Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés

Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés. (Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés)

Résoudre dans l’intervalle I les équations suivantes :

(E₁) : sin x = −sin π/7 , I = ℝ; (E₂) : cos 2x = −cos π/8 , I = [0, 2π] ;

(E₃) : cos x = −cos π/3 , I = ]−π/2, π/2[ ; (E₄) : cos 3x = −sin x , I = ℝ

Exercice 2 (Équation de 2ème degré)

Résoudre dans l’intervalle I les équations suivantes :

(E₁) : 3tan²x = 1 , I = ℝ

(E₂) : 2cos²x − 3√3cos x + 3 = 0 , I = [0, 2π]

(E₃) : √3tan²x + (√3 − 1)tan x − 1 = 0 , I = ℝ

(E₄) : 2sin²x − 3sin x + 1 = 0 , I = ℝ

Exercice 3

Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation suivante :

(I) : (2sin x − 1)(√3tan x + 1) ≻ 0

Exercice 4 (Technique changement de la variable)

1. Résoudre dans l’intervalle [0, π] l’inéquation suivante : (I) : sin(2x − π/3) ≤ √3/2
2. Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation suivante : (I) : cos(x/2) ≺ −1/2.

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Correction des exercices sur les équations et inéquations trigonométriques

Exercice 1

On résout dans I les équations et trigonométriques :

• On résout dans ℝ l’équation (E₁) :

Soit x ∈ ℝ.

On a : −sin π/7 = sin(−π/7). Donc :

sin x = −sin π/7 ⇔ sin x = sin(−π/7)

⇔  {x = −π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = π + π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ

⇔ {x = −π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 8π/7 + 2kπ  / k ∈ ℤ

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E₁) est :

S = { −π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ} ⋃ { 8π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ}

• On résout dans [0, 2π] l’équation (E₂) :

Soit x ∈ [0, 2π].

On a : −cos π/8 = cos(π − π/8) = cos 7π/8. Donc :

cos 2x = −cos π/8 ⇔ cos 2x = cos 7π/8  

⇔  {2x = 7π/8 + 2kπ / k ∈ ℤ ou 2x = −7π/8 + 2kπ / k ∈ ℤ

⇔  {x = 7π/16 + kπ / k ∈ ℤ ou x = −7π/16 + kπ / k ∈ ℤ

On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à [0, 2π].

0 ≤ 7π/16 + kπ ≤ 2π

⇔ 0 ≤ 7/16 + k ≤ 2

⇔ −7/16 ≤ k ≤ 25/16

comme k ∈ ℤ, alors : k = 0 ou k = 1. Donc :

Si k = 0, alors : x = 7π/16.

Si k = 1, alors : x = 7π/16 + π = 23π/16.

0 ≤ −7π/16 + kπ ≤ 2π

⇔ 0 ≤ −7π/16 + k ≤ 2

⇔ 7/16 ≤ k ≤ 39/16

comme k ∈ ℤ, alors : k = 1 ou k = 2. Donc :

Si k = 1, alors : x = 9π/16

Si k = 2, alors : x = −7π/16 + 2π = 25π/16.

Donc, l’ensemble des solutions de l’équation (E₂) est :

S = {7π/16, 9π/16, 23π/16, 25π/16}

• On résout l’équation ]−π/2, π/2[ l’équation (E₃) :

Soit x ∈ ]−π/2, π/2[ .

On a : −cos π/3 = cos (π − π/3) = cos 2π/3. Donc :

cos x = −cos π/3 ⇔ cos x = cos 2π/3

⇔ {x = 2π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = −2π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ

On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à l’intervalle ]−π/2, π/2[ .

−π/2 ≺ 2π/3 + 2kπ ≺ π/2

⇔ −1/2 ≺ 2/3 + 2k ≺ 1/2

⇔ −1/2 − 2/3 ≺ 2k ≺ 1/2 − 2/3

⇔ −7/6 ≺ 2k ≺ −1/6

⇔ −7/12 ≺ k ≺ −1/12

Alors n’existe pas k ∈ ℤ.

−π/2 ≺ −2π/3 + 2kπ ≺ π/2

⇔ −1/2 ≺ −2/3 + 2k ≺ 1/2

⇔ −1/2 + 2/3 ≺ 2k ≺ 1/2 + 2/3

⇔ 1/6 ≺ 2k ≺ 7/6

⇔ 1/12 ≺ k ≺ 7/12

Alors n’existe pas k ∈ ℤ.

Donc :

S = ∅  

• On résout dans ℝ l’équation (E₄) :

Soit x ∈ ℝ.

On a : −sin x = cos(π/2 + x). Donc :

cos 3x = −sin x ⇔ cos 3x = cos(π/2 + x)

Donc, l’ensemble des solutions de l’équation (E₄) est :

S = {−π/8 + kπ/2 / k ∈ ℤ} ⋃ {π/4 + kπ / k ∈ ℤ}

Exercice 2 (équation de 2ème degré)

• L’équation (E₁) existe si et seulement si x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.

