Droite dans le plan tronc commun exercices corrigés

La droite dans le plan tronc commun exercices corrigés. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (la droite dans le plan tronc commun exercices corrigés)

Dans le plan (P) rapporté à un repère orthonormé (O , i , j) , on considère les points suivants :

A(−1, 2) , B(5, −2) , C(6, 3) et E(−2, −3).

1. Soit (∆) la droite passant par A et de vecteur directeur u(3, −2).

a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (∆).

b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆).

c) Montrer que B ∈ (∆).

d) Déterminer les coordonnées de F point d’intersection de (∆) avec l’axe des ordonnées.

2. Soit (D) la droite dont la représentation paramétrique est : { x = 8t − 2 / (t ∈ ℝ) et y = 6t − 3 / (t ∈ ℝ) .

a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (D).

b) Montrer que les droites (D) et (∆) sont sécantes, puis déterminer leurs points d’intersection.

c) Tracer dans le repère orthonormé (O , i , j) les droites (D) et (∆).

Exercice 2 (la droite dans le plan tronc commun exercices corrigés)

Dans le plan (P) muni d’un repère orthonormé (O , i , j) on considère les points : A(−1, 2), B(4, 4) et C(2, −1).

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB et BC. Que peut-on conclure pour les points A, B et C.
2. Montrer que le triangle ABC est isocèle.
3. Soit (∆) la droite définie par : (∆) : x − 5/2y − 9/2 = 0.
   1. Montrer que : C ∈ (∆).
   2. Déterminer l’équation réduite de (∆).
   3. Déterminer l’équation réduite de la droite (∆′) passant par A et perpendiculaire à (∆).
4. Soit (D) la droite définie par : { x = 2t − 3 / (t ∈ ℝ) et y = 3t − 3 / (t ∈ ℝ) .
   1. Déterminer l’équation cartésienne de la droite (D).
   2. Montrer que (∆) et (D) sont sécantes.
   3. Tracer A, B, C, (∆), (∆′) et (D) dans le repère (O, i , j).

Exercice 3

On considère les points : A(−2, 1) et B(2, 4).

1. Donner l’équation cartésienne de la droite (D) passant par A et de vecteur directeur u(5, 2).
2. Soit m un réel et (D_m) la droite d’équation (m − 1)x − 2my + 3 = 0.

Soit (D′) la droite définie par l’équation cartésienne suivante : −2/3x + y − 1/3 = 0.

a) Donner la valeur de m pour que (D_m) soit parallèle à (D′).

b) Donner la valeur de m pour que B soit un point de (D_m).

c) Montrer que tous les droites (D_m) passent par un point fixe E, dont vous déterminez les coordonnées.

Exercice 4

Dans le plan (P) muni d’un repère orthonormé (O , i , j) on considère les points : K(1, 1/2), M(a, 0) tel que a ∈ ℝ.

1. Déterminer en fonction de a les coordonnées des vecteurs MK et JM.
2. Montrer que les points J, M et K sont alignés si et seulement si a = 2.

a) Déterminer les valeurs de a pour que le triangle JMK soit rectangle en K.

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Correction de la série

Exercice 1

Dans le plan (P) rapporté à un repère orthonormé (O, i, j), on considère les points :

A(−1, 2) , B(5, −2) , C(6, 3) et E(−2, −3).

1. Soit (∆) la droite passant par A et de vecteur directeur u(3, −2).

a) On cherche une équation cartésienne de la droite (∆).

Soit M(x, y) un point du plan.

M ∈ (∆) ceci signifie que les vecteurs AM et u sont colinéaires c’est-à-dire det(AM, u) = 0 et comme AM(x + 1, y − 2) et u( 3, −2) . Donc

det(AM, u) = 0

eq : −2(x + 1) −3(y − 2) = 0

eq : −2x − 2 − 3y + 6 = 0

eq : −2x −3y + 4 = 0

D’où l’équation cartésienne de la droite (∆) est : −2x − 3y + 4 = 0.

b) On cherche une représentation paramétrique de (∆) :

La droite (∆) passe par le point A(−1, 2) et de vecteur directeur u donc une représentation paramétrique de (∆) est : { x = −1 + 3t / (t ∈ ℝ) et y = 2t − 2 / (t ∈ ℝ) .

c) Montrons que B ∈ (∆).

