Droite dans le plan tronc commun exercices corrigés

Droite dans le plan tronc commun exercices corrigés

La droite dans le plan tronc commun exercices corrigés. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (la droite dans le plan tronc commun exercices corrigés)

Dans le plan (P) rapporté à un repère orthonormé (O , i , j) , on considère les points suivants :

A(−1, 2) , B(5, −2) , C(6, 3) et E(−2, −3).

  1. Soit (∆) la droite passant par A et de vecteur directeur u(3, −2).

a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (∆).

b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆).

c) Montrer que B ∈ (∆).

d) Déterminer les coordonnées de F point d’intersection de (∆) avec l’axe des ordonnées.

2. Soit (D) la droite dont la représentation paramétrique est : { x = 8t − 2 / (t) et y = 6t − 3 / (t) .

a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (D).

b) Montrer que les droites (D) et (∆) sont sécantes, puis déterminer leurs points d’intersection.

c) Tracer dans le repère orthonormé (O , i , j) les droites (D) et (∆).

Exercice 2 (la droite dans le plan tronc commun exercices corrigés)

Dans le plan (P) muni d’un repère orthonormé (O , i , j) on considère les points : A(−1, 2), B(4, 4) et C(2, −1).

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB et BC. Que peut-on conclure pour les points A, B et C.
  2. Montrer que le triangle ABC est isocèle.
  3. Soit (∆) la droite définie par : (∆) : x − 5/2y − 9/2 = 0.
    1. Montrer que : C ∈ (∆).
    2. Déterminer l’équation réduite de (∆).
    3. Déterminer l’équation réduite de la droite (∆′) passant par A et perpendiculaire à (∆).
  4. Soit (D) la droite définie par : { x = 2t − 3 / (t) et y = 3t − 3 / (t ) .
    1. Déterminer l’équation cartésienne de la droite (D).
    2. Montrer que (∆) et (D) sont sécantes.
    3. Tracer A, B, C, (∆), (∆′) et (D) dans le repère (O, i , j).
Exercice 3

On considère les points : A(−2, 1) et B(2, 4).

  1. Donner l’équation cartésienne de la droite (D) passant par A et de vecteur directeur u(5, 2).
  2. Soit m un réel et (Dm) la droite d’équation (m − 1)x − 2my + 3 = 0.

Soit (D′) la droite définie par l’équation cartésienne suivante : −2/3x + y − 1/3 = 0.

a) Donner la valeur de m pour que (Dm) soit parallèle à (D′).

b) Donner la valeur de m pour que B soit un point de (Dm).

c) Montrer que tous les droites (Dm) passent par un point fixe E, dont vous déterminez les coordonnées.

Exercice 4

Dans le plan (P) muni d’un repère orthonormé (O , i , j) on considère les points : K(1, 1/2), M(a, 0) tel que a.

    1. Déterminer en fonction de a les coordonnées des vecteurs MK et JM.
    2. Montrer que les points J, M et K sont alignés si et seulement si a = 2.
  1. On suppose que a ≠ 2.

a) Déterminer les valeurs de a pour que le triangle JMK soit rectangle en K.

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Correction de la série

Exercice 1

Dans le plan (P) rapporté à un repère orthonormé (O, i, j), on considère les points :

A(−1, 2) , B(5, −2) , C(6, 3) et E(−2, −3).

  1. Soit (∆) la droite passant par A et de vecteur directeur u(3, −2).

a) On cherche une équation cartésienne de la droite (∆).

Soit M(x, y) un point du plan.

M ∈ (∆) ceci signifie que les vecteurs AM et u sont colinéaires c’est-à-dire det(AM, u) = 0 et comme AM(x + 1, y − 2) et u( 3, −2) . Donc

det(AM, u) = 0

eq : −2(x + 1) −3(y − 2) = 0

eq : −2x − 2 − 3y + 6 = 0

eq : −2x −3y + 4 = 0

D’où l’équation cartésienne de la droite (∆) est : −2x − 3y + 4 = 0.

b) On cherche une représentation paramétrique de (∆) :

La droite (∆) passe par le point A(−1, 2) et de vecteur directeur u donc une représentation paramétrique de (∆) est : { x = −1 + 3t / (t) et y = 2t − 2 / (t ) .

c) Montrons que B ∈ (∆).

On a B(5, −2) alors

−2xB − 3yB + 4 = −2 × 5 − 3 × (−2) + 4

= −10 + 6 + 4

= −10 + 10 = 0

donc (B) ∈ (∆).

d) On cherche F le point d’intersection de (∆) avec (OY).