Donc :

3tan²x = 1 ⇔ tan²x = 1/3

⇔ (tan x − 1/√3)(tan x + 1/√3) = 0

⇔ tan x = 1/√3 ou tan x = − 1/√3

⇔ tan x = √3/3 ou tan x = −√3/3

⇔ tan x = tan π/6 ou tan x = tan(−π/6)

⇔ x = π/6 + kπ ou x = −π/6 + kπ / k ∈ ℤ

L’ensemble des solutions de l’équation (E₁) est :

S = {π/6 + kπ / k ∈ ℤ} ⋃ {−π/6 + kπ / k ∈ ℤ}

• On résout dans [0, 2π] l’équation (E₂) :

Soit x ∈ [0, 2π].

On pose : cos x = X, on obtient l’équation suivante : 2X² − 3√3X + 3 = 0.

Calculons ∆ :

∆ = b² − 4ac

= (−3√3)² − 4 × 2 × 3

= 3

L’équation admet deux solutions réelles distinctes X₁ et X₂ :

X₁ = −b+√∆/2a = 3√3+√3/4 = √3 et X₂ = −b−√∆/2a = 3√3−√3/4 = √3/2

et comme cos x = X, alors on obtient :

cos x = √3 ou cos x = √3/2

⇔ cos x = cos π/6

⇔ {x = π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = −π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ

On cherche parmi ces solutions qui appartiennent à l’intervalle [0, 2π].

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Devoir surveillé sur les fonctions et le calcul trigonométrique (Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés)

Exercice 1

1. Déterminer l’ensemble de définition de fonction : ƒ(x) = 2x/x² −6x+5 .
2. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x² + 2x + 1. Montrer que la fonction ƒ admet une valeur maximale sur ℝ.

Exercice 2

On considère les fonctions numériques ƒ et h définie par : ƒ(x) = −2x² + 4x − 1 et h(x) = x/x−1

et (C_ƒ) et (C_h) les courbes représentatives respectives de ƒ et h dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. 1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h, puis donner son tableau de variations.
   2. Quelle est la nature de la courbe (C_h).
   3. Calculer h(3/2), h(2) et h(3), puis tracer la courbe (C_h).
2. 1. Donner le tableau de variations de la fonction ƒ. Quelle est la nature de la courbe (C_ƒ).
   2. Calculer ƒ(0), ƒ(1/2) et ƒ(1/4), puis tracer la courbe (C_ƒ).
   3. Déterminer graphiquement selon les valeurs du paramètre réel m le nombre des solutions des équations : ƒ(x) = m.
3. On considère la fonction numérique g définie par : g(x) = h(∣x∣).
   1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g.
   2. Étudier la parité de la fonction g, puis vérifier que pour tout x ∈ [0, 1[ ⋃ ]1, +∞[ , on a : g(x) = h(x).
   3. Déduire le tableau de variations de la fonction g.
   4. Tracer la courbe (C_g) dans le même repère orthonormé (O , i , j ).

Exercice 3

1. Soient u et v deux vecteurs tels que : ( u , v ) ≡ 88π/3 [2π].

Déterminer la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ).

2. Simplifier A et calculer la valeur de la somme B.

A = cos(x + 4π) + cos(5π + x) − sin (π/2 + x) − cos(x − π).

B = cos π/7 + cos 2π/7 + cos 3π/7 + cos 4π/7 + cos 5π/7 + cos 6π/7

3. a) Calculer la valeur de la somme suivante : A = cos² π/10 + cos² 4π/10 + cos² 6π/10 + cos² 9π/10

b) Déduire la valeur de la somme : B = sin² π/10 + sin² 4π/10 + sin² 6π/10 + sin² 9π/10

Exercice 4

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ* par : ƒ(x) = x + 9/x

1. Soient x et y deux éléments distincts de ℝ* , montrer que : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = xy−9/xy
2. Déduire la monotonie de la fonction ƒ sur ]0, 3] , puis déduire un encadrement pour ƒ(a) sachant que a ∈ [1, 2].

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Correction devoir surveille N2

Exercice 1

1. L’ensemble de définition de la fonction : ƒ(x) = 2x/x² −6x+5

D_ƒ = { x ∈ ℝ ⁄ x² − 6x + 5 ≠ 0 }

On résout dans ℝ l’équation : x² − 6x + 5 = 0.

∆ = b² − 4ac

= (−6)² − 4 × 1 × 5

= 16 ≻ 0

Donc, l’équation admet deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂ .

x₁ = −b+√∆/2a = 6+√16/2×1 = 5 et x₂ = −b−√∆/2a = 6−√16/2×1 = 1

Donc

D_ƒ = {x ∈ ℝ ⁄ x ≠ 1 et x ≠ 5}

= ]−∞, 1[⋃]1, 5[⋃]5, +∞[

2. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x² + 2x + 1.