On a B(5, −2) alors

−2x_B − 3y_B + 4 = −2 × 5 − 3 × (−2) + 4

= −10 + 6 + 4

= −10 + 10 = 0

donc (B) ∈ (∆).

d) On cherche F le point d’intersection de (∆) avec (OY).

F(x, y) ∈ (∆) ∩ (OY) eq : { −2x − 3y + 4 = 0 et x = 0

eq : { −3y + 4 = 0 et x = 0

eq : { y = 4/3 et x = 0

Donc

(∆) ∩ (OY) = {F(0, 4/3)} 

2. Soit (D) la droite dont la représentation paramétrique est : { x = 8t − 2 / (t ∈ ℝ) et y = 6t − 3 / (t ∈ ℝ) .

a) On cherche une équation cartésienne de la droite (D).

Soit t ∈ ℝ.

On a

{ x = 8t − 2 et y = 6t − 3 ⇔  { x + 2 = 8t et y + 3 = 6t

⇔ { x+2/8 = t et y+3/6 = t

donc on obtient x+2/8 = y+3/6. (On écrit cette équation sous la forme ax + by + c = 0).

x+2/8 = y+3/6 éq : 3(x+2)/24 = 4(y + 3)/24 éq : 3x + 6 = 4y + 12 éq : 3x − 4y − 6 = 0

d’où l’équation cartésienne de la droite (D) est : 3x − 4y − 6 = 0.

b) Montrons que les droites (D) et (∆) sont sécantes.

On a u(3, −2) est un vecteur directeur de la droite (∆) et v(4, 3) est un vecteur directeur de la droite (D). Calculons det (u, v).

det (u, v) = 9 +8 = 17 ≠ 0

ceci signifie que les droites (D) et (∆) sont sécantes.

∎ Notons M le point d’intersection des droites (D) et (∆).

M(x, y) ∊ (D) ∩ (∆) éq : { 3x − 4y − 6 = 0 et −2x − 3y + 4 = 0

éq : { 6x − 8y − 12 = 0 (1) et −6x − 9y + 12 = 0 (2)

on fait la somme des équations (1) et (2) on obtient

(6x − 8y − 12) + (−6x −9y + 12) = 0 éq : −17y = 0 éq : y = 0

d’où

3x − 4y − 6 = 0 éq : 3x − 6 = 0 éq : x = 2

donc

(D) ∩ (∆) = {M(2, 0)} 

c) On trace dans le repère (O , i , j) les droites (D) et (∆).

∎ L’équation réduite de la droite (∆) :

−2x − 3y + 4 = 0 ⇔  −3y = 2x − 4 ⇔  y = −2/3x + 4/3

∎ L’équation réduite de la droite (D) :

3x − 4y − 6 = 0 ⇔  −4y = −3x + 6 ⇔ y = 3/4x − 6/4

Exercice 2

Dans le plan (P) muni d’un repère orthonormé (O , i , j) on considère les points A(−1, 2), B(4, 4) et C(2, −1).

1. On cherche les coordonnées des vecteurs AB et BC.

On a AB(x_B − x_A, y_B − y_A) c’est-à-dire AB(4 +1, 4 − 2) donc AB(5, 2). De même on a BC(x_C − x_B, y_C − y_B) c’est-à-dire BC(2 − 4, −1 − 4) donc BC(−2, −5). Calculons det (AB, BC).

det (AB, BC) = −15 + 8 = −7 ≠ 0

ceci signifie que les vecteurs AB et BC ne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Montrons que le triangle ABC est isocèle.

On a AB = √5²+2² = √25+4 = √29 et BC = √(−2)²+(−5)² = √29. ce qui signifie que AB = BC donc le triangle ABC est isocèle.

3. Soit (∆) la droite définie par : (∆) : x − 5/2y − 9/2 = 0

a) Montrons que C ∈ (∆).

x_C − 5/2y_C − 9/2 = 2 − 5/2 × (−1) − 9/2 = 0

donc C ∈ (∆).

b) L’équation réduite de (∆) :

x − 5/2y − 9/2 = 0 ⇔ −5/2y = − x + 9/2 ⇔ y = 2/5x − 9/2 × 2/5 ⇔ y = 2/5x − 9/5

c) On cherche l’équation réduite de la droite (∆′).

L’équation réduite de la droite (∆′) s’écrit sous la forme y = mx + p.

