Devoir surveillé sur l’arithmétique dans N et les ensembles. (Tronc commun scientifique)
Exercice 1 (6 pts)
- Donner un exemple d’un nombre premier. Est-ce que le nombre 409 est premier ?
- Décomposer en produit des facteurs premiers les nombres : 50400 et 12600.
- Déterminer : PGCD (50400, 12600) et PPCM (50400, 12600) .
- Simplifier : √50400 , √12600 et 50400/12600 .
- Déduire que √50400×12600 ∈ ℕ.
Exercice 2 (6 pts)
- Soit n ∈ ℕ.
- Montrer que le nombre n2 + n + 4 est pair.
- En déduire que si m est un entier impair alors 8 divise m2 + 15.
- Soit n ∈ ℕ, on pose a = 5n+2 − 5n et b = 4500.
- Montrer que 6 divise a.
- Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
- Déterminer PGCD (a, b) et PPCM (a, b) suivant la valeur de n.
Exercice 3 (8 pts)
- Recopier et Compléter par : ∈, ∉ . −4…ℕ , 91…ℤ , 1/√2…ℚ , √2…ℝ
- Simplifier : A = 2+1/4/3−1/4 × 1+2/5/4/5−2 × 2/3−1/6/2−1/6 et B = 7×(0,01)3×(0,6)2/122×1002×25−1 .
- Soit x un nombre réel tel que : x = 2 + √5. Vérifier que : x + 1/x = 2√5.
- Soit a et b deux réels tels que : 0 < b ≤ a et A = √a+√a2−b2 + √a−√a2−b2.
- Calculer A2.
- Déduire la valeur de A.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
- Le nombre 2 est premier. Vérifions que : 409 est premier.
∎ Calculons √409. On a √409 ∼ 20,22.
∎ Les nombres premiers inférieurs à 409 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
∎ aucune de ces nombres ne divise 409.
Donc 409 est premier.
2. On décompose 50400 et 12600.
On a : 50400 = 25 × 32 × 52 × 7 et 12600 = 23 × 32 × 52 × 7
3. On cherche PGCD (50400, 12600) et PPCM (50400, 12600)
PGCD (50400, 12600) = 23 × 32 × 52 × 7 = 12600 et PPCM (50400, 12600) = 25 × 32 × 52 × 7 = 50400
4. Simplifions : √12600 , √50400 et 50400/12600
∎
√50400 = √25×32×52×7
= √2×24×32×52×7
= √(22)2×32×52×2×7
= √(22)2×32×52 × √2×7
= 4 × 3 × 5 × √14
= 60√14
∎
√12600 = √23×32×52×7
= √22×32×52×2×7
= √22×32×52 × √2×7
= 2 × 3 × 5 × √14
= 30√14
∎
50400/12600 = 25×32×52×7/23×32×52×7
= 22/1
= 4
5. Montrons que : √12600×50400 ∈ ℕ.
√12600×50400 = √12600 × √50400
= 30√14 × 60√14
= 30 × 60 × 14
= 25200 ∈ ℕ
Donc
√12600×50400 ∈ ℕ
Exercice 2
- Soit n ∈ ℕ.
a) Montrons que n2 + n + 4 est pair.
∎ Si n est pair alors il existe k ∈ ℕ tel que n = 2k.
donc
n2 + n + 4 = 4k2 + 2k + 4 = 2(2k2 + 2k + 2∈ℕ )
d’où n2 + n + 4 est pair.
∎ Si n est impair alors il existe k ∈ ℕ tel que n = 2k + 1.
donc
n2 + n + 4 = (2k + 1)2 + 2k + 1 + 4
= 4k2 + 4k + 1 + 2k + 1 + 4
= 4k2 + 6k + 6
= 2(2k2 + 3k + 3∈ℕ)
d’où n2 + n + 4 est pair.
Dans tous les cas on en déduit que n2 + n + 4 est pair.
b) On suppose que m est impair et on montre que m2 + 15 est divisible par 8.
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