Exercices corrigés sur les transformations du plan

Exercices corrigés sur les transformations dans le plan. (Tronc commun scientifique)

Exercices 1 (Exercices corrigés sur les transformations du plan)

Soit ABC un triangle et I est le milieu du segment [BC] . On considère les deux points B′ et C″ tels que : AB′ = 2/3AB et AC″ = 2/3AC , et le point J est le milieu de [B′C″] . Soit h l’homothétie de centre A et de rapport k = 2/3.

1. Montrer que : B′C″ = 2/3BC.
2. En utilisant l’homothétie, montrer que les points J, A et I sont alignés.

Exercice 2 (Exercices corrigés sur les transformations du plan)

Soit IAB un triangle et C ,D deux points tels que : IC = 1/3IA et 2IB + 3BD = 0 et on considère l’homothétie h de centre I et de rapport k = 1/3 .

1. Faire une figure.
2. Montrer que : h(A) = C et h(B) = D.
3. Montrer que : AB = 3CD .

Exercice 3

Soit ABC un triangle et I est le point du segment [BC] tel que : I ≠ B et I ≠ C et soit G le point tel que : AG = 3/4AI .

1. Faire une figure.
2. On considère l’homothétie h de centre I et de rapport k tel que : h(A) = G.
   1. Montrer que : k = 1/4.
   2. Déterminer l’image de la droite (BC) par l’homothétie h. Justifier votre réponse.
   3. Déterminer l’image de la droite (AC) par l’homothétie h, puis construire le point C″ tel que : h(C) = C″.

Exercice 4

Soit ABCD un parallélogramme et I est le point tel que : AI = 1/4AB. Soit h l’homothétie de centre I et de rapport k qui transforme A en B.

1. Montrer que : k = −3.
2. Soit E le point d’intersection des droites (AD) et (IC).

a) Montrer que : h(E) = C.

b) Déduire que : BC = 3AE.

3. On pose : h(D) = D′. Montrer que les points B, C et D′sont alignés.

Exercice 5

Soit ABCD un parallélogramme et I , J deux points tels que : CI = 2/3CB et IJ = DC.

1. Faire une figure.
2. Montrer que la droite (BJ) est l’image de la droite (AI) par la translation t_AB . Que peut-on en déduire pour les droites (BJ) et (AI)?
3. Soit h l’homothétie de centre I et de rapport k qui transforme le point B en C.

a) Montrer que : h((AB)) = (CD).

b) Montrer que : k = −2.

4. Soit le point K tel que : KI = 2AB.

a) Montrer que : h(J) = K.

b) Montrer que : AI = 1/2CK.

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Correction de la série

Exercice 1

Soit ABC un triangle et I est le milieu du segment [BC].

1. Montrons que : B′C″ = 2/3BC.

On a : AB′ = 2/3AB, ceci signifie que : h(B) = B′. De même on a : AC′ = 2/3AC′, ceci signifie que : h(C) = C′. D’après la propriété caractéristiques on obtient :

B′C″ = 2/3BC

Méthode N 2

En utilisant la relation de Chasles, on a :

B′C′ = B′A + AC′

= −2/3AB + 2/3AC

= 2/3(BA + AC)

= 2/3BC.

2. L’image du point A par h est A′ et l’image du point B par h est B′, donc l’image du segment [BC] par h est le segment [B′C′], et comme I est le milieu du segment [BC] alors h(I) est le milieu de [B′C′] , et comme J est le milieu de [B′C′] , donc : h(I) = J. Car l’homothétie conserve les milieux. Ceci signifie que les points J, A et I sont alignés.

Exercice 2

Soit IAB un triangle et C, D deux points tels que : IC = 1/3IA et 2IB + 3BD = 0

1. On a : 2IB + 3BD = 0 , donc : BD = 2/3BI.
2. Montrons que : h(A) = C.

On a : IC = 1/3IA, ceci signifie que l’image de A par l’homothétie h est C. C’est-à-dire : h(A) = C.

• Montrons que : h(B) = D.

Il suffit de montrer que : ID = 1/3IB. On a : 2IB + 3BD = 0 , donc : 2 (ID + DB) + 3BD = 0.

Ensuite : 2ID + 2DB + 3BD = 0.

Par ailleurs : 2ID + 2 ( DI + IB ) + 3 ( BI + ID ) = 0 , donc : 5ID + 2DI + 2IB + 3BI = 0 .

Donc : 3ID = IB. Ceci signifie que : ID = 1/3IB. D’où : h(B) = D.

