Calcul trigonométrique tronc commun

Calcul trigonométrique tronc commun

Calcul trigonométrique tronc commun. Cours complet sur le calcul trigonométrique (1ère année lycée/ tronc commun).

Cercle trigonométrique (Calcul trigonométrique tronc commun)

Définition du cercle trigonométrique (Calcul trigonométrique tronc commun)
Définition 1

Dans un repère orthonormé (O, OI , OJ). On appelle cercle trigonométrique le cercle :

  • de centre O l’origine du repère.
  • de rayon R = 1
  • orienté positivement. (Le sens positif est le sens contraire de celui des aiguilles d’une montre)
  • et admet une origine I.
Le plan orienté
Définition 2

Le plan est dit orienté lorsque tous les cercle sont orientés comme un cercle trigonométrique.

Dans la suite le plan est orienté.

La mesure en radian
Définition 3

Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc de cercle que cet angle intercepte sur le cercle trigonométrique.

Propriété 4

La mesure d’un angle en radian est proportionnelle à sa mesure en degrés.

Tableau proportionnalité

Exemple 5

Convertir en radian la mesure d’angle : 45°

On a

α = π×n/180

= π×45/180

= π×45/4×45

= π/4 rad

Remarque 6
  • L’angle plat a pour mesure, en degré 180 (180°), en radian π (notation : π rad) ; en grade (notation : 200gr).
  • Pour un angle donné, soit a sa mesure en degré, b sa mesure en radian, c sa mesure en grade, on a alors la formule de conversion

a/180 = b/π = c/200

Dans la suite on utilise souvent la mesure en radian.

Abscisses curvilignes

Soit (C) un cercle trigonométrique lié au repère orthonormé direct (O , OI , OJ) et soit A un point de (C) tel que α est une mesure de l’angle géométrique IOA en radian et α ∈ [0, 2π[ .

Imaginons un point M mobile sur le cercle (C).

Le point M prend le départ en I.

1ère cas : M parcourt le cercle (C) dans le sens positif.

  • Lorsque M coïncide avec A pour le première fois, il a parcouru un chemin de longueur α.
  • La deuxième fois que M coïncide avec A la mesure du trajet parcouru est α + 2π (un tour en plus de la longueur α).
  • La troisième fois α + 4π, …, la (k + 1) fois α + 2kπ ,(k).

2ème cas : M parcourt le cercle (C) dans le sens négatif.

  • Lorsque M coïncide la première fois avec le point A, la mesure du chemin parcouru est 2π − α.
  • La deuxième fois que M passe en A, il a parcouru un chemin de longueur 4π − α.
  • La troisième fois 6π − α, …, la k′ fois 2k′π − α ,(k′).

Pour distinguer entre le cas précédentes, le point M a parcouru un chemin de longueur α + 2kπ dans le premier cas et un chemin de longueur − (−α + 2k′π), c’est-à-dire α − 2k′π dans le deuxième cas. Ceci signifie que dans tous les cas une mesure du chemin de parcourt de I à A est α + 2k″π tel que k″.

Définition 7
  • Soit (C) un cercle trigonométrique lié au repère orthonormé direct ( O, OI , OJ) et soit A un point de (C) tel que α est une mesure de l’angle IOA en radian. Tout nombre qui s’écrit sous la forme α + 2kπ avec k , est appelé une abscisse curviligne du point M.
  • Parmi les abscisses curvilignes du point M, il existe une seule abscisse curviligne appartient à l’intervalle ]−π, π] , appelée abscisse curviligne principale du point M.
Exemple 8

Déterminer l’abscisse curviligne principale du point M qui admet α comme l’un de ses abscisses curvilignes dans le cas suivant :

α = 7π/2

Méthode

Notons α0 l’abscisse curviligne principale du point M, puisque α est une abscisse curviligne du point M alors : α = α0 + 2kπ avec k, ensuite : α = α0 − 2kπ avec k. Or, α0 ∈ ]−π, π] , donc : −πα0π, par ailleurs :

− π7π/2 − 2kππ

⇔  − 1 7/2 − 2k1

⇔  − 1 −7/2−2k−7/2 + 1

⇔  −9/2 −2k−5/2

⇔  5/4k9/4

1,25k 2,25

comme k, alors k = 2. Donc

α0 = 7π/2 − 2kπ

= 7π/2 − 2 × 2 × π

= −π/2 ∈ ]−π, π]

Ceci signifie que −π/2 est l’abscisse curviligne principale du point M.

