Bac blanc corrigé spécialité mathématiques.
Exercice 1
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par :
u0 = 2 et un+1 = 1/5(un − 4n − 1) par tout n de ℕ
On pose : vn = un + n − 1 pour tout n de ℕ.
- Montrer que (vn)n∈ℕ est une suite géométrique de raison 1/5.
- Calculer vn en fonction de n.
- En déduire un en fonction de n puis calculer limn→+∞ un .
- On pose : Tn = v0 + v1 + … + vn et Sn = u0 + u1 + … + un tel que n élément de ℕ.
Montrer que : Tn = 1/4(5 − 1/5n) et que Sn = Tn − (n+1)(n−2)/2 pour tout n de ℕ.
Exercice 2
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives : zA = −4 , zB = − 1 + i√3 et zC = −izB.
- a) Montrer que le triangle OBC est isocèle et que : (OB, OC)≡ −π/2 [2π] .
b). Mettre zB sous forme trigonométrique et déduire que le point B appartient au cercle de centre O et de rayon 2.
c). Placer le point A et construire les points B et C.
2. Soit D le point d’affixe zD = (1 − i)zB .
a). Montrer que le quadrilatère OCDB est un carré.
b). Montrer que : Aƒƒ(AB) = √3zC .
c). Déduire que les points A, B et D sont alignés.
d). Calculer l’aire du quadrilatère OADC.
Problème d’analyse 3
Partie N 1 Soit g la fonction définie sur ℝ*+ par : g(x) = 1 +xlnx.
- Montrer que : (∀x ∈ ℝ*+), g′(x) = 1 + ln x.
- Dresser le tableau de variations de g en justifiant votre réponse.
- Justifier que : (∀x ∈ ℝ*+), g(x) > 0.
- Montrer que : (∀x ∈ ℝ*+) , (x − 1)lnx ≥ 0. (On pourra étudier deux cas)
Partie N 2
On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = (ln x)2 + lnx/x + 1. Et (Cƒ) sa courbe dans un repère orthonormé ( O , i , j ) (d’unité 1cm).
1)-a) Déterminer Dƒ , puis calculer limx→+∞ ƒ(x).
b) Montrer que limx→0+ ƒ(x) = −∞, puis interpréter géométriquement ce résultat.
2)-a) Montrer que : (∀x ∈ ℝ*+), ƒ′(x) = (x − 1)ln x + g(x)/x2
b) Écrire l’équation de la tangente (∆) à (Cƒ) au point d’abscisse x0 = 1.
c) Montrer que ƒ est strictement croissante sur ℝ*+ , puis dresser son tableau de variations.
3)-a) Montrer que : limx→+∞ (ln x)2/x = 0.
b) En déduire que : limx→+∞ ƒ(x)/x = 0, puis déterminer la nature de la branche infini de (Cƒ) au voisinage de +∞.
4)-a) Montrer que l’équation ƒ(x) = 0, admet une solution unique α dans ℝ*+ . Et que : 1/4 < α < 3/4 .
b) Construire la tangente (∆) et (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
5)-a) Montrer que ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 sur ℝ.
b) Montrer que ƒ−1 est dérivable en b = 1 et que : (ƒ−1)′(1) = 1.
6)-a) Calculer I = ∫e1 lnx/x dx.
b) En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫e1 (ln x)2 dx = e − 2.
c) En déduire en cm2 l’aire du domaine délimité par la courbe (Cƒ) et l’axe (Ox) et les droites d’équations : x = 1 et x = e.
7) Graphiquement justifier que : (∀x ∈ ℝ*+), ƒ(x) ≤ x et que l’équation ƒ(x) = x admet une solution unique qu l’on déterminera.
Partie N 3
On considère la suite (un)n∈ℕ définie par : u0 = 2 et (∀n ∈ ℕ), un+1 = ƒ(un)
- Montrer par récurrence que : (∀n ∈ ℕ), un ≥ 1.
- Montrer que (un)n∈ℕ est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
- Calculer limn→+∞ un en justifiant votre réponse.
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Correction d’examen (Bac blanc corrigé spécialité mathématiques)
Exercice 1 (Suites numériques)
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par :
u0 = 2 et un+1 = 1/5(un − 4n − 1), pour tout n ∈ ℕ
et : vn = un + n − 1, pour tout n de ℕ.
- Montrons que (vn)n∈ℕ est une suite géométrique de raison 1/5 :
vn+1 = un+1 + n + 1 − 1
= un+1 + n
= 1/5(un − 4n − 1) + n
= 1/5un − 4/5n − 1/5 + n
= 1/5un + 1/5n − 1/5
= 1/5(un + n − 1)
=1/5vn
Donc, la suite (vn)n∈ℕ est géométrique de raison 1/5, et de premier terme v0 = u0 + 0 − 1 = 1.
a) Calculons vn en fonction de n.
On sait que la suite (vn)n∈ℕ est géométrique, donc :
vn = vpqn−p
puisque : p = 0 et q = 1/5, alors on obtient : vn = (1/5)n
b) On a : vn = (1/5)n , et comme : vn = un + n − 1, donc : un + n − 1 = (1/5)n . D’où : un = (1/5)n − n + 1
Par passage à la limite, on obtient : limn→+∞ un = limn→+∞ (1/5)n − n + 1.
Puisque : − 1 < 1/5 < 1, alors : limn→+∞ (1/5)n = 0, et par conséquent on obtient : limn→+∞ un = −∞.
2. Montrons que : Tn = 1/4(5 − 1/5n).
On a : Tn = v0 + v1 + … + vn, et la suite géométrique, donc :
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