3. Montrons que : AB = 3CD.

On a : h(A) = C et h(B) = D. Donc, d’après la propriété caractéristique on obtient : CD = 1/3AB. Par passage à la norme on obtient : CD = 1/3AB. Alors : AB = 3CD.

Exercice 3

ABC est un triangle et I un point du segment [BC].

1.

2. On considère l’homothétie h de centre I et de rapport k, tel que : h(A) = G.

a) On a : h(A) = G, donc : IG = kIA. D’autre part, on a : AG = 3/4AI, de plus : (AI + IG) = −3/4IA. Par ailleurs : IG = −3/4IA + IA = 1/4IA. Ce qui signifie que 1/4 est le rapport de l’homothétie de centre I.

b) Déterminons l’image de la droite (BC) par h :

On a : I ∈ (BC), donc : h((BC)) = (BC).

c) On cherche l’image de la droite (AC) par h :

On a : h(C) = C′ et h(A) = G, donc : h((AC)) = (GC′). Donc, l’image de la droite (AC) par l’homothétie h est la droite qui passe par G est parallèle à (AC).

Exercice 4

Soit ABCD un parallélogramme et I est le point tel que : AI = 1/4AB.

1. Montrons que : k = −3.

On a : h(A) = B, donc : IB = kIA. D’autre part, on a : AI = 1/4AB, de plus : AI = 1/4(AI + IB). Par ailleurs : AI = 1/4AI + 1/4IB, donc : 3/4AI = 1/4IB. Ce qui signifie que : IB = 3AI, donc : IB = −3IA. C’est-à-dire : k = −3.

2. Soit E le point d’intersection des droites : (AD) et (IC).

a) Montrons que : h(E) = C.

On a : (AD) ∩ (IC) = {E} . Donc, il suffit de trouver l’image des droites (AD) et (IC) par l’homothétie h.

On sait que I ∈ (IC), donc : h((IC)) = (IC).

D’autre part, on a : h(A) = B, donc l’image de (AD) est la droite qui passe par le point D et parallèle à la droite (AD). Donc, : h((AD)) = (BC).

On obtient : (BC) ∩ (IC) = {C} . Ce qui signifie que : h(E) = C.

b) On déduit que : BC = 3AE.

On a : h(A) = B et h(E) = C, donc d’après la propriété caractéristique on obtient : BC = −3AE, par passage à la norme, on a : BC = ∣−3∣AE. C’est-à-dire : BC = 3AE.

3. On a : h(D) = D′, h(A) = B et h(E) = C et les points A, E et D sont alignés et puisque l’homothétie conserve l’alignement alors les points B, C et D′ sont alignés.

Exercice 5

1. La figure.
2. Montrons que : t_AB((AI)) = (BJ) :

On a ABCD est un parallélogramme donc : DC = AB, et comme : DC = IJ, donc : IJ = AB. C’est-à-dire : t_AB(I) = J.

D’autre part, on a AB = AB, donc : t_AB(A) = B. Par suite, on obtient : t_AB(I) = J et t_AB(A) = B. Donc : t_AB((AI)) = (BJ).

On sait que l’image d’une droite par une transaction est une droite qui lui est parallèle donc : (AI) est parallèle à (BJ).

3. On considère l’homothétie h de centre I et transforme B en C.

a) On a : h(B) = C, donc l’image de la droite (AB) par l’homothétie h est la droite qui passe par C et parallèle à la droite (AB). Donc h((AB)) = (CD).

b) Montrons que : k = −2.

On a : h(B) = C, donc : IC = kIB.

D’autre part, on a : CI = 2/3CB. Donc :

CI = 2/3CB ⇔ 3CI = 2CB

⇔ 3CI = 2(CI + IB)

⇔ 3CI = 2CI + 2IB

⇔ CI = 2IB

Donc, on obtient : IC = −2IB. Ce qui signifie que : k = −2.

4. Soit K un point tel que : KI = 2AB.

a) Montrons que : h(J) = K. Il suffit de montrer que : IK = −2IJ.

Donc :

IK = −KI

= −2AB

= −2DC_AB=DC

= −2IJ

Donc, K est l’image du point J par h.

b) Montrons que : AI = 1/2CK.

On a : h(J) = K et h(B) = C, donc d’après la propriété caractéristique, on obtient : CK = −2BJ.

Donc :

CK = −2(BI + IJ)

= −2(BA + AI + DC)

= −2(−DC + AI + DC)

= −2AI

D’où : CK = −2AI, et par passage à la norme on obtient : ∥CK∥ = ∣−2∣∥AI∥ , c’est-à-dire : CK = 2AI. D’où

AI = 1/2CK

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