Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés

Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés.

Bac Blanc N2 maths 2021 sujets et corrigés

Durée 3H

Exercice 1

On considère la suite numérique (u_n) définie par : u₀ = 3/2 et pour n de ℕ :

u_n+1 = 1/2021u_n + 2020/2021

1. a) Montrer par récurrence que : u_n ≥ 1 pour tout entier naturel n.

b) Vérifier que : u_n+1 − u_n = 2020/2021(1 − u_n) pour tout entier naturel n puis montrer que la suite (u_n)_n∈ℕ est décroissante.

c) En déduire que : u_n ≤ 3/2 pour tout entier naturel n.

2. Soit (v_n) la suite numérique telle que : v_n = u_n − 1 pour tout entier naturel n.

a) Montrer que : (v_n)_n∈ℕ est une suite géométrique de raison q = 1/2021.

b) Exprimer v_n en fonction de n, puis u_n en fonction de n.

3. Montrer que : lim_n→+∞ ln(u_n)/u_n −1 = 1.

Exercice 2

1. Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, on considère l’équation :

(E) : z² − 2(√2 + √6)z +16 = 0

a) Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est : ∆ = −4(√6 − √2)²

b) En déduire les solutions de l’équation (E).

2. Soient les nombres complexes : a = (√6 + √2) + i(√6 − √2), b = 1 + i√3 et c = √2 + i√2

a) Vérifier que : bc⁻ = a, puis en déduire que ac = 4b.

b) Ecrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique.

c) En déduire que : a = 4(cos π/12 + i sin π/12).

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points B , C et D d’affixes respectives b, c et d telle que d = a⁴ . Soient z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe de M′ image de M par le rotation R de centre O et d’angle π/12.

a) Vérifier que : z′ = 1/4az

b) Déterminer l’image du point C par la rotation R.

c) Déterminer la nature du triangle OBC.

d) Montrer que a⁴ = 128b et en déduire que les points O, B et D sont alignés.

Exercice 3

Soit θ ∈ ℝ, on pose : A(θ) = cos²(θ) sin⁴(θ).

1. En linéarisant l’expression A(θ), montrer que : ∫^π/2₀ A(θ)dθ = π/32.
2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫¹₀ (1 + 2x)e^2x dx = e² et ∫^e−1₀ ln(1 + x)dx = 1.

Problème d’analyse 4

On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par : ƒ(x) = −x + 5/2 − 1/2e^x−2(e^x−2 − 4) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (unité : 2cm).

1. Montrer que lim_x→−∞ ƒ(x) = +∞ et lim_x→+∞ ƒ(x) = −∞.
   1. Démontrer que la droite (∆) d’équation y = −x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de −∞.
   2. Résoudre l’équation e^x−2 − 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (∆) sur l’intervalle ]−∞, 2 + ln 4] et en dessous de (∆) sur l’intervalle [2 + ln 4, +∞[.
2. Montrer que lim_x→+∞ ƒ(x)/x = −∞ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
   1. Montrer que pour tout x ∈ ℝ, ƒ′(x) = −(e^x−2 − 1)²
   2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
3. Calculer ƒ″(x) pour tout x ∈ ℝ, puis montrer que A (2,2) est un point d’inflexion de (C).
4. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α telle que : 2 + ln 3 ≺ α ≺ 2 + ln 4, puis en utilisant la méthode de dichotomie déterminer un encadrement de α de longueur ln 4 − ln12/2 .
5. Construire (∆) et (C) dans le même repère ( O , i , j ) (on prend ln 2≃0,7 et ln 3 ≃ 1,1).
   1. Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ définie sur ℝ.
   2. Construire dans le même repère ( O , i , j ) la courbe représentative de la fonction ƒ⁻¹ .
   3. Justifier puis calculer (ƒ⁻¹)′(2 − ln 3). (Indication : ƒ⁻¹(2 − ln 3) = 2 + ln 3).

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Correction d’examen 2 (Bac blanc maths 2021 sujets et corrigés)

Exercice 1

On considère la suite numérique (u_n)_n∈ℕ définie par : u₀ = 3/2 et pour tout n de ℕ :

u_n+1 = 1/2021u_n + 2020/2021

1.a) Montrons par récurrence que : ( ∀n ∈ ℕ) , u_n ≥ 1.

Initialisation : Si n = 0, alors u₀ = 3/2 et comme u₀ ≥ 1. Donc, l’inégalité est vraie.

Hérédité : Soit n ∈ ℕ. On suppose que u_n ≥ 1, et on montre que : u_n+1 ≥ 1.

évaluons le signe de la différence : u_n+1 − 1

u_n+1 − 1 = 1/2021u_n + 2020/2021 − 1

= 1/2021u_n − 1/2021

et comme u_n ≥ 1, donc : 1/2021u_n − 1/2021 ≥ 0. D’où : u_n+1 ≥ 1.

Donc, d’après le principe de récurrence on déduit que pour tout n de ℕ, On a : u_n ≥ 1.

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Bac blanc N 3 maths 2021 sujets et corrigés

Durée 3H

Exercice 1

On considère la suite numérique (u_n)_n∈ℕ définie par : u₀ = 3 et u_n+1 = 1/3u_n + 4/3.