Angles orienté de deux vecteurs non nuls  

Angle orienté de deux demi-droites
Définition 9

On considère le plan (P) orienté, direct et O un point du plan (P). Soient [Ox) et [Oy) deux demi-droites.

  • Le couple ([Ox) , [Oy)) est appelé angle orienté des demi-droites [Ox) et [Oy) noté par (Ox, Oy).
  • Le couple ([Oy) , [Ox)) est appelé angle orienté des demi-droites [Oy) et [Ox) noté par (Oy, Ox).
Mesures d’un angle orienté de deux vecteurs
Approche
Mesures positives

(C) est un cercle trigonométrique de centre O , A et B sont deux points de (C). Lorsqu’on fait tourner OA dans le sens direct pour l’amener sur OB, le point A parcourt un arc de cercle de longueur α. On convient de dire que α est une mesure de l’angle orienté (OA, OB).

On peut faire un tour de plus, toujours dans le sens direct. Le point A parcourt un arc de cercle de longueur α + 2π. On convient de dire que α + 2π est une mesure de l’angle orienté ( OA, OB ).

Si on effectue k tours de cercle, toujours dans le sens direct, le point A parcourt un trajet de longueur α + 2kπ, ce nombre est aussi une mesure de ( OA, OB ) .

Mesures négatives

Pour amener OA sur OB on peut aussi parcourir le cercle dans le sens indirect. Alors lorsque OA arrive sur OB pour la première fois, le point A parcourt un arc de cercle de longueur 2π − α. Pour indiquer que l’on parcourt le cercle dans le sens indirect sans l’écrire, on convient de compter ce trajet négativement et de dire que − (2π − α), c’est-à-dire α − 2π est une mesure de l’angle orienté ( OA, OB ) .

On peut faire un tour de plus, toujours dans le sens indirect que l’on compte négativement. On convient de dire que − (2π − α) − 2π , c’est-à-dire α − 4π est une mesure de l’angle orienté ( OA, OB ) .

Si on effectue k′ tours de cercle, toujours dans le sens indirect, que l’on compte négativement, on obtient pour mesure ( OA, OB ) le nombre réel − (2π − α) − 2k′π ce qui s’écrit encore α + 2(−k′ − 1)π.

Cas général
Définition 10

Si u et v deux vecteurs non nuls alors l’angle orienté des vecteurs u et v est l’angle des demi-droites [OA) et [OB) tels que : u = OA et v = OB sera notée par : ( u , v ).

Notation 10

L’une des mesures de l’angle orienté ( u , v ) sera notée ( u , v ) et on décrit ( u , v ) = α + 2kπ avec k ou ( u , v ) ≡ α[]. (se lit ( u , v ) est congru à α modulo )

Propriété 11  

Parmi toutes les mesures α + 2kπ, il en existe une et une seule dans l’intervalle ]−π, π]. Cette mesure est appelée la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ).

Remarque 12

Si α est une mesure principale de l’angle ( u , v ). Tout nombre de la forme α + 2kπ avec k est aussi une mesure du même angle et on écrit :

( u , v ) = α + 2kπ , k ⇔ ( u , v ) ≡ α[]

Exemple 13

Sachant que : ( u , v ) ≡ −123π/5[]. Déterminer l’abscisse curviligne principale de l’angle orienté ( u , v ).

∎ On a : ( u , v ) = −123π/5 + 2kπ, tel que k. Ceci signifie que les mesures d’angle orienté ( u , v ) sont les nombres : −123π/5 + 2kπ tel que k .

Pour déterminer la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ) il suffit de trouver la valeur de k dans tel que

− π−123π/5 + 2kππ

⇔ 11,8 k12,8

et comme k, alors k = 12. Donc

−123π/5 + 2kπ = −123π/5 + 2 × 12 × π = −3π/5

D’où −3π/5 est la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ).

Propriétés des angles orientés

Propriété 14 (Relations de Chasles)

Soient u , v et w trois vecteurs on a :

( u , v ) + ( v , w ) ≡ ( u , w ) []

Résultats 15

Pour tous vecteurs non nuls u et v.