F(x, y) ∈ (∆) ∩ (OY) eq : { −2x − 3y + 4 = 0 et x = 0

eq : { −3y + 4 = 0 et x = 0

eq : { y = 4/3 et x = 0

Donc

(∆) ∩ (OY) = {F(0, 4/3)} 

2. Soit (D) la droite dont la représentation paramétrique est : { x = 8t − 2 / (t ) et y = 6t − 3 / (t) .

a) On cherche une équation cartésienne de la droite (D).

Soit t.

On a

{ x = 8t − 2 et y = 6t − 3 ⇔  { x + 2 = 8t et y + 3 = 6t

⇔ { x+2/8 = t et y+3/6 = t

donc on obtient x+2/8 = y+3/6. (On écrit cette équation sous la forme ax + by + c = 0).

x+2/8 = y+3/6 éq : 3(x+2)/24 = 4(y + 3)/24 éq : 3x + 6 = 4y + 12 éq : 3x − 4y − 6 = 0

d’où l’équation cartésienne de la droite (D) est : 3x − 4y − 6 = 0.

b) Montrons que les droites (D) et (∆) sont sécantes.

On a u(3, −2) est un vecteur directeur de la droite (∆) et v(4, 3) est un vecteur directeur de la droite (D). Calculons det (u, v).

det (u, v) = 9 +8 = 17 ≠ 0

ceci signifie que les droites (D) et (∆) sont sécantes.

∎ Notons M le point d’intersection des droites (D) et (∆).

M(x, y) ∊ (D) ∩ (∆) éq : { 3x − 4y − 6 = 0 et −2x − 3y + 4 = 0

éq : { 6x − 8y − 12 = 0 (1) et −6x − 9y + 12 = 0 (2)

on fait la somme des équations (1) et (2) on obtient

(6x − 8y − 12) + (−6x −9y + 12) = 0 éq : −17y = 0 éq : y = 0

d’où

3x − 4y − 6 = 0 éq : 3x − 6 = 0 éq : x = 2

donc

(D) ∩ (∆) = {M(2, 0)} 

c) On trace dans le repère (O , i , j) les droites (D) et (∆).

∎ L’équation réduite de la droite (∆) :

−2x − 3y + 4 = 0 ⇔  −3y = 2x − 4 ⇔  y = −2/3x + 4/3

∎ L’équation réduite de la droite (D) :

3x − 4y − 6 = 0 ⇔  −4y = −3x + 6 y = 3/4x − 6/4

Exercice 2

Dans le plan (P) muni d’un repère orthonormé (O , i , j) on considère les points A(−1, 2), B(4, 4) et C(2, −1).

  1. On cherche les coordonnées des vecteurs AB et BC.

On a AB(xB − xA, yB − yA) c’est-à-dire AB(4 +1, 4 − 2) donc AB(5, 2). De même on a BC(xC − xB, yC − yB) c’est-à-dire BC(2 − 4, −1 − 4) donc BC(−2, −5). Calculons det (AB, BC).

det (AB, BC) = −15 + 8 = −7 ≠ 0

ceci signifie que les vecteurs AB et BC ne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Montrons que le triangle ABC est isocèle.

On a AB = √52+22 = √25+4 = √29 et BC = √(−2)2+(−5)2 = √29. ce qui signifie que AB = BC donc le triangle ABC est isocèle.

3. Soit (∆) la droite définie par : (∆) : x − 5/2y − 9/2 = 0

a) Montrons que C ∈ (∆).

xC − 5/2yC − 9/2 = 2 − 5/2 × (−1) − 9/2 = 0

donc C ∈ (∆).

b) L’équation réduite de (∆) :

x − 5/2y − 9/2 = 0 ⇔ −5/2y = − x + 9/2 ⇔ y = 2/5x − 9/2 × 2/5 ⇔ y = 2/5x − 9/5

c) On cherche l’équation réduite de la droite (∆′).

L’équation réduite de la droite (∆′) s’écrit sous la forme y = mx + p.

Comme les droites (∆) et (∆′) sont perpendiculaires, donc

m × 2/5 = − 1 éq : m = −1/2/5 = −5/2

d’où

(∆′) : y = −5/2x + p

on a A ∈ (∆′) alors : p = yA + 5/2xA = 2 + 5/2 × (−1) = −1/2. Donc

(∆′) : y = −5/2x − 1/2

4. Soit (D) la droite définie par : { x = 2t − 3 / (t) et y = 3t − 3 / (t ) .

a) L’équation cartésienne de la droite (D) .

