Ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun

Ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun

L’ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (Ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun)

Soient a et b deux réels positifs tels que : 1 < a < b.

Comparer les nombres A = a2 + 1 et B = ab + 2.

Exercice 2 (Ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun)

Soient a et b deux réels strictement positifs.

Montrer que : 7a+2b/7a8b/7a+2b.

Exercice 3 (Ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun)

Soient a et b deux réels non nuls. Les réels a et b ont le même signe.

Montrer que : (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4.

Exercice 4

Soient a, b et c des réels.

  1. Montrer que : a2 + b2 2ab.
    1. Déduire que : a2 + b2 + c2 ab + ac + bc
    2. Déduire que : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d).
Exercice 5

Soient x et y deux réels tels que : 2x5 et −4 y −2.

Encadrer les nombres suivants : x × y , x/y et x2+y2/x−y .

Exercice 6
  1. Simplifier : A = √1/(3 − √10)2 − √1/(3 + √10)2.
  2. Soient a et b deux réels tels que : 3 < a < b.

Simplifier puis calculer E tel que : E = √(a − b)2 + √(3 − a)2(b − 2).

3. Soient a et b deux réels tels que : b ∈ [−3, −1] et a ∈ [−2, 5].

Simplifier :

A = 22a + 7∣ − ∣3b∣ + 2b + 8∣ − ∣2b − a

Exercice 7

Soient a et b deux réels tels que : ∣a + 2∣ ≤ 3 et − 1 b4.

  1. Montrer que : a ∈ [−5, 1].
  2. Montrer que : ∣a + b − 1∣ ≤ 7.
  3. On pose : E = ab + 6b − 5a.
    1. Vérifier que : E = (a + 6)(b − 5) + 30
    2. Déduire un encadrement pour le nombre E.
Exercice 8

On pose : A = x + y − 6xy. Soient x et y deux réels de l’intervalle [0, 1/3].

  1. Montrer que : −1/3 2y − 1/3 1/3 et −1/21/2 − 3x 1/2 .
  2. Vérifier que : ∣A − 1/6∣ = ∣1/2 − 3x∣∣2y − 1/3∣.
  3. Déduire que : A ∈ [0, 1/3].
Exercice 9

On donne : ∣x − 1∣ < 1/2.

  1. Montrer que : ∣x2 − 1∣ < 5/4.
  2. Montrer que : 1/4 < 1/2x+1 < 1/2.
  3. Déduire que : ∣x−1/2x+1∣ < 1/4.
Exercice 10

Soit x ∈ [−1/3, 1/3].

  1. Vérifier que : 1+x/1+2x − (1 − x) = 2x2/1+2x .
  2. Montrer que : 2/1+2x 6, et déduire que : ∣1+x/1+2x − (1 − x)∣ ≤ 6x2.
  3. Déduire que 4/5 est une valeur approximative du nombre 1,2/1,4 par la précision 2,4 × 10−1.
Exercice 11
  1. Montrer que si x ∈ [0, 1] alors 1/x+1 ∈ [1/2, 1].
  2. Soient x et y deux réels tels que : x ∈ [0, 1] et y ∈ [0, 1].

Montrer que : ∣1/1+x − 1/1+y∣ ≤ ∣x − y∣.

3. On pose : 0, 866 < √3/2 < 0,867 et 0, 707 < √2/2 < 0,708

a) Donner une approximation à 2 × 10−3 par excès et défaut pour le nombre : (√3/2 − √2/2).

b) Déduire que : ∣1/1+√3/2 − 1/1+√2/2∣ < 0,2.

Exercice 12

On pose : A = √x2+1 −x∣ et B = √x2+1 +x∣.

  1. Montrer que pour tout x : A > 0. Déduire que : B > 2x∣.
  2. Calculer : AB puis déduire que A < 1/2x∣ pour tout x *.
  3. Déduire que : ∣x∣ < √x2+1 < ∣x∣ + 1/2x∣ pour tout x*.
  4. Donner un encadrement pour le nombre √122/3 d’amplitude 1/66.
Exercice 13

Soit x un réel tel que x > 1 on pose : A = √x/√x−1 .

