Les transformations du plan tronc commun

Les transformations du plan tronc commun

Les transformations du plan tronc commun. Cours complet sur les transformations du plan (1ère année lycée/ tronc commun scientifique).

Introduction (Les transformations du plan tronc commun)

Une transformation T du plan, est une relation qui à tout point M du plan, associe un unique point M′. On écrit : T(M) = M′ .

Symétrie axiale, Symétrie centrale et Translation

Symétrie centrale
Définition 1

Soit O un point du plan. La transformation qui a tout M du plan, associe un unique point M′ tel que O soit le milieu de [MM′] est appelé : symétrie centrale de centre O. On note par SO. On a :

SO(M) = M′ ⇔ OM′= − OM

Symétrie axiale
Définition 2

Soit () une droite du plan. La transformation qui a tout point M du plan, associer un unique point M′ tel que () soit la médiatrice de [MM′] est appelé : symétrie axiale d’axe () est notée : S(∆).

Remarque 3

Dans une symétrie axiale d’axe () , les points invariants sont les points de la droite ().

Translation
Définition 4

Soit u un vecteur non nul. La transformation qui a tout point M du plan associe un unique point M′ tel que MM′ = u est appelé : translation de vecteur u. On note tu . On a :

tu(M) = M′MM′ = u

Remarque 5 

Dans une translation de vecteur u ≠ 0 , il n’y a aucun point invariant.

Exemple 6

ABCD est un carré de centre O et T la translation de vecteur AO, et B′ l’image du point B par T et D′ l’image du point D par T.

  1. Tracer une figure.
  2. Vérifier que l’image du point O par T est C, puis déduire que C est l’image du segment [B′D′].
  3. Montrer que : (AC) ⊥ (B′D′).
  • La figure.
  • Les diagonales du carré se coupent en milieu, ceci signifie que : OC = AO. Donc le point C est l’image du point O par la translation T. De plus O est le milieu du segment [BD], comme l’image du segment [BD] par T est le segment [B′D′], et puisque la translation conserve les milieux donc C est le milieu du segment [B′D′].
  • On a l’image de la droite (BD) par la translation T est (B′D′) et comme les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires, alors on en déduit que les droites (AC) et (B′D′) sont perpendiculaires.
Propriété caractéristique du translation
Propriété 7

Si M et N deux points du plan et M′ et N′ sont les images respectives des points M et N par la translation T de vecteur u tels que : Tu(M) = M′ et Tu(N) = N′. Alors :

M′N′ = MN

Exemple 8

Soit T la translation de vecteur u qui transforme M en M′ et le point N en N′ . Montrer que : M′N′ = MN

On a T la translation qui transforme M en M′, c’est-à-dire : Tu(M) = M′. Donc : MM′ = u, et de même T transforme N en N′, c’est-à-dire : Tu(N) = N′. Donc : NN′ = u. Ce qui signifie que :

M′N′ = MN

Conservation du coefficient de la colinéarité de deux vecteurs

Propriété 9 (Admis)

Soit T une transformation du plan.

Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que A ≠ B et A′, B′ , C′ et D′ sont les images respectives des points A, B, C et D par la transformation T.

Si CD = kAB (k*) , alors C′D′ = kA′B′

On dit que les transformations conservent le coefficient de la colinéarité de deux vecteurs.

Résultat 10

Soit T une transformation du plan.

Soient A, B et C trois points du plan A′, B′ et C′ sont les images respectives des points A, B et C par la translation T.

Si les points A, B et C sont alignés alors les points A′, B′ et C′ le sont.

On dit que les transformations conservent l’alignement des points.

Propriétés des transformations

Propriétés de la symétrie centrale

Soient A, B et C trois points du plan A′ , B′ et C′ sont les images respectives des points A, B et C par la symétrie de centre O.

  • L’image du segment [AB] est le segment [A′B′] tel que : AB = A′B′.
  • L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite [A′B).
  • L’image de la droite (AB) est la droite (A′B′).
  • L’angle BAC est isométrique à l’angle B′A′C′.
  • L’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′ et rayon r.
Propriétés de la symétrie axiale

Soient A, B et C trois points du plan A′ , B′ et C′ sont les images respectives des points A, B et C par la symétrie axiale.

  • L’image du segment [AB] est le segment [A′B′] tel que : AB = A′B′.
  • L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite [A′B).
  • L’image de la droite (AB) est la droite (A′B′).
  • L’angle BAC est isométrique à l’angle B′A′C′.
  • L’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′ et rayon r.
Propriétés d’une translation

Soient A, B et C trois points du plan A′ , B′ et C′ sont les images respectives des points A, B et C par une translation.

