Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés

Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés

Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés.

Bac Blanc N2 maths 2021 sujets et corrigés

Durée 3H

Exercice 1

On considère la suite numérique (un) définie par : u0 = 3/2 et pour n de :

un+1 = 1/2021un + 2020/2021

  1. a) Montrer par récurrence que : un ≥ 1 pour tout entier naturel n.

b) Vérifier que : un+1 − un = 2020/2021(1 − un) pour tout entier naturel n puis montrer que la suite (un)n est décroissante.

c) En déduire que : un ≤ 3/2 pour tout entier naturel n.

2. Soit (vn) la suite numérique telle que : vn = un − 1 pour tout entier naturel n.

a) Montrer que : (vn)n∈ℕ est une suite géométrique de raison q = 1/2021.

b) Exprimer vn en fonction de n, puis un en fonction de n.

3. Montrer que : limn→+∞ ln(un)/un −1 = 1.

Exercice 2

  1. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation :

(E) : z2 − 2(√2 + √6)z +16 = 0

a) Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est : ∆ = −4(√6 − √2)2

b) En déduire les solutions de l’équation (E).

2. Soient les nombres complexes : a = (√6 + √2) + i(√6 − √2), b = 1 + i√3 et c = √2 + i√2

a) Vérifier que : bc = a, puis en déduire que ac = 4b.

b) Ecrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique.

c) En déduire que : a = 4(cos π/12 + i sin π/12).

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points B , C et D d’affixes respectives b, c et d telle que d = a4 . Soient z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe de M′ image de M par le rotation R de centre O et d’angle π/12.

a) Vérifier que : z′ = 1/4az

b) Déterminer l’image du point C par la rotation R.

c) Déterminer la nature du triangle OBC.

d) Montrer que a4 = 128b et en déduire que les points O, B et D sont alignés.

Exercice 3

Soit θ, on pose : A(θ) = cos2(θ) sin4(θ).

  1. En linéarisant l’expression A(θ), montrer que : ∫π/20 A(θ)dθ = π/32.
  2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫10 (1 + 2x)e2x dx = e2 et ∫e−10 ln(1 + x)dx = 1.

Problème d’analyse 4

On considère la fonction numérique ƒ définie sur par : ƒ(x) = −x + 5/2 − 1/2ex−2(ex−2 − 4) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (unité : 2cm).

  1. Montrer que limx→−∞ ƒ(x) = +∞ et limx→+∞ ƒ(x) = −∞.
    1. Démontrer que la droite (∆) d’équation y = −x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de −∞.
    2. Résoudre l’équation ex−2 − 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (∆) sur l’intervalle ]−∞, 2 + ln 4] et en dessous de (∆) sur l’intervalle [2 + ln 4, +∞[.
  2. Montrer que limx→+∞ ƒ(x)/x = −∞ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
    1. Montrer que pour tout x , ƒ′(x) = (ex−2 − 1)2
    2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
  3. Calculer ƒ″(x) pour tout x, puis montrer que A (2,2) est un point d’inflexion de (C).
  4. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α telle que : 2 + ln 3α 2 + ln 4, puis en utilisant la méthode de dichotomie déterminer un encadrement de α de longueur ln 4 ln12/2 .
  5. Construire (∆) et (C) dans le même repère ( O , i , j ) (on prend ln 20,7 et ln 3 ≃ 1,1).
    1. Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur .
    2. Construire dans le même repère ( O , i , j ) la courbe représentative de la fonction ƒ1 .
    3. Justifier puis calculer (ƒ−1)′(2 − ln 3). (Indication : ƒ1(2 − ln 3) = 2 + ln 3).

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Correction d’examen 2 (Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés)

Exercice 1

On considère la suite numérique (un)n définie par : u0 = 3/2 et pour tout n de :

un+1 = 1/2021un + 2020/2021

1.a) Montrons par récurrence que : ( ∀n) , un ≥ 1.

Initialisation : Si n = 0, alors u0 = 3/2 et comme u0 ≥ 1. Donc, l’inégalité est vraie.

Hérédité : Soit n. On suppose que un ≥ 1, et on montre que : un+1 ≥ 1.

évaluons le signe de la différence : un+1 − 1

un+1 − 1 = 1/2021un + 2020/2021 − 1

= 1/2021un − 1/2021

et comme un ≥ 1, donc : 1/2021un − 1/2021 ≥ 0. D’où : un+1 ≥ 1.

Donc, d’après le principe de récurrence on déduit que pour tout n de , On a : un ≥ 1.

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Bac blanc N 3 maths 2021 sujets et corrigés

Durée 3H

Exercice 1

On considère la suite numérique (un)n définie par : u0 = 3 et un+1 = 1/3un + 4/3.

