Devoir maison sur les ensembles de nombres

Devoir maison sur les ensembles de nombres

Devoir de maison sur les ensembles de nombres. (1ère année lycée – Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (Les deux questions sont indépendantes)
  1. On pose : A = √7−√33 − √7+√33.

Calculer A2, puis en déduire une écriture simplifiée de A.

2. On considère le nombre réel : A = √2 − √3.

Montrer que A est solution de l’équation : x4 − 10x2 + 1 = 0.

Exercice 2

a et b deux réels non nuls. Simplifier l’expression suivante :

a−2b(a2b−1)4a−3b2/ab−2(a−1b2)3(a2b3)

Exercice 3

Soient a , b et c des nombres réels non nuls tels que : 1/a + 1/b + 1/c = 0.

Montrer que : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.

Exercice 4
  1. Développer le produit :

(a − 1)(1 + a + a2 + a3 + a4 + a5) où a *.

2. En déduire la valeur de la somme :

S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243

Exercice 5 (Les deux questions sont indépendantes)
  1. Montrer que :

√x−1 + √y−1√xy pour tous x,y ∈ [1, +∞[

2. Soient a, b, c, x, y, et z des nombres réels quelconques.

Montrer que :

(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2.

Cliquer ici pour télécharger devoir de maison sur les ensembles de nombres tronc commun

Correction du devoir surveillé

Exercice 4
  1. On développe : (a − 1)(1 + a + a2 + a3 + a4 + a5)

Soit a*.

(a − 1)(1 + a + a2 + a3 + a4 + a5) = a + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 − 1 − a − a2 − a3 − a4 − a5

= a6 − 1

2. On déduit la valeur de la somme S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243.

On a pour tout a* :

(a − 1)(1 + a + a2 + a3 + a4 + a5) = a6 − 1

pour a = 1/3, on obtient

(1/3 − 1)(1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243) = 1/729 − 1

Eq : (1/3 − 3/3)(1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243)=S = −728/729

Eq : −2/3 × S = −728/729

Eq : S = −728/729/−2/3

Eq : S = −728/729 × 3/−2

Eq : S = 364/243

Cliquer ici pour télécharger la correction du devoir surveillé

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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