(x) et Q(x) :

  1. P(x) = x3 + 2x2(x − 1) + x et Q(x) = x2(3x − 2) + x
  2. P(x) = x2 + 3x − 4 et Q(x) = x3 + (x − 2)2

∎ On a

P(x) = x3 + 2x3 − 2x2 + x = 3x3 − 2x2 + x et Q(x) = 3x3 − 2x2 + x.

Donc P(x) = Q(x).

∎ On a

P(x) = x2 + 3x − 4 et Q(x) = x3 + x2 − 4x + 4.

On obtient que le degré du polynôme P(x) est 2 et le degré du polynôme Q(x) est 3. Donc P(x) ≠ Q(x).

Exemple 7

On considère les deux polynômes P(x) et Q(x) tels que :

P(x) = 2x2 + 3x − 14 et Q(x) = ax2 + (b − 2a)x − 2b

Déterminer a et b pour que les deux polynômes soient égaux.

On cherche a et b.

P(x) = Q(x) éq : { a = 2 et b − 2a = 3 et −2b = −14 éq : { a = 2 et b = 3 + 2a et b = 14/2 éq : { a = 2 et b = 7 et b = 7 éq : { a = 2 et b = 7

Donc les deux polynômes P(x) et Q(x) sont égaux si et seulement si a = 2 et b = 7.

Opérations sur les polynômes (Les polynômes tronc commun)

Somme et produit de deux polynômes (Les polynômes tronc commun)
Propriété 8

Soient P(x) et Q(x) deux polynômes non nuls à coefficients réels.

∎ La somme des deux polynômes P(x) et Q(x) non nuls est un polynôme, noté (P + Q)(x) tel que pour tout réel x on a :

(P + Q)(x) = P(x) + Q(x).

∎ Le produit des deux polynômes P(x) et Q(x) non nuls est un polynôme, noté (P × Q)(x) tel que pour tout réel x on a :

(P × Q)(x) = P(x) × Q(x).

∎ Le produit d’un polynôme P(x) et un scalaire α est un polynôme (αP)(x) tel que pour tout réel x on a

(αP)(x) = αP(x).

Exemple 9

On considère les polynômes suivants : Q(x) = x − 1 et P(x) = x2 + 1.

∎ (P + Q)(x) = P(x) + Q(x) = x − 1 + x2 + 1 = x2 + x.

∎ (P − Q)(x) = P(x) − Q(x) = x2 + 1 − (x − 1) = x2 − x + 1 + 1 = x2 − x + 2.

∎ (P × Q)(x) = P(x) × Q(x) = (x2 + 1)(x − 1) = x3 − x2 + x − 1.

Degré d’une somme, degré d’un produit de deux polynômes
Propriété 10

Soient P(x) et Q(x) deux polynômes non nuls.

∎ deg ((P + Q))(x)) ≤ max (deg(P(x)) , deg(Q(x))),

∎ deg ((P × Q)(x)) = deg (P(x)) + deg (Q(x)),

∎ deg ((αP)(x)) = deg (P(x)) pour tout réel α non nul.

Remarque 11

On considère les deux polynômes : P(x) = − 5x4 + 4x − 7 et Q(x) = 5x4 + x2 + 3.

On a

(P + Q)(x) = P(x) + Q(x) = x2 + 4x − 4

et comme deg (P(x)) = deg (Q(x)) = 4 et deg ((P + Q)(x)) = 2. Donc

deg ((P + Q)(x)) ≠ max(deg (P(x)) , deg (Q(x)))

Remarque 12

Si deg (P(x)) ≠ deg (Q(x)), alors deg ((P + Q)(x)) = max(deg (P(x)) , deg (Q(x))).

Racine d’un polynôme, factorisation d’un polynôme

Division euclidienne
Théorème 13 (Admis)

Pour tous polynômes A(x) et B(x) non nuls à coefficients réels, il existe un unique couple de polynôme (Q(x) , R(x)) tels que :

A(x) = Q(x)B(x) + R(x) avec deg (R(x)) < deg (B(x))

Q(x) est le quotient et R(x) est le reste de la division euclidienne de A(x) par B(x).