Soit t.

On a

{ x = 2t − 3 et y = 3t − 3 éq : { x + 3 = 2t et y + 3 = 3t

éq : { x+3/2 = t et y+3/3 = t

donc on obtient x+3/2 = y+3/3. (On écrit cette équation sous la forme ax + by + c = 0).

x+3/2 = y+3/3 éq : 3(x+3)/6 = 2(y+3)/6 éq : 3(x + 3) = 2(y + 3) éq : 3x − 2y + 3 = 0

d’où l’équation cartésienne de la droite (D) est : 3x − 2y + 3 = 0.

b) Montrons que les droites (∆) et (D) sont sécantes.

On a u(5/2, 1) est un vecteur directeur de la droite (∆) et v(2, 3) est un vecteur directeur de la droite (D). Calculons det (u, v).

det (u, v) = 5/2 × 3 − 2 × 1 = 11/2 ≠ 0

Donc les droites (∆) et (D) sont sécantes.

Exercice 3

On considère les pointes : A(−2, 1) et B(2, 4).

  1. On cherche une équation cartésienne de (D).

Soit M(x, y) un point du plan.

M ∈ (∆) ceci signifie que les vecteurs AM et u sont colinéaires c’est-à-dire det (AM, u) = 0 et comme AM(x + 2, y − 1) et u (5, 2). Donc

det (AM, u) = 0

eq : 2(x + 2) − 5(y − 1) = 0

eq : 2x + 4 − 5y + 5 = 0

eq : 2x − 5y + 9 = 0

D’où l’équation cartésienne de la droite (D) est : 2x − 5y + 9 = 0.

2. Soit m un réel et (Dm) la droite d’équation : (Dm) : (m − 1)x − 2my + 3 = 0.

a) On cherche la valeur de m pour que (Dm) ∥ (D′) :

Soit m.

On a u( 2m, (m − 1)) est un vecteur directeur de (Dm). v(−1, −2/3) est un vecteur de la droite (D′).

(Dm) // (D′) éq : det (u , v) = 0

éq : 2m × (−2/3) − (−1) × (m − 1) = 0

éq : −4m/3 + m − 1 = 0

éq : −m/3 − 1 = 0

éq : −m−3/3 = 0

éq : m = − 3

Pour que (Dm) soit parallèle à la droite (D′) il faut que m = − 3.

b) On cherche la valeur de m pour que B ∈ (Dm) :

Soit m.

B ∊ (Dm) éq : (m − 1) × 2 − 2m × 4 + 3 = 0

éq : 2m − 2 − 8m + 3 = 0

éq : −6m + 1= 0

éq : m = 1/6

Pour que B soit un point de (Dm) il faut que m = 1/6 .

c) Montrons que tous les droites (Dm) passant par un point fixe.

Soit m.

E(x, y) ∊ (Dm) éq : (m − 1)x − 2my + 3 = 0

éq : mx − x − 2my + 3 = 0

éq : m(x − 2y) + 3 − x = 0

éq : { x − 2y = 0 et 3 − x = 0

éq : { x = 2y et x = 3

éq : { y = x/2 et x = 3

éq : { y = 3/2 et x = 3

Donc toutes les droites (Dm) passent par un point fixe E(3, 3/2).

Exercice 4

Dans le plan (P) muni d’un repère orthonormé (O , i , j) on considère les points :

K(1, 1/2), M(a, 0) tel que : a.

  1. a) On cherche les coordonnées des vecteurs MK et JM.

On a MK(xK − xM, yK − yM) et JM(xM − xJ, yM − yJ) c’est-à-dire MK(1 − a, 1/2) et JM(a, −1).

b) Montrons que les points J, M et K sont alignés si et seulement si a = 2.

Les points J, M et K sont alignés si et seulement si les vecteurs MK et JM sont colinéaires si et seulement si det (MK, JM) = 0.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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2 réflexions sur « Droite dans le plan tronc commun exercices corrigés »

  1. Bonsoir Monsieur ,
    Je suis très ravi de vous rencontrer et de lire vos exercices .Je compte rester en contact permanent avec vous pour améliorer mon niveau en maths cette année de la seconde jusqu’en deuxième année BTS finances comptabilité .M.Boni

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