par Le barycentre dans le plan exercices corrigés 1 bac. (1ère s/ 1ère année bac)
Exercice 1 (Barycentre dans le plan exercices corrigés)
Soit ABC un triangle dans le plan et les points I et J sont les milieux respectifs du segment [AC] et [BC].
- Faire une figure.
- Soit G le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 3)}.
Calculer AG en fonction de AB et AC.
a) Montrer que les vecteurs IG et AB sont colinéaires.
b) Montrer que les points I, J et G sont alignés.
3. Soit D le point d’intersection des droites (AB) et (CG).
Calculer AD en fonction de AB.
Exercice 2 (Barycentre dans le plan exercices corrigés)
Soit ABC un triangle et G le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, −3/2)} , et I le point du plan défini par : AI = 4/3AB.
- Montrer que : AG = 4/3AB − AC.
- Montrer que la quadrilatère ACIG est une parallélogramme.
- Soit J le point d’intersection de (IG) et (BC).
- Calculer BJ en fonction BC.
- Montrer que : GC = 2/3AC et déduire que G est le barycentre du système pondéré :
{(A, 2) ; (J, 3) ; (C, −2)} .
Exercice 3 (Barycentre dans le plan exercices corrigés)
Soit ABC un triangle et le point I est le milieu du segment [BC] . E et F sont deux points tels que :
AE = 2AB et AF = 2/3AC.
D est le barycentre du système pondéré : {(A, 1) ; (B, −1) ; (C, 1)}.
- Montrer que : AD = BC. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD.
- Montrer que : IE = 3/2AB − 1/2AC et IF = −1/2AB + 1/6AC.
- Montrer que I est le milieu du segment [DE] .
- Déduire que les points I, E, F et D sont alignés.
Exercice 4
ABCD est un parallélogramme de centre O. G est le barycentre du système pondéré :
{(B, 2) ; (C, −1) ; (D, 2)}
et E est le barycentre du système pondéré {(B, 2) ; (C, −1)}.
- Vérifier que B est le milieu du segment [CE] .
- Exprimer AG en fonction de AB, AC et AD puis déduire que : AG = 1/3AC.
- Construire une figure.
- Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC.
- Montrer que les points D, G et E sont alignés.
- Soit I le point d’intersection des droites (DG) et (AB) et P la projection sur (DB) parallèlement sur (DC). On pose : G′ = P(G).
Montrer que :
DG′ = 2/3DB
Exercice 5
Soit ABCD un parallélogramme. On considère les points suivants :
∎ I et J les milieu respectifs de [AD] et [BC],
∎ K et L les points de [AB] tels que : AK = KL = LB,
∎ G est le barycentre du système pondéré : {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)}.
- Faire une figure correspondante.
a) Montrer que G est le milieu du segment [AJ].
b) En déduire que les droites (AJ) et (BJ) sont sécantes en G.
2. a) Montrer que G est le barycentre des points pondéré (K, 3) et (C, 1).
b) En déduire que G ∈ (CK).
3. a) Montrer que G est le barycentre des pointes pondéré (D, 1) et (L, 3).
b) Montrer que les droites (AJ) , (BI) , (CK) et (DL) sont concourantes au point G.
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Correction de la série
Exercice 1
- La figure
2. Soit G le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 3)} .
Calculons AG en fonction de AB et AC.
On a d’après la propriété caractéristique
(∀M ∈ (P)) , MA + 2MB + 3MC = 6MG
pour M = A, on obtient
2AB + 3AC = 6AG ⇔ AG = 1/3AB + 1/2AC
3. a) Montrons que les vecteurs IG et AB sont colinéaires.
On a I est le milieu de [AC] alors AI = 1/2AC, et comme AG = 1/3AB + 1/2AC
donc
AG = 1/3AB + AI
⇔ AG − AI = 1/3AB
⇔ AG + IA = 1/3AB
⇔ IG = 1/3AB
d’où les vecteurs IG et AB sont colinéaires.
b) Montrons que les points I, J et G sont alignés.
On a
IJ = IA + AJ
= −AI + (AB + BJ)
= −1/2AC + AB + 1/2BC
= −1/2AC + AB − 1/2AB + 1/2AC
= 1/2AB
et comme IG = 1/3AB alors AB = 3IG donc
IJ = 3/2IG
Ceci signifie que les vecteurs IJ et IG sont colinéaires, c’est-à-dire les points I, J et G sont alignés.
