Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés

Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés

Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés.

Exercice 1

On considère la suite numérique (un) définie par : u0 = 3/2 et pour n de :

un+1 = 1/2021un + 2020/2021

  1. a) Montrer par récurrence que : un ≥ 1 pour tout entier naturel n.

b) Vérifier que : un+1 − un = 2020/2021(1 − un) pour tout entier naturel n puis montrer que la suite (un)n est décroissante.

c) En déduire que : un ≤ 3/2 pour tout entier naturel n.

2. Soit (vn) la suite numérique telle que : vn = un − 1 pour tout entier naturel n.

a) Montrer que : (vn)n∈ℕ est une suite géométrique de raison q = 1/2021.

b) Exprimer vn en fonction de n, puis un en fonction de n.

3. Montrer que : limn→+∞ ln(un)/un −1 = 1.

Exercice 2
  1. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation :

(E) : z2 − 2(√2 + √6)z +16 = 0

a) Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est : ∆ = −4(√6 − √2)2

b) En déduire les solutions de l’équation (E).

2. Soient les nombres complexes : a = (√6 + √2) + i(√6 − √2), b = 1 + i√3 et c = √2 + i√2

a) Vérifier que : bc = a, puis en déduire que ac = 4b.

b) Ecrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique.

c) En déduire que : a = 4(cos π/12 + i sin π/12).

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points B , C et D d’affixes respectives b, c et d telle que d = a4 . Soient z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe de M′ image de M par le rotation R de centre O et d’angle π/12.

a) Vérifier que : z′ = 1/4az

b) Déterminer l’image du point C par la rotation R.

c) Déterminer la nature du triangle OBC.

d) Montrer que a4 = 128b et en déduire que les points O, B et D sont alignés.

Exercice 3

Soit θ, on pose : A(θ) = cos2(θ) sin4(θ).

  1. En linéarisant l’expression A(θ), montrer que : ∫π/20 A(θ)dθ = π/32.
  2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫10 (1 + 2x)e2x dx = e2 et ∫e−10 ln(1 + x)dx = 1.
Problème d’analyse 4

On considère la fonction numérique ƒ définie sur par : ƒ(x) = −x + 5/2 − 1/2ex−2(ex−2 − 4) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (unité : 2cm).

  1. Montrer que limx→−∞ ƒ(x) = +∞ et limx→+∞ ƒ(x) = −∞.
    1. Démontrer que la droite (∆) d’équation y = −x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de −∞.
    2. Résoudre l’équation ex−2 − 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (∆) sur l’intervalle ]−∞, 2 + ln 4] et en dessous de (∆) sur l’intervalle [2 + ln 4, +∞[.
  2. Montrer que limx→+∞ ƒ(x)/x = −∞ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
    1. Montrer que pour tout x , ƒ′(x) = (ex−2 − 1)2
    2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
  3. Calculer ƒ″(x) pour tout x, puis montrer que A (2,2) est un point d’inflexion de (C).
  4. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α telle que : 2 + ln 3α 2 + ln 4, puis en utilisant la méthode de dichotomie déterminer un encadrement de α de longueur ln 4 ln12/2 .
  5. Construire (∆) et (C) dans le même repère ( O , i , j ) (on prend ln 2 0,7 et ln 3 ≃ 1,1).
    1. Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur .
    2. Construire dans le même repère ( O , i , j ) la courbe représentative de la fonction ƒ1 .
    3. Justifier puis calculer (ƒ−1)′(2 − ln 3). (Indication : ƒ1(2 − ln 3) = 2 + ln 3).

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Correction d’examen 2 (Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés)
Exercice 1

On considère la suite numérique (un)n définie par : u0 = 3/2 et pour tout n de :

un+1 = 1/2021un + 2020/2021

1.a) Montrons par récurrence que : ( ∀n) , un ≥ 1.

Initialisation : Si n = 0, alors u0 = 3/2 et comme u0 ≥ 1. Donc, l’inégalité est vraie.

Hérédité : Soit n. On suppose que un ≥ 1, et on montre que : un+1 ≥ 1.

évaluons le signe de la différence : un+1 − 1

un+1 − 1 = 1/2021un + 2020/2021 − 1

= 1/2021un − 1/2021

et comme un ≥ 1, donc : 1/2021un − 1/2021 ≥ 0. D’où : un+1 ≥ 1.

Donc, d’après le principe de récurrence on déduit que pour tout n de , On a : un ≥ 1.

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Bac blanc N 3 maths 2021 (Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés)
Exercice 1

On considère la suite numérique (un)n définie par : u0 = 3 et un+1 = 1/3un + 4/3.

