Ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun

L’ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun. (Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (Ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun)

Soient a et b deux réels positifs tels que : 1 < a < b.

Comparer les nombres A = a² + 1 et B = ab + 2.

Exercice 2

Soient a et b deux réels strictement positifs.

Montrer que : 7a+2b/7a ≥ 8b/7a+2b.

Exercice 3 (Ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun)

Soient a et b deux réels non nuls. Les réels a et b ont le même signe.

Montrer que : (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4.

Exercice 4

Soient a, b et c des réels.

1. Montrer que : a² + b² ≥ 2ab.
   1. Déduire que : a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc
   2. Déduire que : a² + b² + c² + d² ≥ (a + b)(c + d).

Exercice 5

Soient x et y deux réels tels que : 2 ≤ x ≤ 5 et −4 ≤ y ≤ −2.

Encadrer les nombres suivants : x × y , x/y et x²+y²/x−y .

Exercice 6

1. Simplifier : A = √1/(3 − √10)² − √1/(3 + √10)².
2. Soient a et b deux réels tels que : 3 < a < b.

Simplifier puis calculer E tel que : E = √(a − b)² + √(3 − a)² − (b − 2).

3. Soient a et b deux réels tels que : b ∈ [−3, −1] et a ∈ [−2, 5].

Simplifier :

A = 2∣2a + 7∣ − ∣3b∣ + 2∣b + 8∣ − ∣2b − a∣

Exercice 7 (Ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun)

Soient a et b deux réels tels que : ∣a + 2∣ ≤ 3 et − 1 ≤ b ≤ 4.

1. Montrer que : a ∈ [−5, 1].
2. Montrer que : ∣a + b − 1∣ ≤ 7.
3. On pose : E = ab + 6b − 5a.
   1. Vérifier que : E = (a + 6)(b − 5) + 30
   2. Déduire un encadrement pour le nombre E.

Exercice 8

On pose : A = x + y − 6xy. Soient x et y deux réels de l’intervalle [0, 1/3].

1. Montrer que : −1/3 ≤ 2y − 1/3 ≤ 1/3 et −1/2 ≤ 1/2 − 3x ≤ 1/2 .
2. Vérifier que : ∣A − 1/6∣ = ∣1/2 − 3x∣∣2y − 1/3∣.
3. Déduire que : A ∈ [0, 1/3].

Exercice 9

On donne : ∣x − 1∣ < 1/2.

1. Montrer que : ∣x² − 1∣ < 5/4.
2. Montrer que : 1/4 < 1/2x+1 < 1/2.
3. Déduire que : ∣x−1/2x+1∣ < 1/4.

Exercice 10

Soit x ∈ [−1/3, 1/3].

1. Vérifier que : 1+x/1+2x − (1 − x) = 2x²/1+2x .
2. Montrer que : 2/1+2x ≤ 6, et déduire que : ∣1+x/1+2x − (1 − x)∣ ≤ 6x².
3. Déduire que 4/5 est une valeur approximative du nombre 1,2/1,4 par la précision 2,4 × 10⁻¹.

Exercice 11

1. Montrer que si x ∈ [0, 1] alors 1/x+1 ∈ [1/2, 1].
2. Soient x et y deux réels tels que : x ∈ [0, 1] et y ∈ [0, 1].

Montrer que : ∣1/1+x − 1/1+y∣ ≤ ∣x − y∣.

3. On pose : 0, 866 < √3/2 < 0,867 et 0, 707 < √2/2 < 0,708

a) Donner une approximation à 2 × 10⁻³ par excès et défaut pour le nombre : (√3/2 − √2/2).

b) Déduire que : ∣1/1+√3/2 − 1/1+√2/2∣ < 0,2.

Exercice 12

On pose : A = √x²+1 − ∣x∣ et B = √x²+1 + ∣x∣.

1. Montrer que pour tout x ∈ ℝ : A > 0. Déduire que : B > 2∣x∣.
2. Calculer : AB puis déduire que A < 1/2∣x∣ pour tout x ∈ ℝ*.
3. Déduire que : ∣x∣ < √x²+1 < ∣x∣ + 1/2∣x∣ pour tout x ∈ ℝ*.
4. Donner un encadrement pour le nombre √122/3 d’amplitude 1/66.

Exercice 13

Soit x un réel tel que x > 1 on pose : A = √x/√x−1 .