1. Montrer par récurrence que u_n ≻ 2 pour tout entier n ∈ ℕ.
2. Déterminer la monotonie de la suite (u_n)_n∈ℕ puis en déduire qu’elle est convergente.
3. Soit (v_n)_n∈ℕ la suite numérique telle que : v_n = u_n − 2
   1. Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 1/3 puis écrire v_n en fonction de n.
   2. Ecrire u_n en fonction de n pour tout entier naturel n, puis calculer lim_n→+∞ u_n
   3. Calculer lim_n→+∞ w_n telle que (w_n)_n∈ℕ est une suite numérique définie par : w_n = ln (u_n).
4. On pose S_n = u₀ + u₁ + u₂ + … + u_n−1. Montrer que : S_n = 3/2(1 − (1/3)ⁿ) + 2n

Exercice 2

1. Dans l’ensemble ℂ, on considère l’équation (E) : z² − (1− √3/2)z + 1/2 = 0

a) Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est : ∆ = − (1− √3/2)²

b) En déduire les solutions de l’équation : (E) .

2. Soient les nombres complexes : a = 1 + i , b = 1 − i√3 et c = 1− √3/4 + 1− √3/4i

a) Vérifier que : c = a/b.

b) Ecrire a et b sous forme trigonométrique.

c) En déduire que : c = √2/2(cos (7π/12) + i sin (7π/12)).

d) En déduire de ce qui précède que : tan (7π/12) = −2 − √3.

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , e₁ , e₂ ). On considère le point B d’affixe b et la translation T du vecteur u d’affixe 2i√3 et soit d l’affixe du point D l’image du point B par la translation T.

a) Montrer que : d = b⁻ . (b⁻ est la conjugué du nombre complexe b).

b) Vérifier que : arg (b/d) ≡ −2π/3 [2π] puis en déduire une mesure de l’angle orienté : ( OD, OB).

c) Vérifier que : OD = OB puis en déduire la nature du triangle OBD.

d) En déduire l’image du point D par la rotation R de centre O et d’angle −2π/3.

Problème d’analyse 3

Partie N 1 Soit g la fonction numérique définie sur ℝ par : g(x) = 1 + (2 − x)e^−x .

1. Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , g′(x) = (x − 3)e^−x .
2. En déduire la monotonie de la fonction g sur les intervalles : ]−∞, 3] et [3, +∞[, puis dresser le tableau de variations de g sur ℝ.
3. Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , g(x) ≻ 0.

Partie N2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par : ƒ(x) = x + (x − 1)e^−x

1. Montrer que : lim_x→+∞ ƒ(x) = +∞ et lim_x→−∞ ƒ(x) = −∞.
   1. Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , ƒ′(x) = g(x), puis dresser le tableau de variations de ƒ sur ℝ.
   2. Ecrire l’équation de la tangente à la courbe (C_ƒ) au point d’abscisse x₀ = 0.
2. Montrer que la courbe (C_ƒ) est convexe sur [3, +∞[ et concave sur ]−∞, 3] et déterminer les coordonnées de son point d’inflexion.
3. Montrer que : lim_x→−∞ ƒ(x)/x = +∞ , puis interpréter géométriquement le résultat.
   1. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x est une asymptote oblique à la courbe (C_ƒ) au voisinage de +∞.
   2. Etudier la position relative de la courbe (C_ƒ) et de la droite (∆).
   1. Montrer que la courbe (C_ƒ) coupe l’axe (Ox) en unique point d’abscisse α telle que : 0 ≺ α ≺ 1.
   2. Tracer la courbe (C_ƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ) tel que ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm.
   1. En utilisant une intégration par parties, calculer l’intégrale : ∫^{ln 4}₁ (x − 1)e^−x .
   2. Déduire, en cm³ l’aire du domaine plan limité par la courbe (C_ƒ) et l’axe (Ox) et les droites d’équations : x = 1 et x = ln 4.
   1. Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ définie sur ℝ.
   2. Montrer que la fonction ƒ⁻¹ est dérivable en b = −1 et que : (ƒ⁻¹)^′ (−1) = 1/3 . (Ind : ƒ(0) = −1).

Bac blanc N 3 maths 2021

Correction d’examen 3

Exercice 1

On considère la suite numérique (u_n)_n∈ℕ définie par : u₀ = 3 et pour tout n de ℕ : u_n+1 = 1/3u_n + 4/3

1. Montrons par récurrence que : ( ∀n ∈ ℕ) , u_n ≻ 2.

Initialisation : Si n = 0, alors u₀ = 3 et comme u₀ ≻ 2. Donc, l’inégalité est vraie.

Hérédité : Soit n ∈ ℕ. On suppose que u_n ≻ 2, et on montre que : u_n+1 ≻ 2.

évaluons le signe de la différence : u_n+1 − 2.

u_n+1 − 2 = 1/3u_n + 4/3 − 2

= 1/3u_n − 2/3

et comme u_n ≻ 2, donc : 1/3u_n − 2/3 ≻ 0. D’où : u_n+1 ≻ 2.

Donc, d’après le principe de récurrence on déduit que pour tout n de ℕ, on a : u_n ≻ 2.

2. On cherche la monotonie de la suite (u_n)_n∈ℕ :

Soit n ∈ ℕ.

u_n+1 − u_n = 1/3u_n + 4/3 − u_n

= − 2u_n/3 + 4/3

comme u_n ≻ 2, alors : −2u_n/3 ≺ −4/3. Donc : −2u_n/3 + 4/3 ≺ 0. Ceci signifie que : u_n+1 − u_n ≺ 0, c’est-à-dire la suite (u_n)_n∈ℕ est strictement décroissante, et comme elle est minorée par 2 alors la suite (u_n)_n∈ℕ est convergente.

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