Les transformations du plan tronc commun

Les transformations du plan tronc commun. Cours complet sur les transformations du plan (1ère année lycée/ tronc commun scientifique).

Introduction (Les transformations du plan tronc commun)

Une transformation T du plan, est une relation qui à tout point M du plan, associe un unique point M′. On écrit : T(M) = M′ .

Symétrie axiale, Symétrie centrale et Translation (Les transformations du plan tronc commun)

Symétrie centrale

Définition 1

Soit O un point du plan. La transformation qui a tout M du plan, associe un unique point M′ tel que O soit le milieu de [MM′] est appelé : symétrie centrale de centre O. On note par S_O. On a :

S_O(M) = M′ ⇔ OM′= − OM

Symétrie axiale

Définition 2

Soit (∆) une droite du plan. La transformation qui a tout point M du plan, associer un unique point M′ tel que (∆) soit la médiatrice de [MM′] est appelé : symétrie axiale d’axe (∆) est notée : S_(∆).

Remarque 3

Dans une symétrie axiale d’axe (∆) , les points invariants sont les points de la droite (∆).

Translation

Définition 4

Soit u un vecteur non nul. La transformation qui a tout point M du plan associe un unique point M′ tel que MM′ = u est appelé : translation de vecteur u. On note t_u . On a :

t_u(M) = M′ ⇔ MM′ = u

Remarque 5

Dans une translation de vecteur u ≠ 0 , il n’y a aucun point invariant.

Exemple 6

ABCD est un carré de centre O et T la translation de vecteur AO, et B′ l’image du point B par T et D′ l’image du point D par T.

Tracer une figure.
Vérifier que l’image du point O par T est C, puis déduire que C est l’image du segment [B′D′].
Montrer que : (AC) ⊥ (B′D′).

La figure.

Les diagonales du carré se coupent en milieu, ceci signifie que : OC = AO. Donc le point C est l’image du point O par la translation T. De plus O est le milieu du segment [BD], comme l’image du segment [BD] par T est le segment [B′D′], et puisque la translation conserve les milieux donc C est le milieu du segment [B′D′].

On a l’image de la droite (BD) par la translation T est (B′D′) et comme les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires, alors on en déduit que les droites (AC) et (B′D′) sont perpendiculaires.

Propriété caractéristique du translation (Les transformations du plan tronc commun)

Propriété 7

Si M et N deux points du plan et M′ et N′ sont les images respectives des points M et N par la translation T de vecteur u tels que : T_u(M) = M′ et T_u(N) = N′. Alors :

M′N′ = MN

Exemple 8

Soit T la translation de vecteur u qui transforme M en M′ et le point N en N′ . Montrer que : M′N′ = MN

On a T la translation qui transforme M en M′, c’est-à-dire : T_u(M) = M′. Donc : MM′ = u, et de même T transforme N en N′, c’est-à-dire : T_u(N) = N′. Donc : NN′ = u. Ce qui signifie que :

M′N′ = MN

Conservation du coefficient de la colinéarité de deux vecteurs

Propriété 9 (Admis)

Soit T une transformation du plan.

Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que A ≠ B et A′, B′ , C′ et D′ sont les images respectives des points A, B, C et D par la transformation T.

Si CD = kAB (k ∈ ℝ*) , alors C′D′ = kA′B′

On dit que les transformations conservent le coefficient de la colinéarité de deux vecteurs.

Résultat 10

Soit T une transformation du plan.

Soient A, B et C trois points du plan A′, B′ et C′ sont les images respectives des points A, B et C par la translation T.

Si les points A, B et C sont alignés alors les points A′, B′ et C′ le sont.

On dit que les transformations conservent l’alignement des points.

Propriétés des transformations

Propriétés de la symétrie centrale

Soient A, B et C trois points du plan A′ , B′ et C′ sont les images respectives des points A, B et C par la symétrie de centre O.

L’image du segment [AB] est le segment [A′B′] tel que : AB = A′B′.
L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite [A′B′).
L’image de la droite (AB) est la droite (A′B′).
L’angle BAC est isométrique à l’angle B′A′C′.
L’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′ et rayon r.

Propriétés de la symétrie axiale

Soient A, B et C trois points du plan A′ , B′ et C′ sont les images respectives des points A, B et C par la symétrie axiale.

L’image du segment [AB] est le segment [A′B′] tel que : AB = A′B′.
L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite [A′B′).
L’image de la droite (AB) est la droite (A′B′).
L’angle BAC est isométrique à l’angle B′A′C′.
L’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′ et rayon r.