1. Montrer que : A − 1 = 1/√x−1(√x+√x−1).
   1. Vérifier que : 2√x−1 ≤ √x + √x−1 ≤ 2√x .
   2. Déduire que : 1/2√x√x−1 ≤ A − 1 ≤ 1/2(x − 1).
   1. Montrer que : 1/x ≤ 1/√x√x−1.
   2. Déduire que : 1 + 1/2x ≤ A ≤ 1/2(x − 1) + 1.
2. Déduire que le nombre 9/4 est une valeur approchée de √5 à la précision 1/20.

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Correction de la série d’exercices

Exercice 1

Soient a et b deux réels positifs tels que : 1 < a < b.

Comparons les nombres A = a² + 1 et B = ab + 2.

Étudions le signe de A − B :

A − B = a² + 1 − (ab + 2)

= a² + 1 − ab − 2

= a² − ab − 1

= a(a − b) − 1

On a 1 < a < b alors a < b c’est-à-dire a − b < 0 par suite a(a − b) < 0 (car a > 0) c’est-à-dire a(a − b) − 1 < − 1 et comme − 1 < 0 donc a(a − b) − 1 < 0, d’où A − B < 0 ce signifie que

A < B

Exercice 2

Montrons que : 7a+2b/7a ≥ 8b/7a+2b.

Soient a et b deux réels strictement positifs.

7a+2b/7a − 8b/7a+2b = (7a + 2b)²−56ab/7a(7a+2b)

= 49a²+28ab+4b²−56ab/7a(7a+2b)

= 49a²−28ab+4b²/7a(7a+2b)

= (7a − 2b)²/7a(7a + 2b)

On a (7a − 2b)² ≥ 0 pour tous a, b et 7a(7a + 2b) > 0 alors (7a − 2b)²/7a(7a + 2b) ≥ 0 donc

7a+2b/7a ≥ 8b/7a+2b

Exercice 3

Montrons que : (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4.

Soient a et b deux réels.

(a + b)(1/a + 1/b) − 4 = 1 + a/b + b/a + 1 − 4

= a/b + b/a − 2

= a²+b²/ab − 2

= a²+b²−2ab/ab

= a²−2ab+b²/ab

= (a − b)²/ab

On a (a − b)² ≥ 0 pour tous a, b ∈ ℝ, et comme a et b ont le même signe alors ab > 0 donc (a − b)²/ab ≥ 0 ce qui signifie que

(a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4

Exercice 4

1. Montrons que : a² + b² ≥ 2ab.

Soient a et b deux réels.

a² + b² − 2ab = a² − 2ab + b²

= (a − b)² ≥ 0

Donc

a² + b² ≥ 2ab.

2. a) On déduit que : a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc .

Soient a, b et c des réels.

On a

{ a² + b² ≥ 2ab et a² + c² ≥ 2ac et b² + c² ≥ 2bc

en ajoutant ces inégalités membre à membre on obtient

2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2ac + 2bc

c’est équivaut à

2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + ac + bc)

c’est équivaut à

a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc .

b) On déduit que : a² + b² + c² + d² ≥ (a + b)(c + d) .

On a

{ b² + d² ≥ 2bd et a² + c² ≥ 2ac et b² + c² ≥ bc et a² + d² ≥ ad

en ajoutant ces inégalités membre à membre on obtient

2a² + 2b² + 2c² + 2d² ≥ 2ad + 2ac + 2bc + 2bd

c’est équivaut à

2(a² + b² + c² + d²) ≥ 2(ad + ac + bc + bd)

c’est équivaut à

a² + b² + c² + d² ≥ ac + ad + bc + bd

et comme (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd donc

a² + b² + c² + d² ≥ (a + b)(c + d) .

Exercice 5

Soient x et y deux réels tels que : 2 ≤ x ≤ 5 et −4 ≤ y ≤ −2.

∎ On encadre x × y :

On a − 4 ≤ y ≤ −2 alors 2 ≤ −y ≤ 4 et comme 2 ≤ x ≤ 5 donc

4 ≤ −x × y ≤ 20

c’est-à-dire

−20 ≤ x × y ≤ −4

∎ On encadre x/y :

On a : x/y = x × 1/y.

