Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral

Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral (Bac/ Terminale)

Exercice 1

1. Calculer les intégrales suivantes : I = ∫²₁ x/x+1 dx et J = ∫^e₁ ln²(x)/x dx.
2. En utilisant une intégration par partie, montrer que : ∫^π/2₀ cos x. ln(1 + cos x)dx = π/2 − 1.
3. Calculer la valeur moyenne de la fonction : ƒ(x) = cos 2x sur [0, π/4].
4. On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x lnx . Et (C_ƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (On prendra ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm). On admet que la fonction ƒ est positive sur l’intervalle [1, e].
   • Calculer l’aire en cm² du domaine délimité par (C_ƒ), l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 1 et x = e.

Exercice 2

• Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation (E) : z² − 4√3z + 16 = 0.

Dans le plan complexe (P) rapporté à un repère orthonormé ( O , u , v ), on considère les pointes A et B d’affixes respectifs : z_A = 2√3 − 2i et z_B = 2√3 + 2i.

1. a) Écrire z_A et z_B sous forme trigonométrique.

b) En déduire que : OA = OB et (OA, OB) ≡ π/3 [2π]. Puis en déduire la nature du triangle OAB.

2. Le point I est le milieu du segment [AB] et soit C l’image de I par l’homothétie h de centre O et de rapport k = 2.

a) Montrer que l’affixe de I est : z_I = 2√3, puis en déduire que : z_C = 4√3.

b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

c) Déduire que : (AC, AO) ≡ 2π/3 [2π].

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