Propriétés d’une translation

Soient A, B et C trois points du plan A′ , B′ et C′ sont les images respectives des points A, B et C par une translation.

L’image du segment [AB] est le segment [A′B′] tel que : AB = A′B′.
L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite [A′B′).
L’image de la droite (AB) est la droite (A′B′).
L’angle BAC est isométrique à l’angle B′A′C′.
L’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′ et rayon r.

Homothétie

Définition 11

Soit Ω est un point du plan et k un nombre réel. L’homothétie de centre Ω et de rapport k est la transformation qui transforme tout point M du plan au point unique M′ tel que : ΩM′ = kΩM. L’homothétie de centre Ω et de rapport k est notée : h_{(Ω, k)}. D’où :

h_{(Ω, k)}(M) = M′ ⇔ ΩM′ = kΩM

Exemple 12

Soient A et M deux points du plan. Construire M′ l’image du point M par l’homothétie h. Dans chaque cas.

h est l’homothétie de centre A et de rapport 3/4.

h est l’homothétie de centre A et de rapport 2.

h est l’homothétie de centre A et de rapport −3.

Solution 13

Exemple 14

Soit l’homothétie h_{(O, 3)}.

M un point du plan son image par l’homothétie h le point M′.

Exprimer le vecteur MM′ en fonction de OM.

On a M′ est l’image du point M par l’homothétie h. Ceci signifie que :

h_{(O, 3)}(M) = M′ ⇔ OM′ = 3OM

⇔ OM + MM′ = 3OM

⇔ MM′ = 2OM

Propriété caractéristique de l’homothétie

Propriété 15

Si M , N et O trois points du plan. Si M′ et N′ sont les images respectives des points M et N par l’homothétie de centre O et de rapport k tels que : h(M) = M′ et h(N) = N′. Alors :

M′N′ = k.MN

Démonstration 16

Soit h l’homothétie de centre Ω et de rapport k qui transforme M en M′et N en N′.

Montrons que : M′N′ = kMN.

∎ h transforme M en M′. Ceci signifie que :

h_(Ω,k)(M) = M′ ⇔ ΩM′ = kΩM

∎ h transforme N en N′. Ceci signifie que :

h_(Ω,k)(N) = N′ ⇔ ΩN′ = kΩN

Donc

M′N′ = M′Ω + ΩN′

= −ΩM′ + kΩN

= −kΩM + kΩN

= k(−ΩM + ΩN)

= kMN

Exemple 17

Soient ABCD un parallélogramme et I et J deux points définis par :

CI = 2/3CB et IJ = DC

Faire une figure.
On considère l’homothétie h de centre I et transforme B en C.

a) Montrer que : k = −2.

3. Soit K un point tel que : KI = 2AB.

a) Montrer que : h(J) = K.

b) Montrer que : AI = 1/2CK.

Solution 18

2. On considère l’homothétie h de centre I et transforme B en C.

a) Montrons que : k = −2.

On a : h(B) = C, donc : IC = kIB.

D’autre part, on a CI = 2/3CB.

Donc : 3CI = 2CB.

Ensuite : 3CI = 2(CI + IB), donc : 3CI = 2CI + 2IB. D’où : CI = 2IB.

Donc :

IC = −2IB

Ce qui signifie que k = −2.

3. Soit K un point tel que : KI = 2AB.

a) Montrons que : h(J) = K. (C-à-d : IK = −2IJ)

On a :

IK = −KI = −2AB = −2 DC_AB=DC = −2IJ

Donc, K est l’image du point J par h.

b) Montrons que : AI = 1/2CK.

On a : h(J) = K et h(B) = C, donc d’après la propriété caractéristique de l’homothétie, on obtient : CK = −2BJ.

Donc : CK = −2(BI + IJ)

De plus : CK = −2(BA + AI + DC)

Ensuite : CK = −2(−DC + AI + DC) = −2AI.

Donc : AI = 1/2CK, par passage au norme on obtient :

AI = 1/2CK

Propriétés de l’homothétie

Soient A, B et C trois points du plan. A′, B′ et C′ sont les images respectives des points A, B et C par une homothétie.

∎ L’image du segment [AB] est le segment [A′B′] tel que : A′B′ = ∣k∣ AB.

∎ L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite [A′B′).

∎ L’image de la droite (AB) est la droite (A′B′).

∎ L’angle BAC est isométrique à l’angle B′A′C′.

∎ L’image du cercle de centre A et de rayon R est le cercle de centre A′ de rayon ∣k∣ = R.

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Les transformations du plan tronc commun

Introduction (Les transformations du plan tronc commun)