Comme 2 ≤ −y ≤ 4 alors 1/4 ≤ −1/y ≤ 1/2 et puisque 2 ≤ x ≤ 5 donc

1/2 ≤ −x × 1/y ≤ 5/2

c’est-à-dire

−5/2 ≤ x/y ≤ −1/2

∎ On encadre : x²+y²/x−y = x² + y² × 1/x−y.

On a : x²+y²/x−y = x² + y² × 1/x−y .

On a −4 ≤ y ≤ −2 et 2 ≤ x ≤ 5 alors 4 ≤ y² ≤ 16 et 4 ≤ x² ≤ 25 par suite

8 ≤ x² + y² ≤ 41 (1)

D’autre part on a 2 ≤ −y ≤ 4 et 2 ≤ x ≤ 5 alors 2 + 2 ≤ x + (−y) ≤ 4 + 5 c’est-à-dire 4 ≤ x − y ≤ 9 donc

1/9 ≤ 1/x−y ≤ 1/4 (2)

D’après (1) et (2) on en déduit que

8 × 1/9 ≤ x² + y² × 1/x−y ≤ 41 × 1/4

donc

8/9 ≤ x²+y²/x−y ≤ 41/4

Exercice 6

2. Simplifions E.

Soient a et b deux réels tels que 3 < a < b.

E = √(a − b)² + √(3 − a)² − (b − 2)

= ∣a − b∣ + ∣3 − a∣ − (b − 2)

On a 3 < a < b alors a < b c’est-à-dire a − b < 0 donc

∣a − b∣ = − (a − b) = −a + b (1)

D’autre part, on a a − b < −a < −3 alors 3 − b < 3 − a < 0 donc 3 − a < 0, ce qui signifie que

∣3 − a∣ = − (3 − a) = −3 + b (2).

D’après (1) et (2) on obtient

E = − a + b − 3 + a − b + 2

= − 1

3. Simplifions A.

Soient b ∈ [−3, −1] et a ∈ [−2, 5] .

A = 2∣2a + 7∣ − ∣3b∣ + 2∣b +8∣ − ∣2b − a∣

= 2∣2a + 7∣ + 3b + 2∣b + 8∣ − ∣2b − a∣

On a a ∈ [−2, 5] c’est-à-dire −2 ≤ a ≤ 5 alors −4 ≤ 2a ≤ 10 par suite 3 ≤ 2a + 7 ≤ 17 donc 2a + 7 > 0 ce qui signifie que

∣2a + 7∣ = 2a + 7 (1).

On a b ∈ [−3,−1] c’est-à-dire −3 ≤ b ≤ −1 alors 5 ≤ b + 8 ≤ 7 donc b + 8 > 0 ce qui signifie que

∣b + 8∣ = b + 8 (2).

On a −5 ≤ −a ≤ 2 et −6 ≤ 2b ≤ −2 alors −11 ≤ 2b − a ≤ 0 donc 2b − a ≤ 0 d’où

∣2b − a∣ = − (2b − a) = −2b + a (3)

D’après (1), (2) et (3) on obtient

A = 2(2a + 7) + 3b + 2(b + 8) − (−2b + a)

= 4a + 14 + 3b + 2b + 16 + 2b − a

= 3a + 7b + 30

Exercice 7

1. Montrons que : a ∈ [−5, 1] .

Soit a un réel, tel que

∣a + 2∣ ≤ 3

Eq : −3 ≤ a + 2 ≤ 3

Eq : −3 − 2 ≤ a ≤ 3 − 2

Eq : −5 ≤ a ≤ 1

Eq : a ∈ [−5, 1]

2. Montrons que : ∣a + b − 1∣ ≤ 7.

On a −5 ≤ a ≤ 1 et −1 ≤ b ≤ 4 alors −5−1 ≤ a + b ≤ 1+4 c’est-à-dire −6 ≤ a+b ≤ 5 par suite −7 ≤ a + b − 1 ≤ 6 et comme 6 ≤ 7 alors −7 ≤ a + b − 1 ≤ 7 donc

∣a + b − 7∣ ≤ 7.

3. On pose : E = ab + 6b − 5a.

a) Vérifions que : E = (a + 6)(b − 5) + 30.

E = ab + 6b − 5a

= a(b − 5) + 6b

= a(b − 5) + 6b + 30 − 30

= a(b − 5) + 6(b − 5) + 30

= (b − 5)(a + 6) + 30

= (a + 6)(b − 5) + 30

b) Encadrement pour le nombre E.

