Calcul trigonométrique tronc commun

Calcul trigonométrique tronc commun. Cours complet sur le calcul trigonométrique (Tronc Commun Scientifique).

Cercle trigonométrique (Calcul trigonométrique tronc commun)

Définition du cercle trigonométrique (Calcul trigonométrique tronc commun)

Définition 1

Dans un repère orthonormé (O, OI , OJ). On appelle cercle trigonométrique le cercle :

• de centre O l’origine du repère.

• de rayon R = 1

• orienté positivement. (Le sens positif est le sens contraire de celui des aiguilles d’une montre)

• et admet une origine I.

Le plan orienté (Calcul trigonométrique tronc commun)

Définition 2

Le plan est dit orienté lorsque tous les cercle sont orientés comme un cercle trigonométrique.

Dans la suite le plan est orienté.

La mesure en radian

Définition 3

Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc de cercle que cet angle intercepte sur le cercle trigonométrique.

Propriété 4

La mesure d’un angle en radian est proportionnelle à sa mesure en degrés.

Tableau proportionnalité

Exemple 5

Convertir en radian la mesure d’angle : 45°

On a

α = π×n/180

= π×45/180

= π×45/4×45

= π/4 rad

Remarque 6

• L’angle plat a pour mesure, en degré 180 (180°), en radian π (notation : π rad) ; en grade (notation : 200gr).

• Pour un angle donné, soit a sa mesure en degré, b sa mesure en radian, c sa mesure en grade, on a alors la formule de conversion

a/180 = b/π = c/200

Dans la suite on utilise souvent la mesure en radian.

Abscisses curvilignes (Calcul trigonométrique tronc commun)

Soit (C) un cercle trigonométrique lié au repère orthonormé direct (O , OI , OJ) et soit A un point de (C) tel que α est une mesure de l’angle géométrique IOA en radian et α ∈ [0, 2π[ .

Imaginons un point M mobile sur le cercle (C).

Le point M prend le départ en I.

1ère cas : M parcourt le cercle (C) dans le sens positif.

• Lorsque M coïncide avec A pour la première fois, il a parcouru un chemin de longueur α.

• La deuxième fois que M coïncide avec A la mesure du trajet parcouru est α + 2π (un tour en plus de la longueur α).

• La troisième fois α + 4π, …, la (k + 1) fois α + 2kπ ,(k ∈ ℕ).

2ème cas : M parcourt le cercle (C) dans le sens négatif.

• Lorsque M coïncide la première fois avec le point A, la mesure du chemin parcouru est 2π − α.

• La deuxième fois que M passe en A, il a parcouru un chemin de longueur 4π − α.

• La troisième fois 6π − α, …, la k′ fois 2k′π − α ,(k′∈ ℕ).

Pour distinguer entre le cas précédent, le point M a parcouru un chemin de longueur α + 2kπ dans le premier cas et un chemin de longueur − (−α + 2k′π), c’est-à-dire α − 2k′π dans le deuxième cas. Ceci signifie que dans tous les cas une mesure du chemin de parcourt de I à A est α + 2k″π tel que k″∈ ℤ.

Définition 7

• Soit (C) un cercle trigonométrique lié au repère orthonormé direct ( O, OI , OJ) et soit A un point de (C) tel que α est une mesure de l’angle IOA en radian. Tout nombre qui s’écrit sous la forme α + 2kπ avec k ∈ ℤ , est appelé une abscisse curviligne du point M.

• Parmi les abscisses curvilignes du point M, il existe une seule abscisse curviligne appartient à l’intervalle ]−π, π] , appelée abscisse curviligne principale du point M.

Exemple 8

Déterminer l’abscisse curviligne principale du point M qui admet α comme l’un de ses abscisses curvilignes dans le cas suivant :

α = 7π/2

Méthode

Notons α₀ l’abscisse curviligne principale du point M, puisque α est une abscisse curviligne du point M alors : α = α₀ + 2kπ avec k ∈ ℤ, ensuite : α = α₀ − 2kπ avec k ∈ ℤ. Or, α₀ ∈ ]−π, π] , donc : −π ≺ α₀ ≼ π, par ailleurs :

− π ≺ 7π/2 − 2kπ ≼ π

⇔  − 1 ≺ 7/2 − 2k ≼ 1

⇔  − 1 −7/2 ≺ −2k ≼ −7/2 + 1

⇔  −9/2 ≺ −2k ≼ −5/2

⇔  5/4 ≼ k ≺ 9/4

⇔ 1,25 ≼ k ≺ 2,25

comme k ∈ ℤ, alors k = 2. Donc

α₀ = 7π/2 − 2kπ

= 7π/2 − 2 × 2 × π

= −π/2 ∈ ]−π, π]

Ceci signifie que −π/2 est l’abscisse curviligne principale du point M.

