Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles

Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles

Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles.(Bac / Terminale)

Exercice 1 (Les nombres complexes)
  1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z2 − √2z + 1 = 0.
  2. On pose : a = √2/2 + √2/2i
    1. Écrire a sous la forme trigonométrique et en déduire que a2020 est nombre réel.
    2. Déduire les entiers naturel n tels que : an .
    3. Soit le nombre complexe b = cos π/8 + i sin π/8. Montrer que : b2 = a.
  3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : c = 1. La rotation R de centre O et d’angle π/8 transforme le point M d’affixe z au point M′ d’affixe z′.
    1. Vérifier que : z′ = bz.
    2. Déterminer l’image de C par la rotation R et montrer que A est l’image de B par R.
    1. Montrer que : ∣a − b∣ = ∣b − c∣ et en déduire la nature du triangle ABC.
    2. Déterminer une mesure de l’angle (BA, BC).
  4. Soit T la translation de vecteur u et D l’image de A par T.
    1. Vérifier que l’affixe de D est b2 + 1.
    2. Montrer que : b2 +1/b = b + b et en déduire que les points O , B et D sont alignés.
Exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , j ). On note A, B et I les points du plan d’affixes respectives zA = 1 + i√3 , zB = 2i et zI = 1/2 + i√3 +2/2.

    1. Mettre les nombres complexes zA et zB sous la forme exponentielle.
    2. Vérifier que A et B sont deux points du cercle (C) de centre O et de rayon 2.
    3. Vérifier que I est le milieu du segment [AB] .
    4. Construire de manière rigoureuse le cercle (C) ainsi que les points A, B et I.
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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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