On a −5 ≤ a ≤ 1 et −1 ≤ b ≤ 4 alors 1 ≤ a + 6 ≤ 7 et −6 ≤ b − 5 ≤ − 1 par suite 1 ≤ − (b − 5) ≤ 6 donc 1 ≤ − (b − 5)(a + 6) ≤ 42 c’est-à-dire

−42 ≤ (b − 5)(a + 6) ≤ −1

d’où

−12 ≤ E ≤ 29

Exercice 9

On donne : ∣x − 1∣ < 1/2.

1. Montrons que : ∣x² − 1∣ < 5/4.

Soit x un réel, on a

∣x − 1∣ < 1/2

Eq : −1/2 < x − 1 < 1/2

Eq : −1/2 + 1 < x < 1/2 + 1

Eq : 1/2 < x < 3/2

On encadre : x² − 1.

On a 1/2 < x < 3/2 alors 1/4 < x² < 9/4 par suite 1/4 − 1 < x² − 1 < 9/4 − 1 c’est-à-dire −3/4 < x² − 1 < 5/4 et comme −5/4 < −3/4 alors −5/4 < x² − 1 < 5/4 , donc

∣x² − 1∣ < 5/4

3. On déduit que : ∣x−1/2x+1∣ < 1/4.

On a

∣x−1/2x+1∣ = ∣x−1/2x+1∣

= ∣x−1∣ × 1/2x+1∣

= ∣x−1∣ × ∣1/2x+1∣

On a 1/4 < 1/2x+1 < 1/2 et comme −1/2 < 1/4 alors −1/2 < 1/2x+1 < 1/2 donc ∣1/2x+1∣ < 1/2 et puisque ∣x − 1∣ < 1/2 donc

∣x−1∣ × ∣1/2x+1∣ < 1/2 × 1/2

ce qui signifie que

∣x−1/2x+1∣ < 1/4.

Exercice 10

1. On vérifie que : 1+x/1+2x − (1 − x) = 2x²/1+2x.

Soit x ∈ [−1/3, 1/3] .

1+x/1+2x − (1 − x) = 1+x−(1−x)(1+2x)/1+2x

= 1+x−(1+2x−x−2x²)/1+2x

= 1+x−(1+x−2x²)/1+2x

= 1+x−1−x+2x²/1+2x

= 2x²/1+2x

2. Montrons que : 2/1+2x ≤ 6.

Soit x ∈ [−1/3, 1/3] .

2/1+2x − 6 = 2−6(1+2x)/1+2x

= 2−6−12x/1+2x

= −4−12x/1+2x

= −4(1+3x)/1+2x

On a −1/3 ≤ x ≤ 1/3 alors −2/3 ≤ 2x ≤ 2/3 par suite 1/3 ≤ 1+ 2x ≤ 5/3 donc 1 +2x > 0. (1)

D’autre part, on a − 1 ≤ 3x ≤ 3 par suite 0 ≤ 1 + 3x ≤ 4 donc −16 ≤ −4(1 +3x) ≤ 0 d’où −4(1 + 3x) ≤ 0 (2).

D’après (1) et (2) on en déduit que −4(1+3x)/1+2x ≤ 0 ce qui entraine que

2/1+2x − 6 ≤ 0.

Donc

2/1+2x ≤ 6.

∎ On déduit que : ∣1+x/1+2x − (1 − x)∣ ≤ 6x².

On a 2/1+2x ≤ 6 et comme −6 ≤ 2/1+2x alors −6 ≤ 2/1+2x ≤ 6 donc

∣2/1+2x∣ ≤ 6

de plus

∣2/1+2x∣x² ≤ 6x²

comme x² = ∣x²∣ alors ∣2x²/1+2x∣ ≤ 6x².

D’autre part, on a 1+x/1+2x − (1 − x) = 2x²/1+2x et par passage à la valeur absolue on obtient

∣1+x/1+2x − (1 − x)∣ = ∣2x²/1+2x∣

et on sait que ∣2/1+2x∣x² ≤ 6x² donc

∣1+x/1+2x − (1 − x)∣ ≤ 6x².

3. On prend x = 0,2 alors on obtient d’après l’inégalité précédente

∣1,2/1,4 − 4/5∣ ≤ 0,24

donc 4/5 est une valeur approchée à 1,2/1,4 par lé précision 2,4 × 10⁻¹.

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