  1. ( − u , − v ) ≡ ( u , v ) []
  2. ( u , v ) ≡ − ( v , u ) []
  3. (−u , v ) ≡ ( u , v ) + π []
  4. ( u , −v ) ≡ ( u , v ) + π []
Exemple 16

Sachant que : ( u , v ) ≡ −π/9 [] et ( u , w ) ≡ −π/4 []

Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :

( v , w ) et ( −w , v )

∎ On cherche la mesure principale de l’angle orienté ( v , w ) :

En utilisant la relation de Chasles, on obtient

( u , v ) + ( v , w ) ≡ ( u , w ) []

comme ( u , v ) ≡ −π/9 [] et ( u , w ) ≡ −π/4 [] , donc

( v , w ) ≡ −π/4 + π/9 []

≡ −5π/36 []

Ceci signifie que −5π/36 est la mesure principale de l’angle orienté ( v , w ).

∎ On cherche la mesure principale de l’angle orienté ( −u , v ) :

On a

( −w , v ) ≡ ( −w , w ) − ( v , w ) []

comme ( −w , w ) ≡ −π [] et ( v , w ) ≡ −5π/36 [] , donc

( −w, v ) ≡ −π + 5π/36 []

≡ −31π/36 []

Ceci signifie que −31π/36 est la mesure principale de l’angle orienté ( v , w ).

Remarque 17

Pour tout vecteur u non nul, on a :

∎ ( u , v ) ≡ 0 []

∎ ( u , − u ) ≡ π []

Les lignes trigonométriques
cosinus, sinus et tangente d’angle

Soit (C) un cercle trigonométrique de centre O et ( O, OI , OJ ) le repère orthonormé associé à (C) en I.

soit x un réel, M un point de (C) ayant x pour abscisse curviligne.

Définition 18

∎ L’abscisse du point M dans le repère ( O, OI , OJ ) s’appelle cosinus de x et on le note cos x.

∎ L’ordonnée du point M dans le repère ( O, OI , OJ ) s’appelle sinus de x et on le note sin x.

Propriété 19

Soit M un point du cercle trigonométrique (C) d’abscisse curviligne x, on a :

OM = cos x i + sin x j. ( i = OI et j = OJ ).

OM = √cos2x + sin2x et OM = 1, donc pour tout x , cos2x + sin2x = 1.

∎ L’abscisse du point M appartient au segment [I′I] donc − 1 ≤ cos x 1.

∎ L’ordonnée du point M appartient au segment [J′J] donc − 1 ≤ sin x 1.

Si x est une abscisse curviligne de M alors x + 2kπ (k ) est aussi abscisse curviligne de M donc pour tout x et k :

cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x

Exemple 20

Calculer cos x si sin x = −4/5 et π x3π/2.

On a : cos2x + sin2x = 1 donc : cos2x = 1 − sin2x, c’est-à-dire :

∣cos x= √1−sin2x

comme πx 3π/2, donc cos x0, c’est-à-dire : ∣cos x∣ = −cos x, d’où

cos x = − √1−sin2x

= − √1− (−4/5)2

= −√1−16/25

= −3/5

cosinus et sinus d’angle associés
Propriété 21

Pour tout x.

  1. cos (−x) = cos x et sin (−x) = −sin x
  2. cos (π − x) = − cos x et sin (π − x) = sin x
  3. cos (π + x) = − cos x et sin (π + x) = − sin x
  4. cos (π/2 − x) = sin x et sin (π/2 − x) = cos x
  5. cos (π/2 + x) = − sin x et sin (π/2 + x) = cos x
Exemple 22

Soit x un réel, simplifier les expressions suivantes :

A = cos (π + x) − cos (π − x) + cos (π/2 − x)

B = cos (5π/2 + x) + sin (x − 7π/2)

C = cos (3π/2 + x) + cos (x − 3π)

A = cos (π + x) − cos (π − x) + cos (π/2 − x)

= − cos x − (−cos x) + sin x

= − cos x + cos x + sin x

= sin x

B = cos (5π/2 + x) + sin (x − 7π/2)

= cos (π+4π/2 + x) + sin (x − 8π−π/2)

= cos (π/2 + x + 2π) + sin (x − 4π + π/2)

= cos (π/2 + x) + sin (π/2 + x)

= −sin x + cos x

C = cos (3π/2 + x) + cos (x − 3π)

= cos (4π−π/2 + x) + cos(x − 2π − π)

= cos (2π − π/2 + x) + cos (x − π)

= cos (π/2 − x) + cos (π − x)

= sin x − cos x

Valeurs remarquables

Il est utile de connaitre ou de savoir retrouver rapidement les valeurs des sinus et cosinus des angles suivants :

Exemple 23
Cliquer ici pour télécharger Calcul trigonométrique tronc commun cours

Vous pouvez aussi consulter :

 

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.