  1. Montrer que : A − 1 = 1/√x−1(√x+√x−1).
    1. Vérifier que : 2√x−1 √x + √x−1 2√x .
    2. Déduire que : 1/2√x√x−1 A − 1 1/2(x − 1).
    1. Montrer que : 1/x 1/√x√x−1.
    2. Déduire que : 1 + 1/2x A1/2(x − 1) + 1.
  2. Déduire que le nombre 9/4 est une valeur approchée de √5 à la précision 1/20.

Cliquer ici pour télécharger l’ordre dans R exercices corrigés pdf tronc commun

Correction de la série d’exercices

Exercice 1

Soient a et b deux réels positifs tels que : 1 < a < b.

Comparons les nombres A = a2 + 1 et B = ab + 2.

Étudions le signe de A − B :

A − B = a2 + 1 − (ab + 2)

= a2 + 1 − ab − 2

= a2 − ab − 1

= a(a − b) − 1

On a 1 < a < b alors a < b c’est-à-dire a − b < 0 par suite a(a − b) < 0 (car a > 0) c’est-à-dire a(a − b) − 1 < − 1 et comme − 1 < 0 donc a(a − b) − 1 < 0, d’où A − B < 0 ce signifie que

A < B

Exercice 2

Montrons que : 7a+2b/7a8b/7a+2b.

Soient a et b deux réels strictement positifs.

7a+2b/7a − 8b/7a+2b = (7a + 2b)2−56ab/7a(7a+2b)

= 49a2+28ab+4b2−56ab/7a(7a+2b)

= 49a2−28ab+4b2/7a(7a+2b)

= (7a − 2b)2/7a(7a + 2b)

On a (7a − 2b)20 pour tous a, b et 7a(7a + 2b) > 0 alors (7a − 2b)2/7a(7a + 2b) ≥ 0 donc

7a+2b/7a8b/7a+2b

Exercice 3

Montrons que : (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4.

Soient a et b deux réels.

(a + b)(1/a + 1/b) − 4 = 1 + a/b + b/a + 1 − 4

= a/b + b/a − 2

= a2+b2/ab − 2

= a2+b2−2ab/ab

= a2−2ab+b2/ab

= (a − b)2/ab

On a (a − b)2 0 pour tous a, b , et comme a et b ont le même signe alors ab > 0 donc (a − b)2/ab0 ce qui signifie que

(a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4

Exercice 4
  1. Montrons que : a2 + b22ab.

Soient a et b deux réels.

a2 + b2 − 2ab = a2 − 2ab + b2

= (a − b)2 0

Donc

a2 + b2 2ab.

2. a) On déduit que : a2 + b2 + c2ab + ac + bc .

Soient a, b et c des réels.

On a

{ a2 + b2 2ab et a2 + c2 2ac et b2 + c2 2bc

en ajoutant ces inégalités membre à membre on obtient

2a2 + 2b2 + 2c22ab + 2ac + 2bc

c’est équivaut à

2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + ac + bc)

c’est équivaut à

a2 + b2 + c2 ab + ac + bc .

b) On déduit que : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) .

On a

{ b2 + d2 2bd et a2 + c22ac et b2 + c2bc et a2 + d2ad

en ajoutant ces inégalités membre à membre on obtient

2a2 + 2b2 + 2c2 + 2d2 2ad + 2ac + 2bc + 2bd

c’est équivaut à

2(a2 + b2 + c2 + d2) ≥ 2(ad + ac + bc + bd)

c’est équivaut à

a2 + b2 + c2 + d2ac + ad + bc + bd

et comme (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd donc

a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) .

Exercice 5

Soient x et y deux réels tels que : 2 x5 et −4y−2.

