Devoir surveillé limites et continuité

Devoir surveillé sur les limites et continuité. (2^ème année bac sm/ Terminale)

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

lim_x→1 x^2/3−1/arctan(x−1) , lim_x→+∞ xarctan (√x) − π/2x , lim_x→−∞ x−∛x²/x ,

lim_x→+∞ (2x + 1 − ∛x−8x³) , lim_x→0⁺ 1/x arctan (√x/x+1) , lim_x→+∞ 2∛x+1−⁵√x.^₁₅√x²/∛x−1−∛x

lim_x→+∞ 1/x(x^2/3−x^1/3)^3/2

Exercice 2

1. Montrer que : 2arctan (2) + arctan (4/3) = π.
2. Montrer que : (∀x ∈ ]1, +∞[), arctan (2x/1−x²) = 2arctan (x) − π.
3. Résoudre dans ℝ ce qui suit : arctan (x) + arctan (2x) = π/3 et arctan (x) + arctan (2x) > π/3.

Exercice 3

Soit ƒ une fonction continue sur [0, 1] telle que : (∀x ∈ [0, 1] , ƒ(x) ≤ 0) et ƒ(0) = ƒ(1) = 0.

Montrer que : (∀n ∈ ℕ*)(∃c ∈ [0, 1]) , ƒ(c) = ƒ(c + 1/c).

Exercice 4

On considère la fonction g définie sur I = [0, π/4[ par : g(x) = −1/1−tan³(x).

1. Montrer que g admet une fonction réciproque g⁻¹ définie sur un intervalle J à déterminer.
2. Dresser le tableau de variations de g⁻¹.
3. Calculer g⁻¹(x) pour tout x ∈ J.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 2

1. Montrons que : 2arctan (2) + arctan (4/3) = π.

Calculons d’abord : 2 arctan 2.

On a 2 > 0 alors arctan (2) ∈ ]0, π/2[ d’où 2 arctan (2) ∈ ]0, π[. Donc

tan(2. arctan 2) = 2tan(arctan (2))/1−tan²(arctan 2) = 2×2/1−4 = −4/3

puisque : tan (2. arctan (2)) < 0, alors

2. arctan (2) ∊ ]π/2 , π[ ⇔ π/2 < 2.arctan 2 < π

⇔ − π/2 < (2.arctan (2)) − π < 0

⇔ (2. arctan (2) − π) ∈ ]−π/2 , 0[

Or : tan(2. arctan 2) = tan((2. arctan(2)) − π), et comme tan (2. arctan 2) = −4/3 alors

tan((2. arctan(2)) − π) = −4/3 ⇔ arctan(tan((2. arctan(2)) − π) = arctan (−4/3)

Donc

2. arctan (2) − π = arctan (−4/3)

Ceci signifie que

2arctan (2) = π + arctan (−4/3) = π − arctan (4/3)

D’où

2arctan (2) + arctan (4/3) = π − arctan (4/3) + arctan (4/3) = π

On obtient

2arctan (2) + arctan (4/3) = π.

Montrons que pour tout x ∈ ]1, +∞[, on a arctan (2x/1−x²) = 2arctan (x) − π.

Soit x ∈ ]1, +∞[, alors il existe un unique α ∈ ]π/4, π/2[ tel que : tan α = x. (C’est-à-dire : α = arctan

Donc

2x/1−x² = 2tan α/1−tan²α = tan (2α) (∴)

On a

π/4 < α < π/2 ⇔ π/2 < 2α < π ⇔ −π/2 < 2α − π < 0 ⇔ (2α − π) ∈ ]−π/2, 0[

et comme : tan (2α) = tan (2α − π) . Donc d’après (∴) on obtient

arctan (2x/1−x²) = arctan (tan(2α − π))

= 2α − π

= 2arctan x − π

Donc

(∀x ∈ ]1, +∞[) , arctan (2x/1−x²) = 2arctan x − π

3. Résolvons dans ℝ l’équation :

∎ (E) : arctan (x) + arctan (2x) = π/3.

Soit S l’ensemble des solutions de l’équation (E).

On sait que le signe de arctan (x) est celui de x, et puisque π/3 > 0 alors nécessairement x > 0.

Donc S ⊂ ]0, +∞[. C’est-à-dire que l’équation n’admet pas des solutions dans ℝ⁻.

Soit x ∈ ]0, +∞[ , alors arctan x ∈ ]0, π/2[ et (π/3 − arctan (x)) ∈ ]− π/6, π/3[ . Donc

(E) ⇔ arctan 2x = π/3 − arctan (x)

⇔ tan (arctan 2x) = tan (π/3 − arctan (x))

⇔ 2x = √3−x/1+√3x

⇔ 2x(1 + √3x) = √3 − x

⇔  2√3x² + 3x − √3 = 0

⇔ x = √11−√3/4 ou x = −√99−3√3/12 _<0

⇔ x = √11−√3/4

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :

S = {√11−√3/4}

∎ (I) : arctan (x) + arctan (2x) > π/3.

Soit S l’ensemble des solutions de l’inéquation (I).

On sait que le signe de arctan (x) est celui de x, et puisque π/3 > 0 alors nécessairement x > 0.

Donc S ⊂ ]0, +∞[. C’est-à-dire que l’inéquation n’admet pas des solutions dans ℝ⁻.

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