par Le calcul vectoriel dans le plan exercices corrigés tronc commun. (Tronc commun scientifique/ 1ère année lycée)
Exercice 1 (Calcul vectoriel exercices corrigés tronc commun)
Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points du plan tels que : DE = 5/2DA et DF = 5/3DC.
- Montrer que : BE = 3/2DA − AB et BF = 2/3DC + BC.
- Exprimer les vecteurs BE et BF en fonction de AB et BC.
- Montrer que : 2BE = 3FB, puis déduire que les points B, E et F sont alignés.
Exercice 2
Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points tels que : CE = 1/3CD et AF = 3/2AE.
- Montrer que : FE = 1/3FA.
- Montrer que : FC = 1/3FB.
Exercice 3
Soit ABC un triangle I, J et K trois points tels que : AI = 2/3AB , BJ = 1/2BC et AK = 2AC.
- Tracer les points I, J et K.
- Montrer que : IJ = 1/2BC + 1/3AB.
- Montrer que : JK = 3/2BC + AB.
- Que peut-on conclure pour les points J, K et I ?
Exercice 4
Soit ABC un triangle et I et J deux points du plan tels que : AI = 1/3AC et BJ = −BC.
- a) Montrer que : AJ = 2AB − AC.
b) Déduire que : IJ = 2AB − 4/3AC.
2. Soit K un point défini par : AK = −AB + AC.
a) Montrer que : IK = −AB + 2/3AC.
b) Déduire que les points I, J et K sont alignés.
Exercice 5 (Calcul vectoriel exercices corrigés tronc commun)
Soit ABC un triangle et P et Q deux points tels que : AP = 5/2AC + 3/2CB et CQ = −2AC + 1/2AB.
Montrer que B est milieu du segment [PQ].
Exercice 6
Soit ABC un triangle et k ∈ ℝ et E et F deux points du plan tels que :
AE = 3AB + (1 + k) AC et AF = (1 + k)AB + 3AC
- Montrer que les vecteurs EF et CB sont colinéaires pour tout k ∈ ℝ.
- Calculer la valeur de k si E = F.
- Calculer la valeur de k pour que le quadrilatère BCEF soit un parallélogramme.
Exercice 7
ABCD est un parallélogramme et E est le milieu de [BC] et F est le milieu de [CD].
Montrer que : AE + AF = 3/2AC.
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Correction de la série
Exercice 1
Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points du plan tels que : DE = 5/2DA et DF = 5/3DC.
- Montrons que : BE = 3/2DA − AB et BF = 2/3DC + BC.
∎
BE = BD + DE
= BD + 5/2DA
= −AB + AD + 5/2DA
= −AB − DA + 5/2DA
= −AB + DA(−1 + 5/2)
= −AB + 3/2DA
= 3/2DA − AB
∎
BF = BD + DF
= BC + CD + 5/3DC
= BC − DC + 5/3DC
= BC + DC(−1 +5/3)
= BC + 2/3DC
= 2/3DC + BC
2. Exprimons les vecteurs BE et BF en fonction de AB et BC.
On a BE = 3/2DA − AB, et comme ABCD est un parallélogramme alors DA = CB, donc
BE = 3/2CB − AB
= −3/2BC − AB
De même on a BF = 2/3DC + BC et comme ABCD est un parallélogramme alors DC = AB, donc
BF = 2/3AB + BC
3. Montrons que : 2BE = 3FB.
2BE = 2(−3/2BC − AB)
= −3BC −2AB
= 3(−BC −2/3AB)
comme FB = −BF = −2/3AB − BC, alors 2BE = 3FB donc
BE = 3/2FB
On en déduit que le vecteurs BE et FB sont colinéaires, ce qui signifie que les points B, E et F sont alignés.
Exercice 2
Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points du plan tels que : CE = 1/3CD et AF = 3/2AE.
- a) Montrons que : FE = 1/3FA.
FE = FA + AE
= −AF + AE
= −3/2AE + AE
= −1/2AE
= 1/3 × −3/2AE
= 1/3FA.
b) Montrons que : FC = 1/3FB.
FC = FE + EC
= 1/3FA − CE
= 1/3FA − 1/3CD
= 1/3(FA − CDCD=BA)
= 1/3(FA − BA)
= 1/3(FA + AB)
= 1/3FB.
2. Les vecteurs FC et FB sont colinéaires, ceci signifie que les points F, C et B sont alignés.
Exercice 3
Soit ABC un triangle I, J et K trois points tels que : AI = 2/3AB , BJ = 1/2BC et AK = 2AC.
2. Montrons que : IJ = 1/2BC + 1/3AB.
IJ = IA + AJ
= −AI + AB + BJ
= −2/3AB + AB + 1/2BC
= AB(−2/3 + 1) + 1/2BC
= 1/3AB + 1/2BC
= 1/2BC + 1/3AB.
