Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés. (Tronc commun scientifique)
Exercice 1 (Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés)
Résoudre dans l’intervalle I les équations suivantes :
(E1) : sin x = −sin π/7 , I = ℝ; (E2) : cos 2x = −cos π/8 , I = [0, 2π] ;
(E3) : cos x = −cos π/3 , I = ]−π/2, π/2[ ; (E4) : cos 3x = −sin x , I = ℝ
Exercice 2 (Équation de 2ème degré)
Résoudre dans l’intervalle I les équations suivantes :
(E1) : 3tan2x = 1 , I = ℝ
(E2) : 2cos2x − 3√3cos x + 3 = 0 , I = [0, 2π]
(E3) : √3tan2x + (√3 − 1)tan x − 1 = 0 , I = ℝ
(E4) : 2sin2x − 3sin x + 1 = 0 , I = ℝ
Exercice 3
Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation suivante :
(I) : (2sin x − 1)(√3tan x + 1) ≻ 0
Exercice 4 (Technique changement de la variable)
- Résoudre dans l’intervalle [0, π] l’inéquation suivante : (I) : sin(2x − π/3) ≤ √3/2
- Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation suivante : (I) : cos(x/2) ≺ −1/2.
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Correction des exercices sur les équations et inéquations trigonométriques
Exercice 1
On résout dans I les équations et trigonométriques :
- On résout dans ℝ l’équation (E1) :
Soit x ∈ ℝ.
On a : −sin π/7 = sin(−π/7). Donc :
sin x = −sin π/7 ⇔ sin x = sin(−π/7)
⇔ {x = −π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = π + π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ
⇔ {x = −π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 8π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ
Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E1) est :
S = { −π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ} ⋃ { 8π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ}
- On résout dans [0, 2π] l’équation (E2) :
Soit x ∈ [0, 2π].
On a : −cos π/8 = cos(π − π/8) = cos 7π/8. Donc :
cos 2x = −cos π/8 ⇔ cos 2x = cos 7π/8
⇔ {2x = 7π/8 + 2kπ / k ∈ ℤ ou 2x = −7π/8 + 2kπ / k ∈ ℤ
⇔ {x = 7π/16 + kπ / k ∈ ℤ ou x = −7π/16 + kπ / k ∈ ℤ
On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à [0, 2π].
0 ≤ 7π/16 + kπ ≤ 2π
⇔ 0 ≤ 7/16 + k ≤ 2
⇔ −7/16 ≤ k ≤ 25/16
comme k ∈ ℤ, alors : k = 0 ou k = 1. Donc :
Si k = 0, alors : x = 7π/16.
Si k = 1, alors : x = 7π/16 + π = 23π/16.
0 ≤ −7π/16 + kπ ≤ 2π
⇔ 0 ≤ −7π/16 + k ≤ 2
⇔ 7/16 ≤ k ≤ 39/16
comme k ∈ ℤ, alors : k = 1 ou k = 2. Donc :
Si k = 1, alors : x = 9π/16
Si k = 2, alors : x = −7π/16 + 2π = 25π/16.
Donc, l’ensemble des solutions de l’équation (E2) est :
S = {7π/16, 9π/16, 23π/16, 25π/16}
- On résout l’équation ]−π/2, π/2[ l’équation (E3) :
Soit x ∈ ]−π/2, π/2[ .
On a : −cos π/3 = cos (π − π/3) = cos 2π/3. Donc :
cos x = −cos π/3 ⇔ cos x = cos 2π/3
⇔ {x = 2π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = −2π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ
On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à l’intervalle ]−π/2, π/2[ .
−π/2 ≺ 2π/3 + 2kπ ≺ π/2
⇔ −1/2 ≺ 2/3 + 2k ≺ 1/2
⇔ −1/2 − 2/3 ≺ 2k ≺ 1/2 − 2/3
⇔ −7/6 ≺ 2k ≺ −1/6
⇔ −7/12 ≺ k ≺ −1/12
Alors n’existe pas k ∈ ℤ.
−π/2 ≺ −2π/3 + 2kπ ≺ π/2
⇔ −1/2 ≺ −2/3 + 2k ≺ 1/2
⇔ −1/2 + 2/3 ≺ 2k ≺ 1/2 + 2/3
⇔ 1/6 ≺ 2k ≺ 7/6
⇔ 1/12 ≺ k ≺ 7/12
Alors n’existe pas k ∈ ℤ.
Donc :
S = ∅
- On résout dans ℝ l’équation (E4) :
Soit x ∈ ℝ.