  1. Montrer par récurrence que un2 pour tout entier n.
  2. Déterminer la monotonie de la suite (un)n puis en déduire qu’elle est convergente.
  3. Soit (vn)n∈ℕ la suite numérique telle que : vn = un − 2
    1. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 1/3 puis écrire vn en fonction de n.
    2. Ecrire un en fonction de n pour tout entier naturel n, puis calculer limn→+∞ un
    3. Calculer limn→+∞ wn telle que (wn)n est une suite numérique définie par : wn = ln (un).
  4. On pose Sn = u0 + u1 + u2 + … + un−1. Montrer que : Sn = 3/2(1 − (1/3)n) + 2n
Exercice 2
  1. Dans l’ensemble , on considère l’équation (E) : z2(1− √3/2)z + 1/2 = 0

a) Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est : ∆ = − (1− √3/2)2

b) En déduire les solutions de l’équation : (E) .

2. Soient les nombres complexes : a = 1 + i , b = 1 − i√3 et c = 1− √3/4 + 1− √3/4i

a) Vérifier que : c = a/b.

b) Ecrire a et b sous forme trigonométrique.

c) En déduire que : c = √2/2(cos (7π/12) + i sin (7π/12)).

d) En déduire de ce qui précède que : tan (7π/12) = −2 − √3.

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , e1 , e2 ). On considère le point B d’affixe b et la translation T du vecteur u d’affixe 2i√3 et soit d l’affixe du point D l’image du point B par la translation T.

a) Montrer que : d = b . (b est la conjugué du nombre complexe b).

b) Vérifier que : arg (b/d) ≡ −2π/3 [] puis en déduire une mesure de l’angle orienté : ( OD, OB).

c) Vérifier que : OD = OB puis en déduire la nature du triangle OBD.

d) En déduire l’image du point D par la rotation R de centre O et d’angle −2π/3.

Problème d’analyse 3

Partie N 1 Soit g la fonction numérique définie surpar : g(x) = 1 + (2 − x)e−x .

  1. Montrer que : (∀x ) , g′(x) = (x − 3)e−x .
  2. En déduire la monotonie de la fonction g sur les intervalles : ]−∞, 3] et [3, +∞[, puis dresser le tableau de variations de g sur .
  3. Montrer que : (∀x) , g(x) ≻ 0.
Partie N2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par : ƒ(x) = x + (x − 1)e−x

  1. Montrer que : limx→+∞ ƒ(x) = +∞ et limx→−∞ ƒ(x) = −∞.
    1. Montrer que : (∀x) , ƒ′(x) = g(x), puis dresser le tableau de variations de ƒ sur .
    2. Ecrire l’équation de la tangente à la courbe (Cƒ) au point d’abscisse x0 = 0.
  2. Montrer que la courbe (Cƒ) est convexe sur [3, +∞[ et concave sur ]−∞, 3] et déterminer les coordonnées de son point d’inflexion.
  3. Montrer que : limx→−∞ ƒ(x)/x = +∞ , puis interpréter géométriquement le résultat.
    1. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x est une asymptote oblique à la courbe (Cƒ) au voisinage de +∞.
    2. Etudier la position relative de la courbe (Cƒ) et de la droite (∆).
    1. Montrer que la courbe (Cƒ) coupe l’axe (Ox) en unique point d’abscisse α telle que : 0 ≺ α ≺ 1.
    2. Tracer la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ) tel que ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm.
    1. En utilisant une intégration par parties, calculer l’intégrale : ∫ln 41 (x − 1)e−x .
    2. Déduire, en cm3 l’aire du domaine plan limité par la courbe (Cƒ) et l’axe (Ox) et les droites d’équations : x = 1 et x = ln 4.
    1. Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ1 définie sur .
    2. Montrer que la fonction ƒ1 est dérivable en b = −1 et que : (ƒ1) (1) = 1/3 . (Ind : ƒ(0) = −1).

Bac blanc N 3 maths 2021

Correction d’examen 3
Exercice 1

On considère la suite numérique (un)n définie par : u0 = 3 et pour tout n de : un+1 = 1/3un + 4/3

  1. Montrons par récurrence que : ( ∀n) , un2.

Initialisation : Si n = 0, alors u0 = 3 et comme u0 ≻ 2. Donc, l’inégalité est vraie.

Hérédité : Soit n. On suppose que un 2, et on montre que : un+1 2.

évaluons le signe de la différence : un+1 − 2.

un+1 − 2 = 1/3un + 4/3 − 2

= 1/3un − 2/3

et comme un 2, donc : 1/3un − 2/30. D’où : un+12.

Donc, d’après le principe de récurrence on déduit que pour tout n de , on a : un 2.

2. On cherche la monotonie de la suite (un)n :

Soit n.

un+1 − un = 1/3un + 4/3 − un

= − 2un/3 + 4/3

comme un2, alors : −2un/3 −4/3. Donc : −2un/3 + 4/3 0. Ceci signifie que : un+1 − un0, c’est-à-dire la suite (un)n est strictement décroissante, et comme elle est minorée par 2 alors la suite (un)n est convergente.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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