Devoir surveillé arithmétique dans N et les ensembles

Devoir sur l’arithmétique dans N et les ensembles

Devoir surveillé sur l’arithmétique dans N et les ensembles. (Tronc commun scientifique/ 1ère année lycée)

Exercice 1 (6 pts)
  1. Donner un exemple d’un nombre premier. Est-ce que le nombre 409 est premier ?
  2. Décomposer en produit des facteurs premiers les nombres : 50400 et 12600.
  3. Déterminer : PGCD (50400, 12600) et PPCM (50400, 12600) .
  4. Simplifier : √50400 , √12600 et 50400/12600 .
  5. Déduire que √50400×12600.
Exercice 2 (6 pts)
  1. Soit n.
    1. Montrer que le nombre n2 + n + 4 est pair.
    2. En déduire que si m est un entier impair alors 8 divise m2 + 15.
  2. Soit n, on pose a = 5n+2 − 5n et b = 4500.
    1. Montrer que 6 divise a.
    2. Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
    3. Déterminer PGCD (a, b) et PPCM (a, b) suivant la valeur de n.
Exercice 3 (8 pts)
  1. Recopier et Compléter par : ∈, ∉ . −4 , 91 , 1/√2 , √2
  2. Simplifier : A = 2+1/4/3−1/4 × 1+2/5/4/5−2 × 2/3−1/6/2−1/6 et B = 7×(0,01)3×(0,6)2/122×1002×25−1 .
  3. Soit x un nombre réel tel que : x = 2 + √5. Vérifier que : x + 1/x = 2√5.
  4. Soit a et b deux réels tels que : 0 < ba et A = √a+√a2−b2 + √a−√a2−b2.
    1. Calculer A2.
    2. Déduire la valeur de A.
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Correction du devoir surveillé

Exercice 1
  1. Le nombre 2 est premier. Vérifions que : 409 est premier.

∎ Calculons √409. On a √40920,22.

∎ Les nombres premiers inférieurs à 409 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

∎ aucune de ces nombres ne divise 409.

Donc 409 est premier.

2. On décompose 50400 et 12600.

On a : 50400 = 25 × 32 × 52 × 7 et 12600 = 23 × 32 × 52 × 7

3. On cherche PGCD (50400, 12600) et PPCM (50400, 12600)

PGCD (50400, 12600) = 23 × 32 × 52 × 7 = 12600 et PPCM (50400, 12600) = 25 × 32 × 52 × 7 = 50400

4. Simplifions : √12600 , √50400 et 50400/12600

√50400 = √25×32×52×7

= √2×24×32×52×7

= √(22)2×32×52×2×7

= √(22)2×32×52 × √2×7

= 4 × 3 × 5 × √14

= 60√14

√12600 = √23×32×52×7

= √22×32×52×2×7

= √22×32×52 × √2×7

= 2 × 3 × 5 × √14

= 30√14

50400/12600 = 25×32×52×7/23×32×52×7

= 22/1

= 4

5. Montrons que : √12600×50400.

√12600×50400 = √12600 × √50400

= 30√14 × 60√14

= 30 × 60 × 14

= 25200

Donc

√12600×50400

Exercice 2
  1. Soit n.

a) Montrons que n2 + n + 4 est pair.

∎ Si n est pair alors il existe k tel que n = 2k.

donc

n2 + n + 4 = 4k2 + 2k + 4 = 2(2k2 + 2k + 2 )

d’où n2 + n + 4 est pair.

∎ Si n est impair alors il existe k tel que n = 2k + 1.

donc

n2 + n + 4 = (2k + 1)2 + 2k + 1 + 4

= 4k2 + 4k + 1 + 2k + 1 + 4

= 4k2 + 6k + 6

= 2(2k2 + 3k + 3)

d’où n2 + n + 4 est pair.

Dans tous les cas on en déduit que n2 + n + 4 est pair.

b) On suppose que m est impair et on montre que m2 + 15 est divisible par 8.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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