On a : −sin x = cos(π/2 + x). Donc :
cos 3x = −sin x ⇔ cos 3x = cos(π/2 + x)
Donc, l’ensemble des solutions de l’équation (E4) est :
S = {−π/8 + kπ/2 / k ∈ ℤ} ⋃ {π/4 + kπ / k ∈ ℤ}
Exercice 2 (équation de 2ème degré)
- L’équation (E1) existe si et seulement si x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.
Donc :
3tan2x = 1 ⇔ tan2x = 1/3
⇔ (tan x − 1/√3)(tan x + 1/√3) = 0
⇔ tan x = 1/√3 ou tan x = − 1/√3
⇔ tan x = √3/3 ou tan x = −√3/3
⇔ tan x = tan π/6 ou tan x = tan(−π/6)
⇔ x = π/6 + kπ ou x = −π/6 + kπ / k ∈ ℤ
L’ensemble des solutions de l’équation (E1) est :
S = {π/6 + kπ / k ∈ ℤ} ⋃ {−π/6 + kπ / k ∈ ℤ}
- On résout dans [0, 2π] l’équation (E2) :
Soit x ∈ [0, 2π].
On pose : cos x = X, on obtient l’équation suivante : 2X2 − 3√3X + 3 = 0.
Calculons ∆ :
∆ = b2 − 4ac
= (−3√3)2 − 4 × 2 × 3
= 3
L’équation admet deux solutions réelles distinctes X1 et X2 :
X1 = −b+√∆/2a = 3√3+√3/4 = √3 et X2 = −b−√∆/2a = 3√3−√3/4 = √3/2
et comme cos x = X, alors on obtient :
cos x = √3 ou cos x = √3/2
⇔ cos x = cos π/6
⇔ {x = π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = −π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ
On cherche parmi ces solutions qui appartiennent à l’intervalle [0, 2π].
Devoir surveillé sur les fonctions et le calcul trigonométrique (Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés)
Exercice 1
- Déterminer l’ensemble de définition de fonction : ƒ(x) = 2x/x2 −6x+5 .
- Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x2 + 2x + 1. Montrer que la fonction ƒ admet une valeur maximale sur ℝ.
Exercice 2
On considère les fonctions numériques ƒ et h définie par : ƒ(x) = −2x2 + 4x − 1 et h(x) = x/x−1
et (Cƒ) et (Ch) les courbes représentatives respectives de ƒ et h dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
- Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h, puis donner son tableau de variations.
- Quelle est la nature de la courbe (Ch).
- Calculer h(3/2), h(2) et h(3), puis tracer la courbe (Ch).
- Donner le tableau de variations de la fonction ƒ. Quelle est la nature de la courbe (Cƒ).
- Calculer ƒ(0), ƒ(1/2) et ƒ(1/4), puis tracer la courbe (Cƒ).
- Déterminer graphiquement selon les valeurs du paramètre réel m le nombre des solutions des équations : ƒ(x) = m.
- On considère la fonction numérique g définie par : g(x) = h(∣x∣).
- Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g.
- Étudier la parité de la fonction g, puis vérifier que pour tout x ∈ [0, 1[ ⋃ ]1, +∞[ , on a : g(x) = h(x).
- Déduire le tableau de variations de la fonction g.
- Tracer la courbe (Cg) dans le même repère orthonormé (O , i , j ).
Exercice 3
- Soient u et v deux vecteurs tels que : ( u , v ) ≡ 88π/3 [2π].
Déterminer la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ).
2. Simplifier A et calculer la valeur de la somme B.
A = cos(x + 4π) + cos(5π + x) − sin (π/2 + x) − cos(x − π).
B = cos π/7 + cos 2π/7 + cos 3π/7 + cos 4π/7 + cos 5π/7 + cos 6π/7
3. a) Calculer la valeur de la somme suivante : A = cos2 π/10 + cos2 4π/10 + cos2 6π/10 + cos2 9π/10
b) Déduire la valeur de la somme : B = sin2 π/10 + sin2 4π/10 + sin2 6π/10 + sin2 9π/10
Exercice 4
Soit ƒ la fonction définie sur ℝ* par : ƒ(x) = x + 9/x
- Soient x et y deux éléments distincts de ℝ* , montrer que : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = xy−9/xy
- Déduire la monotonie de la fonction ƒ sur ]0, 3] , puis déduire un encadrement pour ƒ(a) sachant que a ∈ [1, 2].
Correction devoir surveille N2
Exercice 1
- L’ensemble de définition de la fonction : ƒ(x) = 2x/x2 −6x+5
Dƒ = { x ∈ ℝ ⁄ x2 − 6x + 5 ≠ 0 }
On résout dans ℝ l’équation : x2 − 6x + 5 = 0.