Comme les droites (∆) et (∆′) sont perpendiculaires, donc

m × 2/5 = − 1 éq : m = −1/2/5 = −5/2

d’où

(∆′) : y = −5/2x + p

on a A ∈ (∆′) alors : p = y_A + 5/2x_A = 2 + 5/2 × (−1) = −1/2. Donc

(∆′) : y = −5/2x − 1/2

4. Soit (D) la droite définie par : { x = 2t − 3 / (t ∈ ℝ) et y = 3t − 3 / (t ∈ ℝ) .

a) L’équation cartésienne de la droite (D) .

Soit t ∈ ℝ.

On a

{ x = 2t − 3 et y = 3t − 3 éq : { x + 3 = 2t et y + 3 = 3t

éq : { x+3/2 = t et y+3/3 = t

donc on obtient x+3/2 = y+3/3. (On écrit cette équation sous la forme ax + by + c = 0).

x+3/2 = y+3/3 éq : 3(x+3)/6 = 2(y+3)/6 éq : 3(x + 3) = 2(y + 3) éq : 3x − 2y + 3 = 0

d’où l’équation cartésienne de la droite (D) est : 3x − 2y + 3 = 0.

b) Montrons que les droites (∆) et (D) sont sécantes.

On a u(5/2, 1) est un vecteur directeur de la droite (∆) et v(2, 3) est un vecteur directeur de la droite (D). Calculons det (u, v).

det (u, v) = 5/2 × 3 − 2 × 1 = 11/2 ≠ 0

Donc les droites (∆) et (D) sont sécantes.

Exercice 3

On considère les pointes : A(−2, 1) et B(2, 4).

1. On cherche une équation cartésienne de (D).

Soit M(x, y) un point du plan.

M ∈ (∆) ceci signifie que les vecteurs AM et u sont colinéaires c’est-à-dire det (AM, u) = 0 et comme AM(x + 2, y − 1) et u (5, 2). Donc

det (AM, u) = 0

eq : 2(x + 2) − 5(y − 1) = 0

eq : 2x + 4 − 5y + 5 = 0

eq : 2x − 5y + 9 = 0

D’où l’équation cartésienne de la droite (D) est : 2x − 5y + 9 = 0.

2. Soit m un réel et (D_m) la droite d’équation : (D_m) : (m − 1)x − 2my + 3 = 0.

a) On cherche la valeur de m pour que (D_m) ∥ (D′) :

Soit m ∈ ℝ.

On a u( 2m, (m − 1)) est un vecteur directeur de (D_m). v(−1, −2/3) est un vecteur de la droite (D′).

(D_m) // (D′) éq : det (u , v) = 0

éq : 2m × (−2/3) − (−1) × (m − 1) = 0

éq : −4m/3 + m − 1 = 0

éq : −m/3 − 1 = 0

éq : −m−3/3 = 0

éq : m = − 3

Pour que (D_m) soit parallèle à la droite (D′) il faut que m = − 3.

b) On cherche la valeur de m pour que B ∈ (D_m) :

Soit m ∈ ℝ.

B ∊ (D_m) éq : (m − 1) × 2 − 2m × 4 + 3 = 0

éq : 2m − 2 − 8m + 3 = 0

éq : −6m + 1= 0

éq : m = 1/6

Pour que B soit un point de (D_m) il faut que m = 1/6 .

c) Montrons que tous les droites (D_m) passant par un point fixe.

Soit m ∈ ℝ.

E(x, y) ∊ (D_m) éq : (m − 1)x − 2my + 3 = 0

éq : mx − x − 2my + 3 = 0

éq : m(x − 2y) + 3 − x = 0

éq : { x − 2y = 0 et 3 − x = 0

éq : { x = 2y et x = 3

éq : { y = x/2 et x = 3

éq : { y = 3/2 et x = 3

Donc toutes les droites (D_m) passent par un point fixe E(3, 3/2).

Exercice 4

Dans le plan (P) muni d’un repère orthonormé (O , i , j) on considère les points :

K(1, 1/2), M(a, 0) tel que : a ∈ ℝ.

1. a) On cherche les coordonnées des vecteurs MK et JM.

On a MK(x_K − x_M, y_K − y_M) et JM(x_M − x_J, y_M − y_J) c’est-à-dire MK(1 − a, 1/2) et JM(a, −1).

b) Montrons que les points J, M et K sont alignés si et seulement si a = 2.

Les points J, M et K sont alignés si et seulement si les vecteurs MK et JM sont colinéaires si et seulement si det (MK, JM) = 0.

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Vous pouvez aussi consulter :

• La droite dans le plan tronc commun
• La projection dans le plan exercices corrigés