Calcul vectoriel exercices corrigés tronc commun

Calcul vectoriel exercices corrigés tronc commun

Le calcul vectoriel dans le plan exercices corrigés tronc commun. (Tronc commun scientifique/ 1ère année lycée)

Exercice 1 (Calcul vectoriel exercices corrigés tronc commun)

Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points du plan tels que : DE = 5/2DA et DF = 5/3DC.

  1. Montrer que : BE = 3/2DA − AB et BF = 2/3DC + BC.
  2. Exprimer les vecteurs BE et BF en fonction de AB et BC.
  3. Montrer que : 2BE = 3FB, puis déduire que les points B, E et F sont alignés.

Exercice 2

Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points tels que : CE = 1/3CD et AF = 3/2AE.

    1. Montrer que : FE = 1/3FA.
    2. Montrer que : FC = 1/3FB.
  1. Déduire que les points B, C et F sont alignés.

Exercice 3

Soit ABC un triangle I, J et K trois points tels que : AI = 2/3AB , BJ = 1/2BC et AK = 2AC.

  1. Tracer les points I, J et K.
  2. Montrer que : IJ = 1/2BC + 1/3AB.
  3. Montrer que : JK = 3/2BC + AB.
  4. Que peut-on conclure pour les points J, K et I ?

Exercice 4

Soit ABC un triangle et I et J deux points du plan tels que : AI = 1/3AC et BJ = −BC.

  1. a) Montrer que : AJ = 2AB − AC.

b) Déduire que : IJ = 2AB − 4/3AC.

2. Soit K un point défini par : AK = −AB + AC.

a) Montrer que : IK = −AB + 2/3AC.

b) Déduire que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 5 (Calcul vectoriel exercices corrigés tronc commun)

Soit ABC un triangle et P et Q deux points tels que : AP = 5/2AC + 3/2CB et CQ = −2AC + 1/2AB.

Montrer que B est milieu du segment [PQ].

Exercice 6

Soit ABC un triangle et k et E et F deux points du plan tels que :

AE = 3AB + (1 + k) AC et AF = (1 + k)AB + 3AC

  1. Montrer que les vecteurs EF et CB sont colinéaires pour tout k.
  2. Calculer la valeur de k si E = F.
  3. Calculer la valeur de k pour que le quadrilatère BCEF soit un parallélogramme.

Exercice 7

ABCD est un parallélogramme et E est le milieu de [BC] et F est le milieu de [CD].

Montrer que : AE + AF = 3/2AC.

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Correction de la série

Exercice 1

Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points du plan tels que : DE = 5/2DA et DF = 5/3DC.

  1. Montrons que : BE = 3/2DA − AB et BF = 2/3DC + BC.

BE = BD + DE

= BD + 5/2DA

= −AB + AD + 5/2DA

= −AB − DA + 5/2DA

= −AB + DA(−1 + 5/2)

= −AB + 3/2DA

= 3/2DA − AB

BF = BD + DF

= BC + CD + 5/3DC

= BC − DC + 5/3DC

= BC + DC(−1 +5/3)

= BC + 2/3DC

= 2/3DC + BC

2. Exprimons les vecteurs BE et BF en fonction de AB et BC.

On a BE = 3/2DA − AB, et comme ABCD est un parallélogramme alors DA = CB, donc

BE = 3/2CB − AB

= −3/2BC − AB

De même on a BF = 2/3DC + BC et comme ABCD est un parallélogramme alors DC = AB, donc

BF = 2/3AB + BC

3. Montrons que : 2BE = 3FB.

2BE = 2(−3/2BC − AB)

= −3BC −2AB

= 3(−BC −2/3AB)

comme FB = −BF = −2/3AB − BC, alors 2BE = 3FB donc

BE = 3/2FB

On en déduit que le vecteurs BE et FB sont colinéaires, ce qui signifie que les points B, E et F sont alignés.

Exercice 2

Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points du plan tels que : CE = 1/3CD et AF = 3/2AE.

  1. a) Montrons que : FE = 1/3FA.

FE = FA + AE

= −AF + AE

= −3/2AE + AE

= −1/2AE

= 1/3 × −3/2AE

= 1/3FA.

b) Montrons que : FC = 1/3FB.

FC = FE + EC

= 1/3FA − CE

= 1/3FA − 1/3CD

= 1/3(FA − CDCD=BA)

= 1/3(FA − BA)

= 1/3(FA + AB)

= 1/3FB.

2. Les vecteurs FC et FB sont colinéaires, ceci signifie que les points F, C et B sont alignés.

Exercice 3

Soit ABC un triangle I, J et K trois points tels que : AI = 2/3AB , BJ = 1/2BC et AK = 2AC.

2. Montrons que : IJ = 1/2BC + 1/3AB.

IJ = IA + AJ

= −AI + AB + BJ

= −2/3AB + AB + 1/2BC

= AB(−2/3 + 1) + 1/2BC

= 1/3AB + 1/2BC

= 1/2BC + 1/3AB.