∆ = b2 − 4ac
= (−6)2 − 4 × 1 × 5
= 16 ≻ 0
Donc, l’équation admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2 .
x1 = −b+√∆/2a = 6+√16/2×1 = 5 et x2 = −b−√∆/2a = 6−√16/2×1 = 1
Donc
Dƒ = {x ∈ ℝ ⁄ x ≠ 1 et x ≠ 5}
= ]−∞, 1[⋃]1, 5[⋃]5, +∞[
2. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x2 + 2x + 1.
On a : a = −3, b = 4 et c = 1 et comme : −b/2a = 2/3 et a ≺ 0. Donc, on déduit le tableau de variations suivant :
On déduit que la fonction ƒ admet 7/3 comme valeur maximale en point d’abscisse 2/3 sur ℝ.
Exercice 2
On considère les fonctions numériques ƒ et h définies par : ƒ(x) = −2x2 + 4x − 1 et h(x) = x/x−1.
- L’ensemble de définition de la fonction h :
Dh = {x ∈ ℝ ⁄ x − 1 ≠ 0}
= ]−∞, 1[⋃]1, +∞[
- Tableau de variations de h :
b) La courbe représentative de la fonction h est appelé hyperbole son centre de symétrie est le point S (1, 1) et les droites d’équations : (D) : x = 1 et (D′) : y = 1 sont les deux asymptotes de la courbe (Ch).
c) On a : h(3/2) = 3/2/3/2−1 = 3, h(2) = 2/2−1 = 2 et h(3) = 3/3−1 = 3/2.
2. a) On a : a = − 2 ≺ 0 et −b/2a = −4/−4 = 1. Donc le tableau de variations de la fonction est:
La courbe représentative de la fonction ƒ est appelé parabole de sommet S(1, 1) et la droite d’équation (D) : x = 1 son axe de symétrie.
b) On a : ƒ(0) = −1 , ƒ(1/2) = 1/2 et ƒ(1/4) = −1/8.
Voir la question 1/c la courbe en rouge présente la fonction ƒ.
c) Les solutions de l’équation (E) : ƒ = m avec m ∈ ℝ.
- Si m ∈ ]1, +∞[ , alors l’équation (E) n’admet aucune solution.
- Si m ∈ ]−∞, 1[ , alors l’équation (E) admet deux solution distinctes.
- Si m = 1, alors l’équation (E) admet une unique solution.
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Devoir maison produit scalaire et calcul trigonométrique
Exercice 1 ( le produit scalaire)
Dans la figure ci-dessous EFG est un triangle équilatéral de coté a, (a ∈ ℝ*+) et EGH est un triangle rectangle en E tel que : EH = 2a et K est le milieu de [EH].
- Montrer que : (EF , EH) ≡ 5π/2 [2π] .
- Montrer que : EF.EG = a2/2 et que : EF.EH = −a2√3.
- Montrer que : GH2 = 5a2 et que : FH2 = (5 + 2√3)a2 .
- Calculer : GF.GH
- On pose : ( GF,GH ) ≡ θ [2π]. Montrer que : cosθ = (1−2√3)√5/10
- Calculer : GK.
Exercice 2 (le calcul trigonométrique)
- Résoudre dans ]0, π] l’inéquation suivante (I) : 2cos2 x − cos x ≺ 0.
- Soit x un réel. On pose : A(x) = cos x.sin x
- Montrer que pour tout x de ℝ : A(π/2 − x) = A(x) et que : A(π + x) = A(x).
- Montrer que pour tout x de ℝ tel que : x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ. A(x) = tanx/1+tan2 x
- Résoudre dans l’intervalle ]−π, π] l’équation : A(x) = √3/4 .
Exercice 3 (transformation dans le plan)
Soit IAB un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID= 1/3IB.
On considère h l’homothétie qui transforme A en C et B en D.
- Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie.
- La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.
- Déterminer l’image de la droite (BC) par h.
- Montrer que : h(C) = E.
Exercice 4
IAB est un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB.
On considère l’homothétie h de centre I tel que : h(C) = A.
- Déterminer le rapport de l’homothétie h.
- Montrer que : h(D) = B.
- La droite qui passe par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.
a) Montrer que : h(E) = C.
4. Déduire l’image du triangle ECD par l’homothétie h.
Correction devoir maison
Exercice 1 (produit scalaire)
On considère la figure suivante :
- Montrons que : (EF , EH) ≡ 5π/6 [2π]
On utilise la relation de Chasles, on obtient :
( EF , EH ) ≡ ( EF , EG ) + ( EG , EH )
≡ π/3 + π/2 [2π]
≡ 5π/6 [2π]
2. Montrons que : EF.EG = a2/2.
EF.EG = EF.EG. cos(FEG)
= a × a × cos (π/3)
= a × a × 1/2 (car : FEG = π/3)
= a2/2
- Montrons que : EF.EH = −a2√3
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