La projection dans le plan exercices corrigés

La projection dans le plan exercices corrigés

La projection dans le plan exercices corrigés tronc commun. (Tronc commun scientifique/ 1ère année lycée)

Exercice 1

ABCD est parallélogramme de centre O. Soit J un point du plan tel que : AJ = 2/3AC.

E est le projeté du point J sur (BC) parallèlement à (AB).

  1. Montrer que : CE = 1/3CB.
  2. Montrer que : JE = 1/3AB.
Exercice 2

ABC est un triangle. D est un point de (BC) n’appartient pas à [BC] . Soit O un point du plan tel que : AO = 3/4AD.

E est le projeté du point D sur (AC) parallèlement à (OC).

F est le projeté du point D sur (AB) parallèlement à (OB).

  1. Montrer que : AC = 3/4AE et AB = 3/4AF.
  2. Montrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèle.
Exercice 3

On considère le triangle ABC et le point I le milieu du segment [BC] . Soit J un point du plan tel que : AJ = 2/3AC.

E est le projeté du point J sur (BC) parallèlement à (AB).

  1. Montrer que : JE = 1/3AB.
  2. Montrer que : IE = 1/6BC.
Exercice 4

Soit ABC un triangle et M un point du segment [BC] (M ≠ B et M ≠ C). N et P respectivement les projetés des points B et C sur la droite (AC) et (AB) parallèlement à (AM).

  1. Montrer que : MA/BN = CM/CB et MA/CP = BM/BC .
  2. Déduire que : 1/MA = 1/BN + 1/CP.
Exercice 5

On considère le triangle ABC. Soit I un point du plan tel que : AI = 3/4AB .

J est projeté du point I sur (BC) parallèlement à (AC).

K est le projeté du point J sur (AC) parallèlement à (AB).

Montrer que : CK = 3/4CA.

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Correction de la série d’exercices

Exercice 1

ABCD est un parallélogramme de centre O. Soit J un point du plan tel que : AJ = 2/3AC.

E est le projeté du point J sur (BC) parallèlement à (AB).

  1. Montrons que : CE = 1/3CB.

On considère la projection sur la droite (BC) parallèlement à (AB).

On a AJ = 2/3AC, et : { p(A) = B et p(J) = E et p(C) = C

comme la projection conserve le coefficient de colinéarité donc : BE = 2/3BC.

D’autre part, on a

CE = CB + BE

= CB + 2/3BC

= −BC + 2/3BC

= BC(−1 + 2/3)

= −1/3BC

= 1/3CB

2. Montrons que : JE = 1/3AB.

JE = JA + AE

= −AJ + AE

= −2/3AC + AC + CE

= AC(−2/3 + 1) + 1/3CB

= 1/3AC + 1/3(CA + AB)

= 1/3AC + 1/3CA + 1/3AB

= 1/3AB

Exercice 2
  1. Montrons que : AC = 3/4AE et AB = 3/4AF.

∎ On considère la projection sur (AC) parallèlement à (OC).

On a AO = 3/4AD et { p(A) = A et p(O) = C et p(D) = E

et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité donc : AC = 3/4AE.

∎ On considère la projection sur (AB) parallèlement à (OB).

On a AO = 3/4AD et { p(A) = A et p(O) = B et p(D) = F

et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité on obtient que : AB = 3/4AF.

2. On a AC = 3/4AE et AB = 3/4AF et par passage à la norme on obtient : ∥AC∥ = ∣3/4∣∥AE∥ et ∥AB∥ = ∣3/4∣∥AF∥ c’est-à-dire AC = 3/4AE et AB = 3/4AF. Donc AC/AE = 3/4 et AB/AF = 3/4 ce qui signifie que : AC/AE = AB/AF.

Dans le triangle AEF on a les points A, C et E sont dans le même ordre que les points A, B et F et AC/AE = AB/AF. Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès on en déduit que (BC) ∥ (EF).

Exercice 3
  1. Montrons que : JE = 1/3AB.

On considère la projection sur la droite (BC) parallèlement à (AB).

On a AJ = 2/3AC, et : { p(A) = B et p(J) = E et p(C) = C

comme la projection conserve le coefficient de la colinéarité on obtient que : BE = 2/3BC.

D’autre part, on a

JE = JB + BE

= JA + AB + 2/3BC

= −AJ + AB + 2/3BC

= −2/3AC + AB − 2/3AB + 2/3AC

= 1/3AB

2. Montrons que : IE = 1/6BC.

IE = IB + BE

= 1/2CB + 2/3BC

= −1/2BC + 2/3BC

= 1/6BC

Exercice 4
  1. Montrons que : MA/BN = CM/CB et MA/CP = BM/BC.

∎ On considère le triangle BCP.

On a M ∈ (BC) et A ∈ (BP) et comme (AM) ∥ (PC) donc d’après le théorème direct de Thalès on obtient

BM/BC = BA/BP = MA/CP

ceci signifie que : MA/CP = BM/BC.

∎ On considère le triangle BCN.

On a M ∈ (BC) et A ∈ (CN) et comme (AM)∥ (NB) donc d’après le théorème direct de Thalès on obtient

CM/CB = CA/CN = MA/BN

ceci signifie que : MA/BN = CM/CB.

2. On déduit que : 1/MA = 1/BN + 1/CP.

On a MA/BN = CM/CB et MA/CP = BM/BC, alors

MA × CB = BN × CM et MA × BC = CP × BM

c’est-à-dire BN = MA×CB/CM et CP = MA×BC/BM donc

1/BN + 1/CP = 1/MA×CB/CM + 1/MA×BC/BM

= CM/MA×CB + BM/MA×BC

= CM+BM/MA×CB

= CB/MA×CB

= 1/MA

ce qui signifie que

1/MA = 1/BN + 1/CP.

Exercice 5

∎ On considère la projection sur la droite (BC) parallèlement à (AC).

On a AI = 3/4AB et : { p(A) = C et p(I) = J et p(B) = B

et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité alors : CJ = 3/4CB.

∎ On considère le projection sur la droite (AC) parallèlement à (AB).

On a CJ = 3/4CB et : { p(C) = C et p(J) = K et p(B) = A

et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité alors on obtient :

CK = 3/4CA.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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