On a : a = −3, b = 4 et c = 1 et comme : −b/2a = 2/3 et a ≺ 0. Donc, on déduit le tableau de variations suivant :

On déduit que la fonction ƒ admet 7/3 comme valeur maximale en point d’abscisse 2/3 sur ℝ.

Exercice 2

On considère les fonctions numériques ƒ et h définies par : ƒ(x) = −2x² + 4x − 1 et h(x) = x/x−1.

1. L’ensemble de définition de la fonction h :

D_h = {x ∈ ℝ ⁄ x − 1 ≠ 0}

= ]−∞, 1[⋃]1, +∞[

• Tableau de variations de h :

b) La courbe représentative de la fonction h est appelé hyperbole son centre de symétrie est le point S (1, 1) et les droites d’équations : (D) : x = 1 et (D′) : y = 1 sont les deux asymptotes de la courbe (C_h).

c) On a : h(3/2) = 3/2/3/2−1 = 3, h(2) = 2/2−1 = 2 et h(3) = 3/3−1 = 3/2.

2. a) On a : a = − 2 ≺ 0 et −b/2a = −4/−4 = 1. Donc le tableau de variations de la fonction est:

La courbe représentative de la fonction ƒ est appelé parabole de sommet S(1, 1) et la droite d’équation (D) : x = 1 son axe de symétrie.

b) On a : ƒ(0) = −1 , ƒ(1/2) = 1/2 et ƒ(1/4) = −1/8.

Voir la question 1/c la courbe en rouge présente la fonction ƒ.

c) Les solutions de l’équation (E) : ƒ = m avec m ∈ ℝ.

• Si m ∈ ]1, +∞[ , alors l’équation (E) n’admet aucune solution.
• Si m ∈ ]−∞, 1[ , alors l’équation (E) admet deux solution distinctes.
• Si m = 1, alors l’équation (E) admet une unique solution.

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Devoir maison produit scalaire et calcul trigonométrique

Exercice 1 ( le produit scalaire)

Dans la figure ci-dessous EFG est un triangle équilatéral de coté a, (a ∈ ℝ*₊) et EGH est un triangle rectangle en E tel que : EH = 2a et K est le milieu de [EH].

1. Montrer que : (EF , EH) ≡ 5π/2 [2π] .
2. Montrer que : EF.EG = a²/2 et que : EF.EH = −a²√3.
3. Montrer que : GH² = 5a² et que : FH² = (5 + 2√3)a² .
4. Calculer : GF.GH
5. On pose : ( GF,GH ) ≡ θ [2π]. Montrer que : cosθ = (1−2√3)√5/10
6. Calculer : GK.

Exercice 2 (le calcul trigonométrique)

1. Résoudre dans ]0, π] l’inéquation suivante (I) : 2cos² x − cos x ≺ 0.
2. Soit x un réel. On pose : A(x) = cos x.sin x
   1. Montrer que pour tout x de ℝ : A(π/2 − x) = A(x) et que : A(π + x) = A(x).
   2. Montrer que pour tout x de ℝ tel que : x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ. A(x) = tanx/1+tan² x
   3. Résoudre dans l’intervalle ]−π, π] l’équation : A(x) = √3/4 .

Exercice 3 (transformation dans le plan)

Soit IAB un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID= 1/3IB.

On considère h l’homothétie qui transforme A en C et B en D.

1. Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie.
2. La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.
   1. Déterminer l’image de la droite (BC) par h.
   2. Montrer que : h(C) = E.

Exercice 4

IAB est un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB.

On considère l’homothétie h de centre I tel que : h(C) = A.

1. Déterminer le rapport de l’homothétie h.
2. Montrer que : h(D) = B.
3. La droite qui passe par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.

a) Montrer que : h(E) = C.

4. Déduire l’image du triangle ECD par l’homothétie h.

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Correction devoir maison

Exercice 1 (produit scalaire)

On considère la figure suivante :

1. Montrons que : (EF , EH) ≡ 5π/6 [2π]

On utilise la relation de Chasles, on obtient :

( EF , EH ) ≡ ( EF , EG ) + ( EG , EH )

≡ π/3 + π/2 [2π]

≡ 5π/6 [2π]

2. Montrons que : EF.EG = a²/2.

EF.EG = EF.EG. cos(FEG)

= a × a × cos (π/3)

= a × a × 1/2 (car : FEG = π/3)

= a²/2

• Montrons que : EF.EH = −a²√3

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Vous pouvez aussi consulter :

• Calcul trigonométrique partie 2 tronc commun
• Calcul trigonométrique exercices corrigés TC