  • L’image du segment [AB] est le segment [A′B′] tel que : AB = A′B′.
  • L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite [A′B).
  • L’image de la droite (AB) est la droite (A′B′).
  • L’angle BAC est isométrique à l’angle B′A′C′.
  • L’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′ et rayon r.
Homothétie
Définition 11

Soit Ω est un point du plan et k un nombre réel. L’homothétie de centre Ω et de rapport k est la transformation qui transforme tout point M du plan au point unique M′ tel que : ΩM′ = kΩM. L’homothétie de centre Ω et de rapport k est notée : h(Ω, k). D’où :

h(Ω, k)(M) = M′ ⇔  ΩM′ = kΩM

Exemple 12

Soient A et M deux points du plan. Construire M′ l’image du point M par l’homothétie h. Dans chaque cas.

  • h est l’homothétie de centre A et de rapport 3/4.
  • h est l’homothétie de centre A et de rapport 2.
  • h est l’homothétie de centre A et de rapport −3.
Solution 13
Exemple 14

Soit l’homothétie h(O, 3).

M un point du plan son image par l’homothétie h le point M′.

Exprimer le vecteur MM′ en fonction de OM.

  • On a M′ est l’image du point M par l’homothétie h. Ceci signifie que :

h(O, 3)(M) = M′ ⇔ OM′ = 3OM

⇔ OM + MM′ = 3OM

⇔ MM′ = 2OM

Propriété caractéristique de l’homothétie
Propriété 15

Si M , N et O trois points du plan. Si M′ et N′ sont les images respectives des points M et N par l’homothétie de centre O et de rapport k tels que : h(M) = M′ et h(N) = N′. Alors :

M′N′ = k.MN

Démonstration 16

Soit h l’homothétie de centre Ω et de rapport k qui transforme M en M′et N en N′.

Montrons que : M′N′ = kMN.

h transforme M en M′. Ceci signifie que :

h(Ω,k)(M) = M′ ⇔ ΩM′ = kΩM

h transforme N en N′. Ceci signifie que :

h(Ω,k)(N) = N′ ⇔  ΩN′ = kΩN

Donc

M′N′ = M′Ω + ΩN′

= −ΩM′ + kΩN

= −kΩM + kΩN

= k(−ΩM + ΩN)

= kMN

Exemple 17

Soient ABCD un parallélogramme et I et J deux points définis par :

CI = 2/3CB et IJ = DC

  1. Faire une figure.
  2. On considère l’homothétie h de centre I et transforme B en C.

a) Montrer que : k = −2.

3. Soit K un point tel que : KI = 2AB.

a) Montrer que : h(J) = K.

b) Montrer que : AI = 1/2CK.

Solution 18

2. On considère l’homothétie h de centre I et transforme B en C.

a) Montrons que : k = −2.

On a : h(B) = C, donc : IC = kIB.

D’autre part, on a CI = 2/3CB.

Donc : 3CI = 2CB.

Ensuite : 3CI = 2(CI + IB), donc : 3CI = 2CI + 2IB. D’où : CI = 2IB.

Donc :

IC = −2IB

Ce qui signifie que k = −2.

3. Soit K un point tel que : KI = 2AB.

a) Montrons que : h(J) = K. (C-à-d : IK = −2IJ)

On a :

IK = −KI = −2AB = −2 DCAB=DC = −2IJ

Donc, K est l’image du point J par h.

b) Montrons que : AI = 1/2CK.

On a : h(J) = K et h(B) = C, donc d’après la propriété caractéristique de l’homothétie, on obtient : CK = −2BJ.

Donc : CK = −2(BI + IJ)

De plus : CK = −2(BA + AI + DC)

Ensuite : CK = −2(−DC + AI + DC) = −2AI.

Donc : AI = 1/2CK, par passage au norme on obtient :

AI = 1/2CK

Propriétés de l’homothétie

Soient A, B et C trois points du plan. A′, B′ et C′ sont les images respectives des points A, B et C par une homothétie.

∎ L’image du segment [AB] est le segment [A′B′] tel que : A′B′ = k AB.

∎ L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite [A′B′).

∎ L’image de la droite (AB) est la droite (A′B′).

∎ L’angle BAC est isométrique à l’angle B′A′C′.

∎ L’image du cercle de centre A et de rayon R est le cercle de centre A′ de rayon ∣k= R.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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