∎ On encadre x × y :

On a − 4y −2 alors 2 −y 4 et comme 2x 5 donc

4 −x × y 20

c’est-à-dire

−20 x × y−4

∎ On encadre x/y :

On a : x/y = x × 1/y.

Comme 2 −y 4 alors 1/4 −1/y 1/2 et puisque 2 x 5 donc

1/2 −x × 1/y 5/2

c’est-à-dire

−5/2 x/y −1/2

∎ On encadre : x2+y2/x−y = x2 + y2 × 1/x−y.

On a : x2+y2/x−y = x2 + y2 × 1/x−y .

On a −4 y −2 et 2 x5 alors 4 y2 16 et 4 x225 par suite

8 x2 + y2 41 (1)

D’autre part on a 2−y4 et 2x5 alors 2 + 2 x + (−y) ≤ 4 + 5 c’est-à-dire 4 x − y9 donc

1/91/x−y 1/4 (2)

D’après (1) et (2) on en déduit que

8 × 1/9 x2 + y2 × 1/x−y 41 × 1/4

donc

8/9 x2+y2/x−y 41/4

Exercice 6

2. Simplifions E.

Soient a et b deux réels tels que 3 < a < b.

E = √(a − b)2 + √(3 − a)2 (b − 2)

= ∣a − b∣ + ∣3 − a∣ − (b − 2)

On a 3 < a < b alors a < b c’est-à-dire a − b < 0 donc

a − b∣ = (a − b) = −a + b (1)

D’autre part, on a a − b < −a < −3 alors 3 − b < 3 − a < 0 donc 3 − a < 0, ce qui signifie que

3 − a∣ = − (3 − a) = −3 + b (2).

D’après (1) et (2) on obtient

E = − a + b − 3 + a − b + 2

= − 1

3. Simplifions A.

Soient b ∈ [−3, −1] et a ∈ [−2, 5] .

A = 22a + 7∣ − ∣3b∣ + 2b +8∣ − ∣2b − a

= 22a + 7∣ + 3b + 2b + 8∣ − ∣2b − a

On a a ∈ [−2, 5] c’est-à-dire −2a 5 alors −4 2a 10 par suite 3 2a + 7 17 donc 2a + 7 > 0 ce qui signifie que

2a + 7= 2a + 7 (1).

On a b ∈ [−3,−1] c’est-à-dire −3 b−1 alors 5b + 8 7 donc b + 8 > 0 ce qui signifie que

b + 8= b + 8 (2).

On a −5−a 2 et −6 2b−2 alors −11 2b − a 0 donc 2b − a0 d’où

2b − a∣ = − (2b − a) = −2b + a (3)

D’après (1), (2) et (3) on obtient

A = 2(2a + 7) + 3b + 2(b + 8) − (−2b + a)

= 4a + 14 + 3b + 2b + 16 + 2b − a

= 3a + 7b + 30

Exercice 7
  1. Montrons que : a ∈ [−5, 1] .

Soit a un réel, tel que

a + 2∣ ≤ 3

Eq : −3 a + 23

Eq : −3 − 2a 3 − 2

Eq : −5 a 1

Eq : a ∈ [−5, 1]

2. Montrons que : ∣a + b − 1∣ ≤ 7.

On a −5a1 et −1b4 alors −5−1a + b1+4 c’est-à-dire −6a+b 5 par suite −7a + b − 1 6 et comme 6 7 alors −7a + b − 17 donc

a + b − 7∣ ≤ 7.

3. On pose : E = ab + 6b − 5a.

a) Vérifions que : E = (a + 6)(b − 5) + 30.

E = ab + 6b − 5a

= a(b − 5) + 6b

= a(b − 5) + 6b + 30 − 30

= a(b − 5) + 6(b − 5) + 30

= (b − 5)(a + 6) + 30

= (a + 6)(b − 5) + 30

b) Encadrement pour le nombre E.

