Le produit scalaire dans le plan cours

Le produit scalaire dans le plan cours

Le produit scalaire dans le plan cours. (1ère année lycée – tronc commun scientifique)

Le produit scalaire de deux vecteurs (Le produit scalaire dans le plan cours)

La norme du vecteur
Définition 1

Soit un vecteur u et deux points A et B tels que u = AB. La norme du vecteur u , notée ∥ u ∥ est la distance AB.

Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires
Définition 2

Soient u et v deux vecteurs colinéaires. On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v , le nombre réel noté u . v .

  • Si les vecteurs u et v sont de même sens alors : u . v = u ∥ × ∥ v ∥.
  • Si les vecteurs u et v sont de sens contraires alors : u . v = − ∥ u ∥ × ∥ v ∥.
Formule trigonométrique du produit scalaire
Définition 3

Soient A, B et C trois points du plan tels que A ≠ C et A ≠ B.

le produit scalaire de deux vecteurs AB et AC est le nombre :

AB.AC = AB × AC × cos(BAC).

Soient u et v deux vecteurs nuls, le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le nombre :

u . v =u ∥ × ∥ v ∥ × cos( u , v )

Exemple 4

Soit ABC un triangle tel que AB = 3 et AC = 2 et BAC = π/4. Calculer AB.AC.

On a d’après la formule trigonométrique du produit scalaire :

AB.AC = AB × AC × cos(BAC)

= 3 × 2 × cos (π/4)

= 6 × √2/2 = 3√2

Exemple 5

Soient u et v deux vecteurs tels que : ( u , v ) ≡ π/3 [] et ∥ u= 2 et ∥ v ∥ = 4. Calculer u . v .

u . v =u ∥ × ∥ v ∥ × cos ( u , v )

= 2 × 4 × cos(π/3)

= 4

Vecteurs orthogonaux
Propriété 6

Soient u et v deux vecteurs non nuls.

Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u . v = 0.

Propriétés du produit scalaire
Propriété 7

Soient u , v et w trois vecteurs et pour tout k dans on a :

  • u . v = v . u (On dit que le produit scalaire est commutatif).
  • ( u + v )w = u . w + v . w et (k. u). v = u .(k . v) = k( u . v) . (Linéarité du produit scalaire).
  • u . u = u2 =u 2 (c’est un nombre positif).
Conclusion 8

On conclut les résultats suivants :

  1. ( u + v )2 = u2 + 2 u.v + v2 =u2 + 2 u.v +v2
  2. ( u − v )2 = u2 − 2 u.v + v2 =u2 − 2 u.v +v2
  3. u . v = 1/2[∥ u + v2 − ∥ u2v2 ]
  4. ( u + v )( u − v ) = u2 − v2 =u2 − ∥ v2
Exemple 9

Soient u et v deux vecteurs tels que : u . v = 5 et ∥ u= 3 et ∥ v= 2.

Calculer ( u + v )u et ( u + v )2 .

Applications du produit scalaire

Les relations métriques dans le triangle rectangle

Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A et [AH] la hauteur.

Théorème 10 (Pythagore)

Si ABC est rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2 .

BC2 = BC2 = (BC + AC)2 = BA2 +BA.AC + AC2 = BA2 + AC2 = AB2 + AC2

Autre résultats

BA2 = BH × BC et CA2 = CH × BC et AH2 = HB × HC et AB × AC = AH × BC

Théorème d’Al Kashi

Soit ABC un triangle. Calculer BC2 en fonction de AB et AC et cos ( A ) .

On commence par BC2 :

BC2 = BC2

=(BA + AC)2

= BA2 + 2BA.AC + AC2

= BA2 − 2BA.AC + AC2

= BA2 + AC2 −2AB.AC.cos(A)

Théorème 11

Dans un triangle ABC , on a : BC2 = BA2 + AC2 −2AB.AC.cos(A).

Par le même façon on obtient : AC2 = AB2 + BC2 −2AB.BC.cos(B) et AB2 = AC2 + BC2 −2AC.BC.cos(C)

Exemple 12

Soit ABC un triangle tel que : AC = 2 et AB = √3 et A = π/6. Calculer BC et cos(C).

On a d’après le théorème d’Al Kashi :

BC2 = BA2 + AC2 − 2AB. AC. cos (A)

= (√3)2 + 22 − 2 × √3 × 2 × cos(π /6)

= 3 + 4 − 4√3 × √3/2

= 1

Donc : BC = 1.

On a d’après le théorème d’AL Kashi dans le triangle ABC :

AB2 = AC2 + BC2 −2AC.BC. cos(C) ⇔ cos(C) = AC2+BC2−AB2/2AC.BC = 22+12(√3)2/2×2×1 = 1/2

Donc : C = π /3 .

Théorème de la médiane

Soit ABM un triangle et I est le milieu [AB]. Calculer MB2 + MA2 en fonction de AB et MI.

MB2 + MA2 = MB2 + MA2

= (MI + IB)2 + (MI + IA)2

= MI2 + 2MI.IB + IB2 + MI2 + 2MI.IA + IA2

= 2MI2 + 2MI(IB + IA)=0 + 2IB2 , (IB = AB/2)

= 2MI2 + 1/2AB2

= 2MI2 + 1/2AB2

Théorème 13

Soit ABM un triangle si I est le milieu de [AB] alors :

MB2 + MA2 = 2MI2 + 1/2AB2

Exemple 14

Soit ABC un triangle et K est le milieu de [AB]. On donne : BC = 5, AC = 7 et AB = 8. Calculer CK.

On a d’après le théorème de la médiane dans le triangle ABC :

CA2 + CB2 = 2CK2 + AB2/2

⇔ 2CK2 = CA2 + CB2 − AB2/2

⇔ CK2 = CA2+CB2−AB2/2/2

⇔ CK2 = 72+52−64/2/2 = 21

Donc : CK = √21.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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