Bac blanc corrigé spécialité mathématiques

Bac blanc corrigé spécialité mathématiques

Bac blanc corrigé spécialité mathématiques.

Exercice 1

Soit (un)n∈ la suite numérique définie par :

u0 = 2 et un+1 = 1/5(un − 4n − 1) par tout n de

On pose : vn = un + n − 1 pour tout n de .

  1. Montrer que (vn)n est une suite géométrique de raison 1/5.
    1. Calculer vn en fonction de n.
    2. En déduire un en fonction de n puis calculer limn→+∞ un .
  2. On pose : Tn = v0 + v1 + … + vn et Sn = u0 + u1 + … + un tel que n élément de .

Montrer que : Tn = 1/4(5 − 1/5n) et que Sn = Tn − (n+1)(n−2)/2 pour tout n de .

Exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives : zA = −4 , zB = − 1 + i√3 et zC = −izB.

  1. a) Montrer que le triangle OBC est isocèle et que : (OB, OC)≡ −π/2 [] .

b). Mettre zB sous forme trigonométrique et déduire que le point B appartient au cercle de centre O et de rayon 2.

c). Placer le point A et construire les points B et C.

2. Soit D le point d’affixe zD = (1 − i)zB .

a). Montrer que le quadrilatère OCDB est un carré.

b). Montrer que : Aƒƒ(AB) = √3zC .

c). Déduire que les points A, B et D sont alignés.

d). Calculer l’aire du quadrilatère OADC.

Problème d’analyse 3

Partie N 1 Soit g la fonction définie sur *+ par : g(x) = 1 +xlnx.

  1. Montrer que : (∀x*+), g′(x) = 1 + ln x.
  2. Dresser le tableau de variations de g en justifiant votre réponse.
  3. Justifier que : (∀x*+), g(x) > 0.
  4. Montrer que : (∀x*+) , (x − 1)lnx ≥ 0. (On pourra étudier deux cas)

Partie N 2 On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = (ln x)2 + lnx/x + 1. Et (Cƒ) sa courbe dans un repère orthonormé ( O , i , j ) (d’unité 1cm).

1)-a) Déterminer Dƒ , puis calculer limx→+∞ ƒ(x).

b) Montrer que limx→0+ ƒ(x) = −∞, puis interpréter géométriquement ce résultat.

2)-a) Montrer que : (∀x ∈ *+), ƒ′(x) = (x − 1)ln x + g(x)/x2

b) Écrire l’équation de la tangente (∆) à (Cƒ) au point d’abscisse x0 = 1.

c) Montrer que ƒ est strictement croissante sur *+ , puis dresser son tableau de variations.

3)-a) Montrer que : limx→+∞ (ln x)2/x = 0.

b) En déduire que : limx→+∞ ƒ(x)/x = 0, puis déterminer la nature de la branche infini de (Cƒ) au voisinage de +∞.

4)-a) Montrer que l’équation ƒ(x) = 0, admet une solution unique α dans *+ . Et que : 1/4 < α < 3/4 .

b) Construire la tangente (∆) et (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

5)-a) Montrer que ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 sur .

b) Montrer que ƒ−1 est dérivable en b = 1 et que : (ƒ−1)′(1) = 1.

6)-a) Calculer I =e1 lnx/x dx.

b) En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫e1 (ln x)2 dx = e − 2.

c) En déduire en cm2 l’aire du domaine délimité par la courbe (Cƒ) et l’axe (Ox) et les droites d’équations : x = 1 et x = e.

7) Graphiquement justifier que : (∀x *+), ƒ(x) ≤ x et que l’équation ƒ(x) = x admet une solution unique qu l’on déterminera.

Partie N 3

On considère la suite (un)n définie par : u0 = 2 et (∀n), un+1 = ƒ(un)

  1. Montrer par récurrence que : (∀n), un ≥ 1.
  2. Montrer que (un)n est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
  3. Calculer limn→+∞ un en justifiant votre réponse.

Cliquer ici pour télécharger Bac blanc corrigé spécialité mathématiques 2021 pdf

Correction d’examen (Bac blanc corrigé spécialité mathématiques)

Exercice 1 (Suites numériques)

Soit (un)n la suite numérique définie par :

u0 = 2 et un+1 = 1/5(un − 4n − 1), pour tout n

et : vn = un + n − 1, pour tout n de .

  1. Montrons que (vn)n est une suite géométrique de raison 1/5 :

vn+1 = un+1 + n + 1 − 1

= un+1 + n

= 1/5(un − 4n − 1) + n

= 1/5un − 4/5n − 1/5 + n

= 1/5un + 1/5n − 1/5

= 1/5(un + n − 1)

=1/5vn

Donc, la suite (vn)n est géométrique de raison 1/5, et de premier terme v0 = u0 + 0 − 1 = 1.

a) Calculons vn en fonction de n.

On sait que la suite (vn)n est géométrique, donc :

vn = vpqn−p

puisque : p = 0 et q = 1/5, alors on obtient : vn = (1/5)n

b) On a : vn = (1/5)n , et comme : vn = un + n − 1, donc : un + n − 1 = (1/5)n . D’où : un = (1/5)n − n + 1

Par passage à la limite, on obtient : limn→+∞ un = limn→+∞ (1/5)n − n + 1.

Puisque : − 1 < 1/5 < 1, alors : limn→+∞ (1/5)n = 0, et par conséquent on obtient : limn→+∞ un = −∞.

2. Montrons que : Tn = 1/4(5 − 1/5n).

On a : Tn = v0 + v1 + … + vn, et la suite géométrique, donc :

Cliquer ici pour télécharger la correction

Vous pouvez aussi consulter :

Partager

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Une réflexion sur « Bac blanc corrigé spécialité mathématiques »

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.