Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles

Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles. (Bac / Terminale)

Exercice 1 (Les nombres complexes)

Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation : z² − √2z + 1 = 0.
On pose : a = √2/2 + √2/2i
1. Écrire a sous la forme trigonométrique et en déduire que a²⁰²⁰ est nombre réel.
2. Déduire les entiers naturel n tels que : aⁿ ∈ ℝ.
3. Soit le nombre complexe b = cos π/8 + i sin π/8. Montrer que : b² = a.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : c = 1. La rotation R de centre O et d’angle π/8 transforme le point M d’affixe z au point M′ d’affixe z′.
1. Vérifier que : z′ = bz.
2. Déterminer l’image de C par la rotation R et montrer que A est l’image de B par R.
1. Montrer que : ∣a − b∣ = ∣b − c∣ et en déduire la nature du triangle ABC.
2. Déterminer une mesure de l’angle (BA, BC).
Soit T la translation de vecteur u et D l’image de A par T.
1. Vérifier que l’affixe de D est b² + 1.
2. Montrer que : b² +1/b = b + b⁻ et en déduire que les points O , B et D sont alignés.

Exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , j ). On note A, B et I les points du plan d’affixes respectives z_A = 1 + i√3 , z_B = 2i et z_I= 1/2 + i√3 +2/2.

Mettre les nombres complexes z_A et z_B sous la forme exponentielle.
Vérifier que A et B sont deux points du cercle (C) de centre O et de rayon 2.
Vérifier que I est le milieu du segment [AB] .
Construire de manière rigoureuse le cercle (C) ainsi que les points A, B et I.