Barycentre dans le plan exercices corrigés

Barycentre dans le plan exercices corrigés

Le barycentre dans le plan exercices corrigés 1 bac. (1ère s/ 1ère année bac)

Exercice 1 (Barycentre dans le plan exercices corrigés)

Soit ABC un triangle dans le plan et les points I et J sont les milieux respectifs du segment [AC] et [BC].

  1. Faire une figure.
  2. Soit G le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 3)}.

Calculer AG en fonction de AB et AC.

a) Montrer que les vecteurs IG et AB sont colinéaires.

b) Montrer que les points I, J et G sont alignés.

3. Soit D le point d’intersection des droites (AB) et (CG).

Calculer AD en fonction de AB.

Exercice 2 (Barycentre dans le plan exercices corrigés)

Soit ABC un triangle et G le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, −3/2)} , et I le point du plan défini par : AI = 4/3AB.

    1. Montrer que : AG = 4/3AB − AC.
    2. Montrer que la quadrilatère ACIG est une parallélogramme.
  1. Soit J le point d’intersection de (IG) et (BC).
    1. Calculer BJ en fonction BC.
    2. Montrer que : GC = 2/3AC et déduire que G est le barycentre du système pondéré :

{(A, 2) ; (J, 3) ; (C, −2)} .

Exercice 3

Soit ABC un triangle et le point I est le milieu du segment [BC] . E et F sont deux points tels que :

AE = 2AB et AF = 2/3AC.

D est le barycentre du système pondéré : {(A, 1) ; (B, −1) ; (C, 1)}.

  1. Montrer que : AD = BC. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD.
  2. Montrer que : IE = 3/2AB − 1/2AC et IF = −1/2AB + 1/6AC.
  3. Montrer que I est le milieu du segment [DE] .
  4. Déduire que les points I, E, F et D sont alignés.
Exercice 4

ABCD est un parallélogramme de centre O. G est le barycentre du système pondéré :

{(B, 2) ; (C, −1) ; (D, 2)}

et E est le barycentre du système pondéré {(B, 2) ; (C, −1)}.

  1. Vérifier que B est le milieu du segment [CE] .
    1. Exprimer AG en fonction de AB, AC et AD puis déduire que : AG = 1/3AC.
    2. Construire une figure.
    3. Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC.
  2. Montrer que les points D, G et E sont alignés.
  3. Soit I le point d’intersection des droites (DG) et (AB) et P la projection sur (DB) parallèlement sur (DC). On pose : G′ = P(G).

Montrer que :

DG′ = 2/3DB

Exercice 5

Soit ABCD un parallélogramme. On considère les points suivants :

I et J les milieu respectifs de [AD] et [BC],

K et L les points de [AB] tels que : AK = KL = LB,

G est le barycentre du système pondéré : {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)}.

  1. Faire une figure correspondante.

a) Montrer que G est le milieu du segment [AJ].

b) En déduire que les droites (AJ) et (BJ) sont sécantes en G.

2. a) Montrer que G est le barycentre des points pondéré (K, 3) et (C, 1).

b) En déduire que G ∈ (CK).

3. a) Montrer que G est le barycentre des pointes pondéré (D, 1) et (L, 3).

b) Montrer que les droites (AJ) , (BI) , (CK) et (DL) sont concourantes au point G.

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Correction de la série

Exercice 1
  1. La figure

2. Soit G le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 3)} .

Calculons AG en fonction de AB et AC.

On a d’après la propriété caractéristique

(∀M ∈ (P)) , MA + 2MB + 3MC = 6MG

pour M = A, on obtient

2AB + 3AC = 6AG ⇔ AG = 1/3AB + 1/2AC

3. a) Montrons que les vecteurs IG et AB sont colinéaires.

On a I est le milieu de [AC] alors AI = 1/2AC, et comme AG = 1/3AB + 1/2AC

donc

AG = 1/3AB + AI

 AG − AI = 1/3AB

⇔ AG + IA = 1/3AB

⇔ IG = 1/3AB

d’où les vecteurs IG et AB sont colinéaires.

b) Montrons que les points I, J et G sont alignés.