Angles orienté de deux vecteurs non nuls  

Angle orienté de deux demi-droites

Définition 9

On considère le plan (P) orienté, direct et O un point du plan (P). Soient [Ox) et [Oy) deux demi-droites.

• Le couple ([Ox) , [Oy)) est appelé angle orienté des demi-droites [Ox) et [Oy) noté par (Ox, Oy).

• Le couple ([Oy) , [Ox)) est appelé angle orienté des demi-droites [Oy) et [Ox) noté par (Oy, Ox).

Mesures d’un angle orienté de deux vecteurs

Approche

Mesures positives

(C) est un cercle trigonométrique de centre O , A et B sont deux points de (C). Lorsqu’on fait tourner OA dans le sens direct pour l’amener sur OB, le point A parcourt un arc de cercle de longueur α. On convient de dire que α est une mesure de l’angle orienté (OA, OB).

On peut faire un tour de plus, toujours dans le sens direct. Le point A parcourt un arc de cercle de longueur α + 2π. On convient de dire que α + 2π est une mesure de l’angle orienté ( OA, OB ).

Si on effectue k tours de cercle, toujours dans le sens direct, le point A parcourt un trajet de longueur α + 2kπ, ce nombre est aussi une mesure de ( OA, OB ) .

Mesures négatives

Pour amener OA sur OB on peut aussi parcourir le cercle dans le sens indirect. Alors lorsque OA arrive sur OB pour la première fois, le point A parcourt un arc de cercle de longueur 2π − α. Pour indiquer que l’on parcourt le cercle dans le sens indirect sans l’écrire, on convient de compter ce trajet négativement et de dire que − (2π − α), c’est-à-dire α − 2π est une mesure de l’angle orienté ( OA, OB ) .

On peut faire un tour de plus, toujours dans le sens indirect que l’on compte négativement. On convient de dire que − (2π − α) − 2π , c’est-à-dire α − 4π est une mesure de l’angle orienté ( OA, OB ) .

Si on effectue k′ tours de cercle, toujours dans le sens indirect, que l’on compte négativement, on obtient pour mesure ( OA, OB ) le nombre réel − (2π − α) − 2k′π ce qui s’écrit encore α + 2(−k′ − 1)π.

Cas général

Définition 10

Si u et v deux vecteurs non nuls alors l’angle orienté des vecteurs u et v est l’angle des demi-droites [OA) et [OB) tels que : u = OA et v = OB sera notée par : ( u , v ).

Notation 10

L’une des mesures de l’angle orienté ( u , v ) sera notée ( u , v ) et on décrit ( u , v ) = α + 2kπ avec k ∈ ℤ ou ( u , v ) ≡ α[2π]. (se lit ( u , v ) est congru à α modulo 2π)

Propriété 11  

Parmi toutes les mesures α + 2kπ, il en existe une et une seule dans l’intervalle ]−π, π]. Cette mesure est appelée la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ).

Remarque 12

Si α est une mesure principale de l’angle ( u , v ). Tout nombre de la forme α + 2kπ avec k ∈ ℤ est aussi une mesure du même angle et on écrit :

( u , v ) = α + 2kπ , k ∈ ℤ ⇔ ( u , v ) ≡ α[2π]

Exemple 13

Sachant que : ( u , v ) ≡ −123π/5[2π]. Déterminer l’abscisse curviligne principale de l’angle orienté ( u , v ).

∎ On a : ( u , v ) = −123π/5 + 2kπ, tel que k ∈ ℤ. Ceci signifie que les mesures d’angle orienté ( u , v ) sont les nombres : −123π/5 + 2kπ tel que k ∈ ℤ.

Pour déterminer la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ) il suffit de trouver la valeur de k dans ℤ tel que

− π ≺ −123π/5 + 2kπ ≼ π

⇔ 11,8 ≺ k ≼ 12,8

et comme k ∈ ℤ, alors k = 12. Donc

−123π/5 + 2kπ = −123π/5 + 2 × 12 × π = −3π/5

D’où −3π/5 est la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ).

Propriétés des angles orientés

Propriété 14 (Relations de Chasles)

Soient u , v et w trois vecteurs on a :

( u , v ) + ( v , w ) ≡ ( u , w ) [2π]

Résultats 15

Pour tous vecteurs non nuls u et v.

