par La projection dans le plan exercices corrigés tronc commun. (Tronc commun scientifique/ 1ère année lycée)
Exercice 1 (La projection dans le plan exercices corrigés)
ABCD est parallélogramme de centre O. Soit J un point du plan tel que : AJ = 2/3AC.
E est le projeté du point J sur (BC) parallèlement à (AB).
- Montrer que : CE = 1/3CB.
- Montrer que : JE = 1/3AB.
Exercice 2
ABC est un triangle. D est un point de (BC) n’appartient pas à [BC] . Soit O un point du plan tel que : AO = 3/4AD.
∎ E est le projeté du point D sur (AC) parallèlement à (OC).
∎ F est le projeté du point D sur (AB) parallèlement à (OB).
- Montrer que : AC = 3/4AE et AB = 3/4AF.
- Montrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèle.
Exercice 3
On considère le triangle ABC et le point I le milieu du segment [BC] . Soit J un point du plan tel que : AJ = 2/3AC.
E est le projeté du point J sur (BC) parallèlement à (AB).
- Montrer que : JE = 1/3AB.
- Montrer que : IE = 1/6BC.
Exercice 4
Soit ABC un triangle et M un point du segment [BC] (M ≠ B et M ≠ C). N et P respectivement les projetés des points B et C sur la droite (AC) et (AB) parallèlement à (AM).
- Montrer que : MA/BN = CM/CB et MA/CP = BM/BC .
- Déduire que : 1/MA = 1/BN + 1/CP.
Exercice 5
On considère le triangle ABC. Soit I un point du plan tel que : AI = 3/4AB .
∎ J est projeté du point I sur (BC) parallèlement à (AC).
∎ K est le projeté du point J sur (AC) parallèlement à (AB).
Montrer que : CK = 3/4CA.
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Correction de la série d’exercices
Exercice 1
ABCD est un parallélogramme de centre O. Soit J un point du plan tel que : AJ = 2/3AC.
∎ E est le projeté du point J sur (BC) parallèlement à (AB).
- Montrons que : CE = 1/3CB.
On considère la projection sur la droite (BC) parallèlement à (AB).
On a AJ = 2/3AC, et : { p(A) = B et p(J) = E et p(C) = C
comme la projection conserve le coefficient de colinéarité donc : BE = 2/3BC.
D’autre part, on a
CE = CB + BE
= CB + 2/3BC
= −BC + 2/3BC
= BC(−1 + 2/3)
= −1/3BC
= 1/3CB
2. Montrons que : JE = 1/3AB.
JE = JA + AE
= −AJ + AE
= −2/3AC + AC + CE
= AC(−2/3 + 1) + 1/3CB
= 1/3AC + 1/3(CA + AB)
= 1/3AC + 1/3CA + 1/3AB
= 1/3AB
Exercice 2
- Montrons que : AC = 3/4AE et AB = 3/4AF.
∎ On considère la projection sur (AC) parallèlement à (OC).
On a AO = 3/4AD et { p(A) = A et p(O) = C et p(D) = E
et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité donc : AC = 3/4AE.
∎ On considère la projection sur (AB) parallèlement à (OB).
On a AO = 3/4AD et { p(A) = A et p(O) = B et p(D) = F
et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité on obtient que : AB = 3/4AF.
2. On a AC = 3/4AE et AB = 3/4AF et par passage à la norme on obtient : ∥AC∥ = ∣3/4∣∥AE∥ et ∥AB∥ = ∣3/4∣∥AF∥ c’est-à-dire AC = 3/4AE et AB = 3/4AF. Donc AC/AE = 3/4 et AB/AF = 3/4 ce qui signifie que : AC/AE = AB/AF.
Dans le triangle AEF on a les points A, C et E sont dans le même ordre que les points A, B et F et AC/AE = AB/AF. Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès on en déduit que (BC) ∥ (EF).
Exercice 3
- Montrons que : JE = 1/3AB.
On considère la projection sur la droite (BC) parallèlement à (AB).
On a AJ = 2/3AC, et : { p(A) = B et p(J) = E et p(C) = C
comme la projection conserve le coefficient de la colinéarité on obtient que : BE = 2/3BC.
D’autre part, on a
JE = JB + BE
= JA + AB + 2/3BC
= −AJ + AB + 2/3BC
= −2/3AC + AB − 2/3AB + 2/3AC
= 1/3AB
2. Montrons que : IE = 1/6BC.
IE = IB + BE
= 1/2CB + 2/3BC
= −1/2BC + 2/3BC
= 1/6BC
Exercice 4
- Montrons que : MA/BN = CM/CB et MA/CP = BM/BC.
∎ On considère le triangle BCP.
On a M ∈ (BC) et A ∈ (BP) et comme (AM) ∥ (PC) donc d’après le théorème direct de Thalès on obtient
BM/BC = BA/BP = MA/CP
ceci signifie que : MA/CP = BM/BC.
∎ On considère le triangle BCN.
On a M ∈ (BC) et A ∈ (CN) et comme (AM)∥ (NB) donc d’après le théorème direct de Thalès on obtient
CM/CB = CA/CN = MA/BN
ceci signifie que : MA/BN = CM/CB.
2. On déduit que : 1/MA = 1/BN + 1/CP.
On a MA/BN = CM/CB et MA/CP = BM/BC, alors
MA × CB = BN × CM et MA × BC = CP × BM
c’est-à-dire BN = MA×CB/CM et CP = MA×BC/BM donc
1/BN + 1/CP = 1/MA×CB/CM + 1/MA×BC/BM
= CM/MA×CB + BM/MA×BC
= CM+BM/MA×CB
= CB/MA×CB
= 1/MA
ce qui signifie que
1/MA = 1/BN + 1/CP.
Exercice 5
∎ On considère la projection sur la droite (BC) parallèlement à (AC).
On a AI = 3/4AB et : { p(A) = C et p(I) = J et p(B) = B
et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité alors : CJ = 3/4CB.
∎ On considère le projection sur la droite (AC) parallèlement à (AB).
On a CJ = 3/4CB et : { p(C) = C et p(J) = K et p(B) = A
et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité alors on obtient :
CK = 3/4CA.
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