Devoir surveillé équations inéquations et systèmes

Devoir surveillé équations, inéquations et systèmes.

Devoir surveillé N1 S2 (Durée 1H40)

Exercice 01

Résoudre dans ℝ l’inéquation suivante :

(I) : −6x²+x+15/−4x²+4x−1 ≥ 0

Exercice 02

1. 1. Résoudre dans l’ensemble ℝ l’équation : 2x² + 4x − 6 = 0.
   2. Déduire les solutions d’équation : 2x + 4√x − 6 = 0. (Indication : on pourra poser √x = t)
2. On considère le polynôme : P(x) = 2x³ + 8x² + 2x − 12.
   1. Vérifier que le nombre −2 est une racine du P(x). Que peut-on conclure ?
   2. Factoriser P(x) sous la forme des trois binômes.
   3. Résoudre dans l’ensemble ℝ l’équation : P(x) = 0, puis déduire le tableau de signe du P(x).
   4. Résoudre dans ℝ les solutions d’inéquation : P(x) ≤ 0.
   5. Déduire les solutions d’équation : (E) : 2∣x∣³ + 8x² + 2∣x∣ − 12 = 0

Exercice 03

Soit (C) un cercle trigonométrique de centre O et de repère orthonormé direct associé (O, OI, OJ). On considère deux points A et B d’abscisses curvilignes respectives 267π/6 et −267π/3.

1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points A et B puis les représenter sur le cercle trigonométrique.
2. Calculer cos x sachant que tan x = 1/3 et 5π ≺ x ≺ 11π/2.

Exercice 04 (Questions indépendantes)

1. Résoudre dans l’ensemble ℝ² l’équation (E) : 2x − y − 3 = 0.
2. Résoudre dans l’ensemble ℝ² le système suivant (S) : {2x² + y² = 11 et 2x² + 3y² = 10
3. 1. Résoudre dans ℝ l’équation (E) : 3/x² − 2/x + 3/25 = 0.
   2. Déduire l’ensemble des solutions d’inéquation (I) : 3/x² − 2/x + 3/25 ≤ 0.
4. Résoudre graphiquement le système suivant (S) : {x − 2y ≤ 7 et x + y ≤ 3

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Devoir de surveillé N2 S2 (Durée 1H40)

Exercice 01

1. 1. Résoudre dans l’ensemble ℝ³ l’équation suivante (E) : x + y − 1 = 0.
   2. Déterminer le réel x tel que le couple (x, 1) est solution de l’équation (E).
2. Résoudre dans ℝ² le système suivant :

(S) : {2/x + 1/y = 1 et 3/x + 1/y = 5

Exercice 02

1. 1. Résoudre dans l’ensemble ℝ l’équation (E) : x² + 2x − 8 = 0.
   2. Résoudre dans l’ensemble ℝ l’inéquation :

(I) : 2x²+x−10/x²−4 ≤ 3/2

2. On considère le polynôme P(x) définit par : P(x) = x³ + (√2 − 1)x² −(2 + √2)x − 2√2

a) Déterminer un polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x + 1)Q(x).

b) Résoudre dans ℝ l’équation : P(x) = 0.

c) Résoudre dans ℝ l’inéquation : ∣x∣³ + (√2 − 1)x² − (2 + √2)∣x∣ − 2√2 ≻ 0

Exercice 03

On considère le polynôme P(x) définit par : P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6

1. Déterminer les réels a et b tels que : P(x) = (x − 1)(x² + ax + b) pour tout x de ℝ.
2. Écrire P(x) sous la forme des binômes.
3. 1. Résoudre dans ℝ l’inéquation : P(x) ≥ 0.
   2. Déduire les solutions d’inéquation : 6 − 2x ≥ √x(5 − x)

Exercice 04

On considère l’équation : (E) : x² − 6x − 3 = 0.

1. On pose : a = 1 − √3 et b = 1+√3/√3. Montrer que : a/b = 3−2√3 puis (a/b)² −6(a/b) − 3 = 0.
2. Déduire les solutions de l’équation (E) sans utiliser le discriminant ∆.

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