par Devoir maison sur la droite dans le plan. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)
Exercice 1
Le plan (P) muni d’un repère orthonormé (O , i , j). On considère les points : A(3, 0) ; B(0, 4).
- Montrer que : 4x + 3y − 12 = 0 est une équation catésienne de la droite (D) passant par les points A et B.
- Tracer la droite (D) dans un repère orthonormé (O , i , j).
- On considère la droite (∆) définie par sa représentation paramétrique : (∆) : { x = 2 + t / (t ∈ ℝ) et y = − 1 + t / (t ∈ ℝ) .
- Déterminer les coordonnées de u vecteur directeur de la droite (∆).
- Montrer que (∆) et (D) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection.
- Tracer (∆) dans le repère (O , i , j).
Exercice 2
Soit m un réel et (dm) la droite d’équation (m + 3)x + (2m − 1)y + m = 0.
- Déterminer un vecteur directeur de (dm) en fonction de m.
- Déterminer l’ensemble des valeurs de m telles que (dm) est parallèle à la droite (d) d’équation 4x − 9y + 2 = 0.
- Est-il possible de trouver des valeurs de m telles que (dm) passe par le point de coordonnées A(1, 1) ?
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Correction du devoir
Exercice 1
Le plan (P) muni d’un repère orthonormé (O, i , j). On considère les points A(3, 0) , B(0, 4).
- Montrons que : 4x + 3y − 12 = 0 est une équation cartésienne de la droite (D) passant par A et B :
Soit M(x, y) un point du plan.
M ∈ (D) signifie que les vecteurs AM et AB sont colinéaires, c’est-à-dire det (AM, AB) = 0 et comme AM(x − 3, y) et AB(−3, 4). Donc
det (AM, AB) = 0
éq : 4(x − 3) + 3y = 0
éq : 4x+ 3y − 12 = 0
D’où l’équation cartésienne de la droite (D) est : 4x + 3y − 12 = 0.
2. On trace la droite (D) dans le repère (O , i , j) :
∎ On cherche l’équation réduite de (D) :
4x + 3y − 12 = 0
éq : 3y = −4x + 12
éq : y = −4/3x + 12/3
éq : y = −4/3x + 4
3. On considère la droite (∆) définie par sa représentation paramétrique : (∆) : { x = 2 + t / (t ∈ ℝ) et y = − 1 + t / (t ∈ ℝ) .
a) D’après la représentation paramétrique on déduit que u(1, 1) est un vecteur directeur de la droite (∆).
b) Montrons que (D) et (∆) sont sécantes.
On a u(1, 1) est un vecteur directeur de la droite (∆) et v(−3, 4) est un vecteur directeur de al droite (D). Calculons det (u, v) :
det (u , v) = 4 − (−3) × 1 = 4 + 3 = 7 ≠ 0
d’où les droites (D) et (∆) sont sécantes.
∎ Notons M(x, y) le point d’intersection des droites (D) et (∆).
On cherche d’abord l’équation cartésienne de la droite (∆).
Soit t ∈ ℝ.
{ x = 2 + t et y = −1 + t
éq : { x − 2 = t et y + 1 = t
donc on obtient : x − 2 = y + 1 (On écrit cette équation sous la forme ax + by + c = 0).
x − 2 = y + 1
éq : x − y − 2 − 1 = 0
éq : x − y − 3 = 0
d’où l’équation cartésienne de la droite (∆) est : x − y − 3 = 0.
D’autre part, on a
M(x, y) ∈ (D) ∩ (∆) éq : { 4x + 3y − 12 = 0 et x − y − 3 = 0
éq : { x − y − 3 = 0 et 4x + 3y − 12 = 0
éq : { x = y + 3 (1) et 4x + 3y − 12 = 0 (2)
On remplace x dans la 2ème équation on obtient :
4(y + 3) + 3y − 12 = 0
éq : 4y + 12 + 3y − 12 = 0
éq : 7y = 0
éq : y = 0
On remplace y par 0 dans la 1ère équation
x = y + 3 éq : x = 0 + 3 = 3
Donc
(D) ∩ (∆) = {M(3, 0)}
c) Voir la figure de la question 2/.
Exercice 2
Soit m un réel et (dm) la droite d’équation : (m + 3)x + (2m − 1)y + m = 0.
- On cherche un vecteur directeur de (dm).
Le vecteur u(−(2m −1), m + 3) est un vecteur directeur de la droite (dm).
2. On cherche l’ensemble des valeurs m telles que : (dm) ∥ (d) :
Soit m ∈ ℝ.
(dm) // (d) éq : det (u, v) = 0 / v(9, 4) vecteur directeur de (d)
éq : −4(2m − 1) −9(m + 3) = 0
éq : −8m + 4 − 9m − 27 = 0
éq : −17m − 23 = 0
éq : m = −23/17
donc pour que (dm) soit parallèles à (d) il faut, et il suffit que m = −23/17 . Autrement dit l’ensemble des valeurs m telles que (dm) soit parallèles à (d) est : {−23/17} .
3. Soit m ∈ ℝ.
A(1, 1) ∊ (dm) éq : (m + 3) × 1 + (2m − 1) × 1 + m = 0
éq : m + 3 + 2m − 1 + m = 0
éq : 4m + 2 = 0
éq : m = −2/4
éq : m = −1/2
donc pour que A(1, 1) ∈ (dm) il faut et il suffit que m = −1/2.
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