Cas particulier

Soit P(x) un polynôme de degré n * et a un réel, il existe un polynôme Q(x) de degré n − 1 tel que :

P(x) = (x − a)Q(x) + P(a)

P(a) est le reste de la division euclidienne de P(x) par (x − a).

Q(x) est le quotient de la division euclidienne de P(x) par (x − a).

Démonstration 14

On sait qu’il existe un unique couple (Q(x) , R(x)) de polynômes tel que :

P(x) = (x − a). Q(x) + R(x) avec deg (R(x)) < deg (x − a) = 1

donc deg (R(x)) = 0 d’où R(x) = c , c* (est un polynôme constant). Donc

P(x) = (x − a).Q(x) + c

pour x = a, on obtient

P(a) = (a − a). Q(a) + c éq : c = P(a)

d’où c = P(a). Ce qui signifie que le reste de la division euclidienne du polynôme P(x) par x − a est le polynôme constant égal à P(a) :

P(x) = (x − a).Q(x) + P(a)

Définition 15

Soient P(x) et Q(x) deux polynômes non nuls à coefficients réels, on dit que Q(x) divise P(x) si et seulement si le reste de la division euclidienne de P(x) par Q(x) est nul.

Exemple 16

On considère les polynômes suivants : P(x) = x3 − x2 + x − 1 et Q(x) = x − 2.

On effectue la division euclidienne du polynôme P(x) par Q(x) on obtient :

P(x) = (x − 2)(x2 + x + 3) + 5

Puisque le reste de la division euclidienne de P(x) par Q(x) est non nul alors le polynôme Q(x) ne divise pas P(x).

Racine d’un polynôme et factorisation
Définition 17

Soit P(x) un polynôme à coefficients réels et a un nombre réel. On dit que a est une racine ou un zéro P(x) si P(a) = 0.

Exemple 18

On considère le polynôme P(x) = x3 − 8.

∎ On a P(2) = 0 donc 2 est une racine du polynôme P(x).

∎ On a P(1) = − 7 ≠ 0 donc 1 n’est pas une racine du polynôme P(x).

Théorème 19

Soit P(x) un polynôme de degré n* et a un nombre réel.

P(a) = 0 si et seulement s’il existe un polynôme Q(x) tel que pour tout réel x : P(x) = (x − a)Q(x). On dira dans ce cas que le polynôme P(x) est divisible par x − a.

Démonstration 20

Soit P(x) un polynôme à coefficients réels de degré n* et a un réel il existe un polynôme Q(x) de degré n − 1 tel que :

P(x) = (x − a)Q(x) + P(a)

On a P(a) = 0 si et seulement si P(x) = (x − a)Q(x) si le polynôme P(x) est divisible x − a.

Théorème 21

Soit P(x) un polynôme à coefficients réels de degré n*. Le polynôme P(x) possède au plus n racines réelles.

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Les polynômes exercices corrigés tronc commun

Exercice 1 (Les polynômes exercices corrigés tronc commun)

On considère les deux polynômes P(x) et Q(x) tels que :

P(x) = (ax + b)(x2 + 3x − √5) et Q(x) = x3 + 2x2 (3 + √5)x + √5

Déterminer a et b pour que les polynômes soient égaux.

Exercice 2 (Les polynômes exercices corrigés tronc commun)

Déterminer suivant les valeurs du paramètre réel m, le degré du polynôme P(x) définie par :

P(x) = (m2 − m)x3 + mx2 + x + 2

Exercice 3

On considère le polynôme : P(x) = x3 − mx2 − 5x + 6 (m est un paramètre réel).

Déterminer la valeur de m pour que le polynôme P(x) soit divisible par (x − 1).

Exercice 4

Soit P(x) le polynôme défini par : P(x) = 2x3 + 5x2 − x − 6.