On a

IJ = IA + AJ

= −AI + (AB + BJ)

= −1/2AC + AB + 1/2BC

= −1/2AC + AB − 1/2AB + 1/2AC

= 1/2AB

et comme IG = 1/3AB alors AB = 3IG donc

IJ = 3/2IG

Ceci signifie que les vecteurs IJ et IG sont colinéaires, c’est-à-dire les points I, J et G sont alignés.

4. Soit D le point d’intersection des droites (AB) et (CG).

Calculons AD en fonction de AB.

On a I est le milieu de [AC] donc CI = 1/2CA et par passage à la norme on obtient

CI ∥ = ∣1/2∣∥ CA

c’est-à-dire CI = 1/2CA.

Comme (AD) ∥ (IG) alors on applique le théorème de Thalès direct dans le triangle ACD on obtient :

CI/CA = CG/CD = IG/AD

comme CI/CA = 1/2 alors IG/AD = 1/2 donc IG = 1/2AD et puisque les vecteurs IG et AD ont le même sens donc on obtient

IG = 1/2AD (*)

on sait que IG = 1/3AB et d’après (*) on obtient

AD = 2/3AB

Exercice 2

G est le barycentre du système pondéré { (A, 1) ; (B, 2) ; (C, −3/2)} .

  1. a) Montrons que : AG = 4/3AB − AC.

On a d’après la propriété caractéristique

(∀M ∈ (P)) , MA + 2MB − 3/2MC = 3/2MG

pour M = A, on obtient

2AB − 3/2AC = 3/2AG  AG = 4/3AB − AC

b) Montrons que ACIG est un parallélogramme.

On a

CI = CA + AI

= −AC + 4/3AB

= 4/3AB − AC

comme AG = 4/3AB − AC donc CI = AG. Ceci signifie que le quadrilatère ACIG est un parallélogramme.

2. Soit J le point d’intersection de (IG) et (BC).

a) Calculons BJ en fonction BC.

On a (IJ) ∥ (AC) donc d’après le théorème de Thalès direct on a BJ/BC = BI/BA (*)

D’autre part, on a

AI = 4/3AB

⇔ AB + BI = 4/3AB

⇔ BI = 4/3AB − AB

⇔ BI = 1/3AB

par passage à la norme on obtient BI = 1/3AB donc BI/AB = 1/3 et d’après (*) on obtient BJ/BC = 1/3 alors

BJ = 1/3BC

comme le vecteurs BJ et BC ont un sens opposés donc

BJ = − 1/3BC

b) Montrons que : GJ = 2/3AC.

On a

GJ = GB + BJ

= GA + AB + BJ

= −AG + AB − 1/3BC

= −4/3AB + AC + AB − 1/3BC

= −4/3AB + AC + AB − 1/3BA −1/3AC

= −4/3AB + 1/3AB + AB + AC − 1/3AC

= AC − 1/3AC

= 2/3AC

∎ On déduit que G est le barycentre du système {(A, 2) ; (J, 3) ; (C, −2)}.

On a GJ = 2/3AC donc

GJ = 2/3(AG + GC) ⇔ GJ = −2/3GA + 2/3GC 3GJ + 2GA − 2GC = 0

puisque (3 + 2 − 2 ≠ 0) donc G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (J, 3) ; (C, −2)}.

Exercice 3
  1. Montrons que : AD = BC.

On a D est le barycentre du système pondéré : {(A, 1) ; (B, −1) ; (C, 1)}.

On a d’après la propriété caractéristique

(∀M ∈ (P)) , MA − MB + MC = MD

pour M = A, on obtient

−AB + AC = AD ⇔ BA + AC = AD ⇔ BC = AD

Ceci signifie que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

2. Montrons que : IE = 3/2AB − 1/2AC et IF = −1/2AB + 1/6AC.

∎ On a

IE = IA + AE

= IB + BA + 2AB

= 1/2CB + BA + 2AB

= 1/2CA + 1/2AB − AB + 2AB

= 3/2AB − 1/2AC

∎ On a

IF = IA + AF

= IB + BA + 2/3AC

= 1/2CB + BA + 2/3AC

= 1/2CA + 1/2AB + BA + 2/3AC

= −1/2AB −1/2AC + 2/3AC

= −1/2AB + 1/6AC

3. Montrons que I est le milieu du segment [DE].

On montre que : DI = IE.