  1. Montrer par récurrence que un2 pour tout entier n.
  2. Déterminer la monotonie de la suite (un)n puis en déduire qu’elle est convergente.
  3. Soit (vn)n∈ℕ la suite numérique telle que : vn = un − 2
    1. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 1/3 puis écrire vn en fonction de n.
    2. Ecrire un en fonction de n pour tout entier naturel n, puis calculer limn→+∞ un
    3. Calculer limn→+∞ wn telle que (wn)n est une suite numérique définie par : wn = ln (un).
  4. On pose Sn = u0 + u1 + u2 + … + un−1. Montrer que : Sn = 3/2(1 − (1/3)n) + 2n

Exercice 2

  1. Dans l’ensemble , on considère l’équation (E) : z2(1− √3/2)z + 1/2 = 0

a) Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est : ∆ = − (1− √3/2)2

b) En déduire les solutions de l’équation : (E) .

2. Soient les nombres complexes : a = 1 + i , b = 1 − i√3 et c = 1− √3/4 + 1− √3/4i

a) Vérifier que : c = a/b.

b) Ecrire a et b sous forme trigonométrique.

c) En déduire que : c = √2/2(cos (7π/12) + i sin (7π/12)).

d) En déduire de ce qui précède que : tan (7π/12) = −2 − √3.

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , e1 , e2 ). On considère le point B d’affixe b et la translation T du vecteur u d’affixe 2i√3 et soit d l’affixe du point D l’image du point B par la translation T.

a) Montrer que : d = b . (b est la conjugué du nombre complexe b).

b) Vérifier que : arg (b/d) ≡ −2π/3 [] puis en déduire une mesure de l’angle orienté : ( OD, OB).

c) Vérifier que : OD = OB puis en déduire la nature du triangle OBD.

d) En déduire l’image du point D par la rotation R de centre O et d’angle −2π/3.

Problème d’analyse 3

Partie N 1 Soit g la fonction numérique définie surpar : g(x) = 1 + (2 − x)e−x .

  1. Montrer que : (∀x ) , g′(x) = (x − 3)e−x .
  2. En déduire la monotonie de la fonction g sur les intervalles : ]−∞, 3] et [3, +∞[, puis dresser le tableau de variations de g sur .
  3. Montrer que : (∀x) , g(x) ≻ 0.

Partie N2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par : ƒ(x) = x + (x − 1)e−x

  1. Montrer que : limx→+∞ ƒ(x) = +∞ et limx→−∞ ƒ(x) = −∞.
    1. Montrer que : (∀x) , ƒ′(x) = g(x), puis dresser le tableau de variations de ƒ sur .
    2. Ecrire l’équation de la tangente à la courbe (Cƒ) au point d’abscisse x0 = 0.
  2. Montrer que la courbe (Cƒ) est convexe sur [3, +∞[ et concave sur ]−∞, 3] et déterminer les coordonnées de son point d’inflexion.
  3. Montrer que : limx→−∞ ƒ(x)/x = +∞ , puis interpréter géométriquement le résultat.
    1. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x est une asymptote oblique à la courbe (Cƒ) au voisinage de +∞.
    2. Etudier la position relative de la courbe (Cƒ) et de la droite (∆).
    1. Montrer que la courbe (Cƒ) coupe l’axe (Ox) en unique point d’abscisse α telle que : 0 ≺ α ≺ 1.
    2. Tracer la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ) tel que ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm.
    1. En utilisant une intégration par parties, calculer l’intégrale : ∫ln 41 (x − 1)e−x .
    2. Déduire, en cm3 l’aire du domaine plan limité par la courbe (Cƒ) et l’axe (Ox) et les droites d’équations : x = 1 et x = ln 4.
    1. Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ1 définie sur .
    2. Montrer que la fonction ƒ1 est dérivable en b = −1 et que : (ƒ1) (1) = 1/3 . (Ind : ƒ(0) = −1).

Bac blanc N 3 maths 2021

Correction d’examen 3

Exercice 1

On considère la suite numérique (un)n définie par : u0 = 3 et pour tout n de : un+1 = 1/3un + 4/3

  1. Montrons par récurrence que : ( ∀n) , un2.

Initialisation : Si n = 0, alors u0 = 3 et comme u0 ≻ 2. Donc, l’inégalité est vraie.

Hérédité : Soit n. On suppose que un 2, et on montre que : un+1 2.

évaluons le signe de la différence : un+1 − 2.

un+1 − 2 = 1/3un + 4/3 − 2

= 1/3un − 2/3

et comme un 2, donc : 1/3un − 2/30. D’où : un+12.

Donc, d’après le principe de récurrence on déduit que pour tout n de , on a : un 2.

2. On cherche la monotonie de la suite (un)n :

Soit n.

un+1 − un = 1/3un + 4/3 − un

= − 2un/3 + 4/3

comme un2, alors : −2un/3 −4/3. Donc : −2un/3 + 4/3 0. Ceci signifie que : un+1 − un0, c’est-à-dire la suite (un)n est strictement décroissante, et comme elle est minorée par 2 alors la suite (un)n est convergente.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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