  1. Montrer que −2 est une racine du polynôme P(x).
  2. Déterminer le polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x + 2).Q(x)
  3. Montrer que le polynôme Q(x) est divisible par x − 1, puis factoriser le polynôme Q(x).
  4. Déduire une factorisation du polynôme P(x) en produit de 3 polynômes de degré égal à 1.
Exercice 5

On considère le polynôme définie par : P(x) = 2x4 − 9x3 + 14x2 − 9x + 2

  1. Vérifier que 0 n’est pas une racine du polynôme P(x).
  2. Montrer que si α est une racine du polynôme P(x), alors il en est de même 1/α.
    1. Montrer que 2 est une racine du polynôme P(x).
    2. En effectuant la division euclidienne du polynôme P(x) par x − 2, déterminer le polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x − 2)Q(x).
    3. Déduire que : Q(1/2) = 0.
    1. Déterminer les réels a, b et c tels que : Q(x) = (x − 1/2)(ax2 + bx + c).
    2. Déduire une factorisation du polynôme P(x) en produit de 4 polynômes de degré égal à 1.
Exercice 6

On considère le polynôme P(x) = 2x3 + 3x2 + ax − b tels que a et b deux réels.

  1. Déterminer a et b pour que les conditions suivantes soient vérifiées :

∎ Le polynôme P(x) est divisible par (x − 2).

∎ Le reste de la division euclidienne du polynôme P(x) par (x − 1) est −12.

2. On prend : a = −11 et b = 6.

a) Effectuer la division euclidienne du polynôme P(x) par (x − 2).

b) Déduire une factorisation du polynôme P(x) en produit de 3 polynômes de degré égal à 1.

Exercice 7

On considère le polynôme : P(x) = x3 − 3x + 2.

    1. Calculer P(1) puis déduire un polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x − 1)Q(x).
    2. Vérifier que : P(x) = (x + 2)(x − 1)2.
  1. Soit α un réel tel que 1 < α < 2.

Encadrer α + 2 et (α − 1)2, puis déduire que : 0 < P(α)/4 < 1.

Exercice 8

On considère le polynôme : P(x) = −6x4 + 5x3 + 38x2 + 5x − 6.

  1. Vérifier que 3 et −1/2 sont deux racines du polynôme P(x).
  2. Montrer que si a est une racine du polynôme P(x), alors il en est de même 1/a.
  3. Déduire les racines du polynôme P(x).
Exercice 9

Soit n*. Soit le polynôme : P(x) = (x − 2)3n + (x − 1)2n − 1.

  1. Montrer l’existence d’un polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x − 2)Q(x). et déterminer le degré de Q(x).
  2. Calculer P(1) en fonction de n, puis déterminer les valeurs de n pour lesquelles le polynôme P(x) soit divisible par x − 1.
Exercice 10

On considère les deux polynômes :

P(x) = x3 − 6x + 5 et Q(x) = x3 + (m − 1)x2 − (m + 2)x + (3 − m). (m est un paramètre réel).

  1. Déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne du polynôme Q(x) par (x − 1).
  2. Déterminer m sachant que P(x) + Q(x) est divisible par (x − 1).
Exercice 11

On considère le polynôme P(x) = nxn+1 (n + 1)xn + 1.

  1. Montrer que 1 est une racine du polynôme P(x).
  2. Montrer que : P(x) = (x − 1)(nxn − xn−1 − xn−2 …−1)
  3. Montrer que : P(2) = 2n(n − 1) + 1.
  4. Déterminer la valeur de la somme S = 2 + 22 + … + 2n.

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Correction de la série 

Exercice 1

On considère les deux polynômes P(x) et Q(x) tels que :

P(x) = (ax + b)(x2 + 3x − √5) et Q(x) = x3 + 2x2 (3 + √5)x + √5

On cherche a et b :

P(x) = Q(x) éq : (ax + b)(x2 + 3x − √5) = x3 + 2x2 (3 + √5)x + √5

On écrit le polynôme P(x) sous la forme réduite.