On a

DI = DF + FI

= DA + AF − IF

= CB + 2/3AC − (−1/2AB + 1/6AC)

= CA + AB + 2/3AC + 1/2AB − 1/6AC

= −AC + 2/3AC − 1/6AC + AB + 1/2AB

= −1/2AC + 3/2AB

= 3/2AB − 1/2AC

= IE

donc DI = IE. Ceci signifie que I est le milieu du segment [DE].

4. On déduit que les points I, E, F et D sont alignés.

On a I est milieu du segment [DE] donc, I, D et E sont alignés. (1)

On a IE = 3/2AB − 1/2AC et IF = −1/2AB + 1/6AC donc IE = −3IF d’où les points I, E et F sont alignés. (2)

D’après (1) et (2) on déduit que les points I, E, F et D sont alignés.

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Devoir surveillé barycentre dans le plan

Exercice 1

Soit ABC un triangle et G le barycentre du système pondéré : {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)}.

Soit M le milieu du segment [BC] et N le point du plan déterminé par : AN = 1/3AB.

  1. Montrer que : AG = 1/2AM et NG = 1/4NC.
  2. Montrer que (AM) et (CN) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection.
Exercice 2

Soient ABCD un rectangle de centre O et I le milieu du segment [AB].

  1. Construire les pointes suivants :

E : le centre de gravité du triangle ABC.

F : le barycentre des points (C, 1) et (D, 3).

2. Soit G le milieu du segment [ED].

Montrer que G est le barycentre du système pondéré : {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.

3. Montrer que : G ∈ (IF).

4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.

a) Déterminer des pointes pondéré (A, α) et (D, β).

b) Montrer que le milieu du segment [BC] appartient à la droite (GK).

5. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :

MA + MB + MC + MD∥ = ∥4MA − 2MB − 2MD

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1
  1. Montrons que : AG = 1/2AM.

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)} et M est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)}. Alors

2GM + 2GA = 0

⇔  2GA + 2AM + 2GA = 0

⇔  4GA = −2AM

⇔  AG = 1/2AM

∎ Montrons que : NG = 1/4NC.

NG = NA + AG

= −AN + 1/4AB + 1/4AC

= −1/3AB + 1/4AB + 1/4AC

= −1/12AB + 1/4AC

= 1/4(−1/3AB + AC)

= 1/4(NA + AC)

= 1/4NC

Donc

NG = 1/4NC

2. Montrons que (AM) et (CN) sont sécantes.

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)} . Ceci signifie que G ∈ (AM). (1)

D’autre part, on a

NG = 1/4NC

⇔  NG = 1/4(NG + GC)

⇔  NG − 1/4NG = 1/4GC

⇔  3/4NG = 1/4GC

⇔  3NG = GC

⇔  3GN + GC = 0

Comme (3 + 1 ≠ 0), alors G est le barycentre du système pondéré {(N, 3) ; (C, 1)}. Ceci signifie que G ∈ (CN). (2)

D’après (1) et (2) on en déduit que les droites (AM) et (CN) sont sécantes et leur point d’intersection est G.

Exercice 2
  1. ∎ La construction du point F.

On a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. Alors

CF = 3/4CD

∎ On a E est le centre de gravité du triangle ABC. Ceci signifie que E est l’intersection des droites (OB) et (IC).

2. Soit G le milieu du segment [ED] .

Montrons que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.

Notons H le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}, et comme E est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que H est le barycentre du système pondéré {(E, 3) ; (D, 3)}. Donc H est le milieu du segment [ED] . Ceci signifie que H = G, d’où G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.

3. Montrons que : G ∈ (IF).

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et I est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (C, 1) ; (D, 3)}. D’autre part, on a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (F, 4)}. Ceci signifie que G ∈ (IF).

4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.

a) On détermine (A, α) et (D, β).

On a

4AK = 3AD

⇔  4AK = 3AK + 3KD

⇔  AK − 3KD = 0

⇔  KA + 3KD = 0

Donc K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}.

b) Montrons que le milieu du segment [BC] appartient à (GK) :

Notons I′ le milieu du segment [BC] .

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et comme I′ est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (I′, 2) ; (D, 3)}. D’autre part, on a K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I′, 2) ; (K, 4)}. Ceci signifie que I′∈ (GK).

5. On détermine l’ensemble des points M du plan :

Cliquer ici pour télécharger devoir surveillé barycentre dans le plan (Correction du devoir)

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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