par Le produit scalaire dans le plan cours. (1ère année lycée – tronc commun scientifique)
Le produit scalaire de deux vecteurs (Le produit scalaire dans le plan cours)
La norme du vecteur (Le produit scalaire dans le plan cours)
Définition 1
Soit un vecteur u et deux points A et B tels que u = AB. La norme du vecteur u , notée ∥ u ∥ est la distance AB.
Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires
Définition 2
Soient u et v deux vecteurs colinéaires. On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v , le nombre réel noté u . v .
- Si les vecteurs u et v sont de même sens alors : u . v = ∥ u ∥ × ∥ v ∥.
- Si les vecteurs u et v sont de sens contraires alors : u . v = − ∥ u ∥ × ∥ v ∥.
Formule trigonométrique du produit scalaire
Définition 3
Soient A, B et C trois points du plan tels que A ≠ C et A ≠ B.
le produit scalaire de deux vecteurs AB et AC est le nombre :
AB.AC = AB × AC × cos(BAC).
Soient u et v deux vecteurs nuls, le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le nombre :
u . v = ∥ u ∥ × ∥ v ∥ × cos( u , v )
Exemple 4
Soit ABC un triangle tel que AB = 3 et AC = 2 et BAC = π/4. Calculer AB.AC.
On a d’après la formule trigonométrique du produit scalaire :
AB.AC = AB × AC × cos(BAC)
= 3 × 2 × cos (π/4)
= 6 × √2/2 = 3√2
Exemple 5
Soient u et v deux vecteurs tels que : ( u , v ) ≡ π/3 [2π] et ∥ u ∥ = 2 et ∥ v ∥ = 4. Calculer u . v .
u . v = ∥ u ∥ × ∥ v ∥ × cos ( u , v )
= 2 × 4 × cos(π/3)
= 4
Vecteurs orthogonaux
Propriété 6
Soient u et v deux vecteurs non nuls.
Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u . v = 0.
Propriétés du produit scalaire
Propriété 7
Soient u , v et w trois vecteurs et pour tout k dans ℝ on a :
- u . v = v . u (On dit que le produit scalaire est commutatif).
- ( u + v )w = u . w + v . w et (k. u). v = u .(k . v) = k( u . v) . (Linéarité du produit scalaire).
- u . u = u2 = ∥ u ∥2 (c’est un nombre positif).
Conclusion 8
On conclut les résultats suivants :
- ( u + v )2 = u2 + 2 u.v + v2 = ∥ u ∥2 + 2 u.v + ∥ v ∥2
- ( u − v )2 = u2 − 2 u.v + v2 = ∥ u ∥2 − 2 u.v + ∥ v ∥2
- u . v = 1/2[∥ u + v ∥2 − ∥ u ∥2 − ∥ v ∥2 ]
- ( u + v )( u − v ) = u2 − v2 = ∥ u ∥2 − ∥ v ∥2
Exemple 9
Soient u et v deux vecteurs tels que : u . v = 5 et ∥ u ∥ = 3 et ∥ v ∥ = 2.
Calculer ( u + v )u et ( u + v )2 .
Applications du produit scalaire (Le produit scalaire dans le plan cours)
Les relations métriques dans le triangle rectangle
Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A et [AH] la hauteur.
Théorème 10 (Pythagore)
Si ABC est rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2 .
BC2 = BC2 = (BC + AC)2 = BA2 +BA.AC + AC2 = BA2 + AC2 = AB2 + AC2
Autre résultats
BA2 = BH × BC et CA2 = CH × BC et AH2 = HB × HC et AB × AC = AH × BC
Théorème d’Al Kashi
Soit ABC un triangle. Calculer BC2 en fonction de AB et AC et cos ( A ) .
On commence par BC2 :
BC2 = BC2
=(BA + AC)2
= BA2 + 2BA.AC + AC2
= BA2 − 2BA.AC + AC2
= BA2 + AC2 −2AB.AC.cos(A)
Théorème 11
Dans un triangle ABC , on a : BC2 = BA2 + AC2 −2AB.AC.cos(A).
Par le même façon on obtient : AC2 = AB2 + BC2 −2AB.BC.cos(B) et AB2 = AC2 + BC2 −2AC.BC.cos(C)
Exemple 12
Soit ABC un triangle tel que : AC = 2 et AB = √3 et A = π/6. Calculer BC et cos(C).
On a d’après le théorème d’Al Kashi :
BC2 = BA2 + AC2 − 2AB. AC. cos (A)
= (√3)2 + 22 − 2 × √3 × 2 × cos(π /6)
= 3 + 4 − 4√3 × √3/2
= 1
Donc : BC = 1.
On a d’après le théorème d’AL Kashi dans le triangle ABC :
AB2 = AC2 + BC2 −2AC.BC. cos(C) ⇔ cos(C) = AC2+BC2−AB2/2AC.BC = 22+12−(√3)2/2×2×1 = 1/2
Donc : C = π /3 .
Théorème de la médiane
Soit ABM un triangle et I est le milieu [AB]. Calculer MB2 + MA2 en fonction de AB et MI.
MB2 + MA2 = MB2 + MA2
= (MI + IB)2 + (MI + IA)2
= MI2 + 2MI.IB + IB2 + MI2 + 2MI.IA + IA2
= 2MI2 + 2MI(IB + IA)=0 + 2IB2 , (IB = AB/2)
= 2MI2 + 1/2AB2
= 2MI2 + 1/2AB2
Théorème 13
Soit ABM un triangle si I est le milieu de [AB] alors :
MB2 + MA2 = 2MI2 + 1/2AB2
Exemple 14
Soit ABC un triangle et K est le milieu de [AB]. On donne : BC = 5, AC = 7 et AB = 8. Calculer CK.
On a d’après le théorème de la médiane dans le triangle ABC :
CA2 + CB2 = 2CK2 + AB2/2
⇔ 2CK2 = CA2 + CB2 − AB2/2
⇔ CK2 = CA2+CB2−AB2/2/2
⇔ CK2 = 72+52−64/2/2 = 21
Donc : CK = √21.
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