P(x) = (ax + b)(x2 + 3x − √5)

= ax3 + 3ax2 − a√5x + bx2 + 3bx − b√5

= ax3 + (3a + b)x2 + (−a√5 + 3b)x − b√5

donc

P(x) = Q(x)

éq : ax3 + (3a + b)x2 + (−a√5 + 3b)x − b√5 = x3 + 2x2(3 + √5)x + √5

Exercice 2

On considère le polynôme P(x) = (m2 − m)x3 + mx2 + x + 2.

On cherche le degré de P(x) suivant les valeurs de m :

∎ Si m2 − m ≠ 0, alors

m2 − m ≠ 0 éq : m(m − 1) ≠ 0 éq : m ≠ 0 et m − 1 ≠ 0 éq : m ≠ 0 et m ≠ 1

Donc si m ≠ 0 et m ≠ 1 alors le degré du polynôme P(x) est 3.

∎ Si m = 0 alors le degré du polynôme P(x) est 1.

∎ Si m = 1 alors le degré du polynôme P(x) est 2.

Exercice 3

On considère le polynôme : P(x) = x2 − mx2 − 5x + 6 (m est un paramètre réel).

On cherche m

Soit m.

Le polynôme P(x) est divisible par (x − 1) si et seulement si le reste de la division euclidienne du polynôme P(x) par (x − 1) est nul c’est-à-dire P(1) = 0.

Donc

P(1) = 0 éq : 1 − m − 5 + 6 = 0 éq : m = 2

D’où le polynôme P(x) est divisible par (x − 1) si et seulement si m = 2.

Exercice 4

Soit P(x) le polynôme définie par : P(x) = 2x3 + 5x2 − x − 6.

  1. Montrons que − 2 est une racine du polynôme P(x).

Calculons P(−2).

On a

P(−2) = 2 × (−2)3 + 5 × (−2)2 (−2) − 6 = 0

donc − 2 est une racine du polynôme P(x).

2. On cherche le polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x + 2).Q(x).

On a 2 est une racine du polynôme P(x), donc le polynôme P(x) est divisible par x − 2, et on déduit qu’il existe un polynôme Q(x) tel que :

P(x) = (x − 2)Q(x)

On a deg (P(x)) = 3 donc le degré du polynôme Q(x) est 2, d’où Q(x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0. Donc

P(x) = (x + 2)(ax2 + bx + c)

= ax3 + bx2 + cx + 2ax2 + 2bx + 2c

= ax3 + (b + 2a)x2 + (c + 2b)x + 2c

et comme P(x) = 2x3 + 5x2 − x − 6, alors d’après l’égalité de deux polynômes on obtient

donc Q(x) = 2x2 + x − 3 d’où

P(x) = (x + 2)(2x2 + x − 3)

3. ∎ Montrons que Q(x) est divisible par x − 1.

On a Q(1) = 2 + 1 − 3 = 0. Donc 1 est une racine du polynôme Q(x). D’où le polynôme Q(x) est divisible par x − 1, et on déduit qu’il existe un polynôme R(x) tel que :

Q(x) = (x − 1). R(x)

∎ On factorise le polynôme Q(x) :

On a le degré du polynôme P(x) est 2 donc le degré du polynôme R(x) est 1.

D’où R(x) = ax + b avec a ≠ 0. Donc

Q(x) = (x − 1)(ax + b)

= ax2 + bx − ax − b

= ax2 + (b − a)x − b

et comme Q(x) = 2x2 + x − 3, alors d’après l’égalité de deux polynômes on obtient

{ a = 2 et b − a = 1 et −b = −3 éq : { a = 2 et b = 1 + 2 et b = 3 éq : { a = 2 et b = 3

donc R(x) = 2x + 3, d’où

Q(x) = (x − 1)(2x + 3)

4. On déduit une factorisation du polynôme P(x) en produit de 3 polynômes de degré 1.

On a Q(x) = (x − 1)(2x + 3) et comme P(x) = (x + 2)Q(x) donc

P(x) = (x + 2)(x − 1)(2x + 3)

Exercice 5

On considère le polynôme défini par P(x) = 2x4 − 9x3 + 14x2 − 9x + 2

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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