3. Montrons que : JK = 3/2BC + AB.

JK = JA + AK

= JB + BA + 2AC

= −BJ − AB + 2AC

= −1/2BC − AB + 2(AB + BC)

= −1/2BC + 2BC − AB + 2AB

= 3/2BC + AB

4. On a

JK = 3/2BC + AB

= 3(1/2BC + 1/3AB)

= 3IJ

alors JK = 3IJ, donc les vecteurs JK et IJ sont colinéaires. Ce qui signifie que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 4

Soit ABC un triangle I, J et K trois points tels que : AI = 1/3AC , BJ = −BC.

  1. a) Montrons que : AJ = 2AB − AC.

AJ = AB + BJ

= AB − BC

= AB + AB − AC

= 2AB − AC

b) On déduit que : IJ = 2AB − 4/3AC.

IJ = IA +AJ

= −AI + 2AB − AC

= −1/3AC + 2AB − AC

= −1/3AC − AC + 2AB

= 2AB − 4/3AC

2. Soit K un point défini par : AK = −AB + AC.

a) Montrons que : IK = −AB + 2/3AC.

IK = IA + AK

= −AI − AB + AC

= −1/3AC − AB + AC

= 2/3AC − AB

b) On a

IJ = 2AB − 4/3AC

= −2(−AB + 2/3AC)

= −2(2/3AC − AB)

= −2IK

ceci signifie que les vecteurs IJ et IK sont colinéaires. Donc les points I, J et K sont alignés.

Exercice 5

Montrons que B est milieu du segment [PQ].

Pour montrer que B est milieu de [PQ] il suffit de montrer que PB = BQ.

On a

PB = PA + AB

= −AP + AB

= −(5/2AC + 3/2CB) + AC + CB

= −5/2AC − 3/2CB + AC + CB

= −5/2AC + AC − 3/2CB + CB

= AC(−5/2 + 1) + CB(−3/2 + 1)

= −3/2AC − 1/2CB

D’autre part, on a

BQ = BC + CQ

= BC + (−2AC + 1/2AB)

= BA + AC −2AC + 1/2AB

= −AC + BA − 1/2BA

= −AC + BA(1 − 1/2)

= −AC + 1/2BA

= −AC + 1/2BA + 1/2CA

= −AC − 1/2AC + 1/2BC

= −3/2AC + 1/2BC

= −3/2AC − 1/2CB

ceci signifie que PB = BQ. Donc le point B est milieu de [PQ] .

Exercice 6

Soit ABC un triangle et k et E et F deux points du plan tels que :

AE = 3AB + (1 + k)AC et AF = (1 + k)AB + 3AC.

  1. Montrons que les vecteurs EF et CB sont colinéaires pour tout k.

Pour montrer que les vecteurs EF et CB sont colinéaires il suffit de montrer que EF = αCB avec α.

On a

EF = EA + AF

= −AE + (1 + k)AB + 3AC

= −(3AB + (1 + k)AC) + (1 + k)AB + 3AC

= −3AB − (1 + k)AC + (1 + k)AB + 3AC

= −3AB − AC −kAC + AB + kAB + 3AC

= −2AB + 2AC + k(−AC + AB)

= 2(BA + AC) + k(−AC + AB)

= 2BC + kCB

= (k − 2)CB

donc les vecteurs EF et CB sont colinéaires pour tout k .

2. Calculons le valeur de k si E = F.

Si E = F , alors EF = FF = 0, et on a EF = (k − 2)CB donc

(k − 2)CB = 0

Eq : k − 2 = 0 ou CB = 0impossible (C≠B)

Eq : k = 2

3. Calculons la valeur de k pour que BCEF soit parallélogramme.

BCEF est un parallélogramme si et seulement si EF = CB. Comme EF = (k − 2)CB

alors

CB = (k −2)CB

Eq : CB − (k − 2)CB = 0

Eq : CB(1 − k + 2) = 0

Eq : CB = 0impossible(C≠B) ou 1 − k + 2 = 0

Eq : −k + 3 = 0

Eq : k = 3

Exercice 7

ABCD est un parallélogramme et E est le milieu de [BC] et F est le milieu de [CD].

Montrons que : AE + AF = 3/2AC.

On a E est le milieu de [BC] et F est le milieu de [CD] c’est-à-dire BE = 1/2BC et CF = 1/2CD. Alors

AE + AF = (AB + BE) + (AC + CF)

= AB + AC + 1/2BC + 1/2CD

= AB + AC + 1/2(BC + CD)

= AB + AC + 1/2BD

= AB + AC + 1/2BA + 1/2AD

= AB + AC − 1/2AB + 1/2AD

= 1/2AB + AC + 1/2AD

= 1/2AB + AC + 1/2BC

= 1/2AB + AC + 1/2BA + 1/2AC

= 1/2AB − 1/2AB + AC(1 + 1/2)

= 3/2AC

Donc

AE + AF = 3/2AC.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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