3. Montrons que : JK = 3/2BC + AB.
JK = JA + AK
= JB + BA + 2AC
= −BJ − AB + 2AC
= −1/2BC − AB + 2(AB + BC)
= −1/2BC + 2BC − AB + 2AB
= 3/2BC + AB
4. On a
JK = 3/2BC + AB
= 3(1/2BC + 1/3AB)
= 3IJ
alors JK = 3IJ, donc les vecteurs JK et IJ sont colinéaires. Ce qui signifie que les points I, J et K sont alignés.
Exercice 4
Soit ABC un triangle I, J et K trois points tels que : AI = 1/3AC , BJ = −BC.
- a) Montrons que : AJ = 2AB − AC.
AJ = AB + BJ
= AB − BC
= AB + AB − AC
= 2AB − AC
b) On déduit que : IJ = 2AB − 4/3AC.
IJ = IA +AJ
= −AI + 2AB − AC
= −1/3AC + 2AB − AC
= −1/3AC − AC + 2AB
= 2AB − 4/3AC
2. Soit K un point défini par : AK = −AB + AC.
a) Montrons que : IK = −AB + 2/3AC.
IK = IA + AK
= −AI − AB + AC
= −1/3AC − AB + AC
= 2/3AC − AB
b) On a
IJ = 2AB − 4/3AC
= −2(−AB + 2/3AC)
= −2(2/3AC − AB)
= −2IK
ceci signifie que les vecteurs IJ et IK sont colinéaires. Donc les points I, J et K sont alignés.
Exercice 5
Montrons que B est milieu du segment [PQ].
Pour montrer que B est milieu de [PQ] il suffit de montrer que PB = BQ.
On a
PB = PA + AB
= −AP + AB
= −(5/2AC + 3/2CB) + AC + CB
= −5/2AC − 3/2CB + AC + CB
= −5/2AC + AC − 3/2CB + CB
= AC(−5/2 + 1) + CB(−3/2 + 1)
= −3/2AC − 1/2CB
D’autre part, on a
BQ = BC + CQ
= BC + (−2AC + 1/2AB)
= BA + AC −2AC + 1/2AB
= −AC + BA − 1/2BA
= −AC + BA(1 − 1/2)
= −AC + 1/2BA
= −AC + 1/2BA + 1/2CA
= −AC − 1/2AC + 1/2BC
= −3/2AC + 1/2BC
= −3/2AC − 1/2CB
ceci signifie que PB = BQ. Donc le point B est milieu de [PQ] .
Exercice 6
Soit ABC un triangle et k ∈ ℝ et E et F deux points du plan tels que :
AE = 3AB + (1 + k)AC et AF = (1 + k)AB + 3AC.
- Montrons que les vecteurs EF et CB sont colinéaires pour tout k ∈ ℝ.
Pour montrer que les vecteurs EF et CB sont colinéaires il suffit de montrer que EF = αCB avec α ∈ ℝ.
On a
EF = EA + AF
= −AE + (1 + k)AB + 3AC
= −(3AB + (1 + k)AC) + (1 + k)AB + 3AC
= −3AB − (1 + k)AC + (1 + k)AB + 3AC
= −3AB − AC −kAC + AB + kAB + 3AC
= −2AB + 2AC + k(−AC + AB)
= 2(BA + AC) + k(−AC + AB)
= 2BC + kCB
= (k − 2)CB
donc les vecteurs EF et CB sont colinéaires pour tout k ∈ ℝ.
2. Calculons le valeur de k si E = F.
Si E = F , alors EF = FF = 0, et on a EF = (k − 2)CB donc
(k − 2)CB = 0
Eq : k − 2 = 0 ou CB = 0impossible (C≠B)
Eq : k = 2
3. Calculons la valeur de k pour que BCEF soit parallélogramme.
BCEF est un parallélogramme si et seulement si EF = CB. Comme EF = (k − 2)CB
alors
CB = (k −2)CB
Eq : CB − (k − 2)CB = 0
Eq : CB(1 − k + 2) = 0
Eq : CB = 0impossible(C≠B) ou 1 − k + 2 = 0
Eq : −k + 3 = 0
Eq : k = 3
Exercice 7
ABCD est un parallélogramme et E est le milieu de [BC] et F est le milieu de [CD].
Montrons que : AE + AF = 3/2AC.
On a E est le milieu de [BC] et F est le milieu de [CD] c’est-à-dire BE = 1/2BC et CF = 1/2CD. Alors
AE + AF = (AB + BE) + (AC + CF)
= AB + AC + 1/2BC + 1/2CD
= AB + AC + 1/2(BC + CD)
= AB + AC + 1/2BD
= AB + AC + 1/2BA + 1/2AD
= AB + AC − 1/2AB + 1/2AD
= 1/2AB + AC + 1/2AD
= 1/2AB + AC + 1/2BC
= 1/2AB + AC + 1/2BA + 1/2AC
= 1/2AB − 1/2AB + AC(1 + 1/2)
= 3/2AC
Donc
AE + AF = 3/2AC.
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