1. ( − u , − v ) ≡ ( u , v ) [2π]
2. ( u , v ) ≡ − ( v , u ) [2π]
3. (−u , v ) ≡ ( u , v ) + π [2π]
4. ( u , −v ) ≡ ( u , v ) + π [2π]

Exemple 16

Sachant que : ( u , v ) ≡ −π/9 [2π] et ( u , w ) ≡ −π/4 [2π]

Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :

( v , w ) et ( −w , v )

∎ On cherche la mesure principale de l’angle orienté ( v , w ) :

En utilisant la relation de Chasles, on obtient

( u , v ) + ( v , w ) ≡ ( u , w ) [2π]

comme ( u , v ) ≡ −π/9 [2π] et ( u , w ) ≡ −π/4 [2π] , donc

( v , w ) ≡ −π/4 + π/9 [2π]

≡ −5π/36 [2π]

Ceci signifie que −5π/36 est la mesure principale de l’angle orienté ( v , w ).

∎ On cherche la mesure principale de l’angle orienté ( −u , v ) :

On a

( −w , v ) ≡ ( −w , w ) − ( v , w ) [2π]

comme ( −w , w ) ≡ −π [2π] et ( v , w ) ≡ −5π/36 [2π] , donc

( −w, v ) ≡ −π + 5π/36 [2π]

≡ −31π/36 [2π]

Ceci signifie que −31π/36 est la mesure principale de l’angle orienté ( v , w ).

Remarque 17

Pour tout vecteur u non nul, on a :

∎ ( u , v ) ≡ 0 [2π]

∎ ( u , − u ) ≡ π [2π]

Les lignes trigonométriques

cosinus, sinus et tangente d’angle

Soit (C) un cercle trigonométrique de centre O et ( O, OI , OJ ) le repère orthonormé associé à (C) en I.

soit x un réel, M un point de (C) ayant x pour abscisse curviligne.

Définition 18

∎ L’abscisse du point M dans le repère ( O, OI , OJ ) s’appelle cosinus de x et on le note cos x.

∎ L’ordonnée du point M dans le repère ( O, OI , OJ ) s’appelle sinus de x et on le note sin x.

Propriété 19

Soit M un point du cercle trigonométrique (C) d’abscisse curviligne x, on a :

∎ OM = cos x i + sin x j. ( i = OI et j = OJ ).

∎ OM = √cos²x + sin²x et OM = 1, donc pour tout x ∈ ℝ, cos²x + sin²x = 1.

∎ L’abscisse du point M appartient au segment [I′I] donc − 1 ≤ cos x ≤ 1.

∎ L’ordonnée du point M appartient au segment [J′J] donc − 1 ≤ sin x ≤ 1.

Si x est une abscisse curviligne de M alors x + 2kπ (k ∈ ℤ) est aussi abscisse curviligne de M donc pour tout x ∈ ℝ et k ∈ ℤ :

cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x

Exemple 20

Calculer cos x si sin x = −4/5 et π ≺ x ≺ 3π/2.

On a : cos²x + sin²x = 1 donc : cos²x = 1 − sin²x, c’est-à-dire :

∣cos x∣ = √1−sin²x

comme π ≺ x ≺ 3π/2, donc cos x ≺ 0, c’est-à-dire : ∣cos x∣ = −cos x, d’où

cos x = − √1−sin²x

= − √1− (−4/5)²

= −√1−16/25

= −3/5

cosinus et sinus d’angle associés

Propriété 21

Pour tout x ∈ ℝ.

1. cos (−x) = cos x et sin (−x) = −sin x
2. cos (π − x) = − cos x et sin (π − x) = sin x
3. cos (π + x) = − cos x et sin (π + x) = − sin x
4. cos (π/2 − x) = sin x et sin (π/2 − x) = cos x
5. cos (π/2 + x) = − sin x et sin (π/2 + x) = cos x

Exemple 22

Soit x un réel, simplifier les expressions suivantes :

A = cos (π + x) − cos (π − x) + cos (π/2 − x)

B = cos (5π/2 + x) + sin (x − 7π/2)

C = cos (3π/2 + x) + cos (x − 3π)

∎

A = cos (π + x) − cos (π − x) + cos (π/2 − x)

= − cos x − (−cos x) + sin x

= − cos x + cos x + sin x

= sin x

∎

B = cos (5π/2 + x) + sin (x − 7π/2)

= cos (π+4π/2 + x) + sin (x − 8π−π/2)

= cos (π/2 + x + 2π) + sin (x − 4π + π/2)

= cos (π/2 + x) + sin (π/2 + x)

= −sin x + cos x

∎

C = cos (3π/2 + x) + cos (x − 3π)

= cos (4π−π/2 + x) + cos(x − 2π − π)

= cos (2π − π/2 + x) + cos (x − π)

= cos (π/2 − x) + cos (π − x)

= sin x − cos x

Valeurs remarquables

Il est utile de connaitre ou de savoir retrouver rapidement les valeurs des sinus et cosinus des angles suivants :

Exemple 23

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