Bac blanc corrigé spécialité mathématiques

Bac blanc corrigé spécialité mathématiques.

Exercice 1

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par :

u₀ = 2 et u_n+1 = 1/5(u_n − 4n − 1) par tout n de ℕ

On pose : v_n = u_n + n − 1 pour tout n de ℕ.

1. Montrer que (v_n)_n∈ℕ est une suite géométrique de raison 1/5.
   1. Calculer v_n en fonction de n.
   2. En déduire u_n en fonction de n puis calculer lim_n→+∞ u_n .
2. On pose : T_n = v₀ + v₁ + … + v_n et S_n = u₀ + u₁ + … + u_n tel que n élément de ℕ.

Montrer que : T_n = 1/4(5 − 1/5ⁿ) et que S_n = T_n − (n+1)(n−2)/2 pour tout n de ℕ.

Exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives : z_A = −4 , z_B = − 1 + i√3 et z_C = −iz_B.

1. a) Montrer que le triangle OBC est isocèle et que : (OB, OC)≡ −π/2 [2π] .

b). Mettre z_B sous forme trigonométrique et déduire que le point B appartient au cercle de centre O et de rayon 2.

c). Placer le point A et construire les points B et C.

2. Soit D le point d’affixe z_D = (1 − i)z_B .

a). Montrer que le quadrilatère OCDB est un carré.

b). Montrer que : Aƒƒ(AB) = √3z_C .

c). Déduire que les points A, B et D sont alignés.

d). Calculer l’aire du quadrilatère OADC.

Problème d’analyse 3

Partie N 1 Soit g la fonction définie sur ℝ*⁺ par : g(x) = 1 +xlnx.

1. Montrer que : (∀x ∈ ℝ*⁺), g′(x) = 1 + ln x.
2. Dresser le tableau de variations de g en justifiant votre réponse.
3. Justifier que : (∀x ∈ ℝ*⁺), g(x) > 0.
4. Montrer que : (∀x ∈ ℝ*⁺) , (x − 1)lnx ≥ 0. (On pourra étudier deux cas)

Partie N 2

On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = (ln x)² + lnx/x + 1. Et (C_ƒ) sa courbe dans un repère orthonormé ( O , i , j ) (d’unité 1cm).

1)-a) Déterminer D_ƒ , puis calculer lim_x→+∞ ƒ(x).

b) Montrer que lim_x→0⁺ ƒ(x) = −∞, puis interpréter géométriquement ce résultat.

2)-a) Montrer que : (∀x ∈ ℝ*⁺), ƒ′(x) = (x − 1)ln x + g(x)/x²

b) Écrire l’équation de la tangente (∆) à (C_ƒ) au point d’abscisse x₀ = 1.

c) Montrer que ƒ est strictement croissante sur ℝ*⁺ , puis dresser son tableau de variations.

3)-a) Montrer que : lim_x→+∞ (ln x)²/x = 0.

b) En déduire que : lim_x→+∞ ƒ(x)/x = 0, puis déterminer la nature de la branche infini de (C_ƒ) au voisinage de +∞.

4)-a) Montrer que l’équation ƒ(x) = 0, admet une solution unique α dans ℝ*⁺ . Et que : 1/4 < α < 3/4 .

b) Construire la tangente (∆) et (C_ƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

5)-a) Montrer que ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ sur ℝ.

b) Montrer que ƒ⁻¹ est dérivable en b = 1 et que : (ƒ⁻¹)′(1) = 1.

6)-a) Calculer I = ∫^e₁ lnx/x dx.

b) En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫^e₁ (ln x)² dx = e − 2.

c) En déduire en cm² l’aire du domaine délimité par la courbe (C_ƒ) et l’axe (Ox) et les droites d’équations : x = 1 et x = e.

7) Graphiquement justifier que : (∀x ∈ ℝ*⁺), ƒ(x) ≤ x et que l’équation ƒ(x) = x admet une solution unique qu l’on déterminera.

Partie N 3

On considère la suite (u_n)_n∈ℕ définie par : u₀ = 2 et (∀n ∈ ℕ), u_n+1 = ƒ(u_n)

1. Montrer par récurrence que : (∀n ∈ ℕ), u_n ≥ 1.
2. Montrer que (u_n)_n∈ℕ est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
3. Calculer lim_n→+∞ u_n en justifiant votre réponse.

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Correction d’examen (Bac blanc corrigé spécialité mathématiques)

Exercice 1 (Suites numériques)

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par :

u₀ = 2 et u_n+1 = 1/5(u_n − 4n − 1), pour tout n ∈ ℕ

et : v_n = u_n + n − 1, pour tout n de ℕ.

1. Montrons que (v_n)_n∈ℕ est une suite géométrique de raison 1/5 :

v_n+1 = u_n+1 + n + 1 − 1

= u_n+1 + n

= 1/5(u_n − 4n − 1) + n

= 1/5u_n − 4/5n − 1/5 + n

= 1/5u_n + 1/5n − 1/5

= 1/5(u_n + n − 1)

=1/5v_n

Donc, la suite (v_n)_n∈ℕ est géométrique de raison 1/5, et de premier terme v₀ = u₀ + 0 − 1 = 1.

a) Calculons v_n en fonction de n.

On sait que la suite (v_n)_n∈ℕ est géométrique, donc :

v_n = v_pq^n−p

puisque : p = 0 et q = 1/5, alors on obtient : v_n = (1/5)ⁿ

b) On a : v_n = (1/5)ⁿ , et comme : v_n = u_n + n − 1, donc : u_n + n − 1 = (1/5)ⁿ . D’où : u_n = (1/5)ⁿ − n + 1

Par passage à la limite, on obtient : lim_n→+∞ u_n = lim_n→+∞ (1/5)ⁿ − n + 1.

Puisque : − 1 < 1/5 < 1, alors : lim_n→+∞ (1/5)ⁿ = 0, et par conséquent on obtient : lim_n→+∞ u_n = −∞.

2. Montrons que : T_n = 1/4(5 − 1/5ⁿ).

On a : T_n = v₀ + v₁ + … + v_n, et la suite géométrique, donc :

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Vous pouvez aussi consulter :

• Devoir surveillé sur la fonction exponentielle et les nombres complexes
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