On a −5 a1 et −1b4 alors 1 a + 6 7 et −6 b − 5 − 1 par suite 1 ≤ − (b − 5) ≤ 6 donc 1 ≤ − (b − 5)(a + 6) ≤ 42 c’est-à-dire

−42 ≤ (b − 5)(a + 6) ≤ −1

d’où

−12 E 29

Exercice 9

On donne : ∣x − 1∣ < 1/2.

  1. Montrons que : ∣x2 − 1∣ < 5/4.

Soit x un réel, on a

x − 1∣ < 1/2

Eq : −1/2 < x − 1 < 1/2

Eq : −1/2 + 1 < x < 1/2 + 1

Eq : 1/2 < x < 3/2

On encadre : x2 − 1.

On a 1/2 < x < 3/2 alors 1/4 < x2 < 9/4 par suite 1/4 − 1 < x2 − 1 < 9/4 − 1 c’est-à-dire −3/4 < x2 − 1 < 5/4 et comme −5/4 < −3/4 alors −5/4 < x2 − 1 < 5/4 , donc

x2 − 1∣ < 5/4

3. On déduit que : ∣x−1/2x+1∣ < 1/4.

On a

x−1/2x+1∣ = ∣x−1/2x+1

= ∣x−1∣ × 1/2x+1

= ∣x−1∣ × ∣1/2x+1

On a 1/4 < 1/2x+1 < 1/2 et comme −1/2 < 1/4 alors −1/2 < 1/2x+1 < 1/2 donc ∣1/2x+1∣ < 1/2 et puisque ∣x − 1∣ < 1/2 donc

x−1∣ × ∣1/2x+1∣ < 1/2 × 1/2

ce qui signifie que

x−1/2x+1∣ < 1/4.

Exercice 10
  1. On vérifie que : 1+x/1+2x − (1 − x) = 2x2/1+2x.

Soit x ∈ [−1/3, 1/3] .

1+x/1+2x − (1 − x) = 1+x−(1−x)(1+2x)/1+2x

= 1+x−(1+2x−x−2x2)/1+2x

= 1+x−(1+x−2x2)/1+2x

= 1+x−1−x+2x2/1+2x

= 2x2/1+2x

2. Montrons que : 2/1+2x 6.

Soit x ∈ [−1/3, 1/3] .

2/1+2x − 6 = 2−6(1+2x)/1+2x

= 2−6−12x/1+2x

= −4−12x/1+2x

= −4(1+3x)/1+2x

On a −1/3x1/3 alors −2/3 2x 2/3 par suite 1/31+ 2x5/3 donc 1 +2x > 0. (1)

D’autre part, on a − 13x 3 par suite 0 1 + 3x 4 donc −16−4(1 +3x) ≤ 0 d’où −4(1 + 3x) ≤ 0 (2).

D’après (1) et (2) on en déduit que −4(1+3x)/1+2x 0 ce qui entraine que

2/1+2x − 6 0.

Donc

2/1+2x 6.

∎ On déduit que : ∣1+x/1+2x − (1 − x)∣ ≤ 6x2.

On a 2/1+2x 6 et comme −62/1+2x alors −62/1+2x6 donc

2/1+2x∣ ≤ 6

de plus

2/1+2xx2 6x2

comme x2 =x2∣ alors ∣2x2/1+2x∣ ≤ 6x2.

D’autre part, on a 1+x/1+2x − (1 − x) = 2x2/1+2x et par passage à la valeur absolue on obtient

1+x/1+2x − (1 − x)∣ = ∣2x2/1+2x

et on sait que ∣2/1+2xx2 6x2 donc

1+x/1+2x − (1 − x)∣ ≤ 6x2.

3. On prend x = 0,2 alors on obtient d’après l’inégalité précédente

1,2/1,4 − 4/5∣ ≤ 0,24

donc 4/5 est une valeur approchée à 1,2/1,4 par lé précision 2,4 × 10−1.

Cliquer ici pour télécharger la correction des exercices

Vous pouvez aussi consulter :

Partager

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.