Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d'intégral

Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral

Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral (Bac/ Terminale)

Exercice 1
  1. Calculer les intégrales suivantes : I =21 x/x+1 dx et J =e1 ln2(x)/x dx.
  2. En utilisant une intégration par partie, montrer que : ∫π/20 cos x. ln(1 + cos x)dx = π/2 − 1.
  3. Calculer la valeur moyenne de la fonction : ƒ(x) = cos 2x sur [0, π/4].
  4. On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x lnx . Et (Cƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (On prendra ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm). On admet que la fonction ƒ est positive sur l’intervalle [1, e].
    • Calculer l’aire en cm2 du domaine délimité par (Cƒ), l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 1 et x = e.
Exercice 2
  • Résoudre dans l’ensemble l’équation (E) : z2 − 4√3z + 16 = 0.

Dans le plan complexe (P) rapporté à un repère orthonormé ( O , u , v ), on considère les pointes A et B d’affixes respectifs : zA = 2√3 − 2i et zB = 2√3 + 2i.

  1. a) Écrire zA et zB sous forme trigonométrique.

b) En déduire que : OA = OB et (OA, OB) ≡ π/3 []. Puis en déduire la nature du triangle OAB.

2. Le point I est le milieu du segment [AB] et soit C l’image de I par l’homothétie h de centre O et de rapport k = 2.

a) Montrer que l’affixe de I est : zI = 2√3, puis en déduire que : zC = 4√3.

b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

c) Déduire que : (AC, AO) ≡ 2π/3 [].

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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