Devoir maison sur les ensembles de nombres

Devoir de maison sur les ensembles de nombres. (Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (Les deux questions sont indépendantes)

1. On pose : A = √7−√33 − √7+√33.

Calculer A², puis en déduire une écriture simplifiée de A.

2. On considère le nombre réel : A = √2 − √3.

Montrer que A est solution de l’équation : x⁴ − 10x² + 1 = 0.

Exercice 2

a et b deux réels non nuls. Simplifier l’expression suivante :

a⁻²b(a²b⁻¹)⁴a⁻³b²/ab⁻²(a⁻¹b²)³(a²b³)

Exercice 3

Soient a , b et c des nombres réels non nuls tels que : 1/a + 1/b + 1/c = 0.

Montrer que : (a + b + c)² = a² + b² + c².

Exercice 4

1. Développer le produit :

(a − 1)(1 + a + a² + a³ + a⁴ + a⁵) où a ∈ ℝ*.

2. En déduire la valeur de la somme :

S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243

Exercice 5 (Les deux questions sont indépendantes)

1. Montrer que :

√x−1 + √y−1 ≤ √xy pour tous x,y ∈ [1, +∞[

2. Soient a, b, c, x, y, et z des nombres réels quelconques.

Montrer que :

(a² + b² + c²)(x² + y² + z²) ≥ (ax + by + cz)².

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Correction du devoir maison sur les ensembles de nombres

Exercice 4

1. On développe : (a − 1)(1 + a + a² + a³ + a⁴ + a⁵)

Soit a ∈ ℝ*.

(a − 1)(1 + a + a² + a³ + a⁴ + a⁵) = a + a² + a³ + a⁴ + a⁵ + a⁶ − 1 − a − a² − a³ − a⁴ − a⁵

= a⁶ − 1

2. On déduit la valeur de la somme S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243.

On a pour tout a ∈ ℝ* :

(a − 1)(1 + a + a² + a³ + a⁴ + a⁵) = a⁶ − 1

pour a = 1/3, on obtient

(1/3 − 1)(1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243) = 1/729 − 1

Eq : (1/3 − 3/3)(1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243)_=S = −728/729

Eq : −2/3 × S = −728/729

Eq : S = −728/729/−2/3

Eq : S = −728/729 × 3/−2

Eq : S = 364/243

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Vous pouvez aussi consulter :

• Les ensembles de nombres cours tronc commun
• Le produit scalaire exercices corrigés