4. Soit D le point d’intersection des droites (AB) et (CG).
Calculons AD en fonction de AB.
On a I est le milieu de [AC] donc CI = 1/2CA et par passage à la norme on obtient
∥ CI ∥ = ∣1/2∣∥ CA ∥
c’est-à-dire CI = 1/2CA.
Comme (AD) ∥ (IG) alors on applique le théorème de Thalès direct dans le triangle ACD on obtient :
CI/CA = CG/CD = IG/AD
comme CI/CA = 1/2 alors IG/AD = 1/2 donc IG = 1/2AD et puisque les vecteurs IG et AD ont le même sens donc on obtient
IG = 1/2AD (*)
on sait que IG = 1/3AB et d’après (*) on obtient
AD = 2/3AB
Exercice 2
G est le barycentre du système pondéré { (A, 1) ; (B, 2) ; (C, −3/2)} .
- a) Montrons que : AG = 4/3AB − AC.
On a d’après la propriété caractéristique
(∀M ∈ (P)) , MA + 2MB − 3/2MC = 3/2MG
pour M = A, on obtient
2AB − 3/2AC = 3/2AG ⇔ AG = 4/3AB − AC
b) Montrons que ACIG est un parallélogramme.
On a
CI = CA + AI
= −AC + 4/3AB
= 4/3AB − AC
comme AG = 4/3AB − AC donc CI = AG. Ceci signifie que le quadrilatère ACIG est un parallélogramme.
2. Soit J le point d’intersection de (IG) et (BC).
a) Calculons BJ en fonction BC.
On a (IJ) ∥ (AC) donc d’après le théorème de Thalès direct on a BJ/BC = BI/BA (*)
D’autre part, on a
AI = 4/3AB
⇔ AB + BI = 4/3AB
⇔ BI = 4/3AB − AB
⇔ BI = 1/3AB
par passage à la norme on obtient BI = 1/3AB donc BI/AB = 1/3 et d’après (*) on obtient BJ/BC = 1/3 alors
BJ = 1/3BC
comme le vecteurs BJ et BC ont un sens opposés donc
BJ = − 1/3BC
b) Montrons que : GJ = 2/3AC.
On a
GJ = GB + BJ
= GA + AB + BJ
= −AG + AB − 1/3BC
= −4/3AB + AC + AB − 1/3BC
= −4/3AB + AC + AB − 1/3BA −1/3AC
= −4/3AB + 1/3AB + AB + AC − 1/3AC
= AC − 1/3AC
= 2/3AC
∎ On déduit que G est le barycentre du système {(A, 2) ; (J, 3) ; (C, −2)}.
On a GJ = 2/3AC donc
GJ = 2/3(AG + GC) ⇔ GJ = −2/3GA + 2/3GC ⇔ 3GJ + 2GA − 2GC = 0
puisque (3 + 2 − 2 ≠ 0) donc G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (J, 3) ; (C, −2)}.
Exercice 3
- Montrons que : AD = BC.
On a D est le barycentre du système pondéré : {(A, 1) ; (B, −1) ; (C, 1)}.
On a d’après la propriété caractéristique
(∀M ∈ (P)) , MA − MB + MC = MD
pour M = A, on obtient
−AB + AC = AD ⇔ BA + AC = AD ⇔ BC = AD
Ceci signifie que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
2. Montrons que : IE = 3/2AB − 1/2AC et IF = −1/2AB + 1/6AC.
∎ On a
IE = IA + AE
= IB + BA + 2AB
= 1/2CB + BA + 2AB
= 1/2CA + 1/2AB − AB + 2AB
= 3/2AB − 1/2AC
∎ On a
IF = IA + AF
= IB + BA + 2/3AC
= 1/2CB + BA + 2/3AC
= 1/2CA + 1/2AB + BA + 2/3AC
= −1/2AB −1/2AC + 2/3AC
= −1/2AB + 1/6AC
3. Montrons que I est le milieu du segment [DE].
On montre que : DI = IE.
On a
DI = DF + FI
= DA + AF − IF
= CB + 2/3AC − (−1/2AB + 1/6AC)
= CA + AB + 2/3AC + 1/2AB − 1/6AC
= −AC + 2/3AC − 1/6AC + AB + 1/2AB
= −1/2AC + 3/2AB
= 3/2AB − 1/2AC
= IE
donc DI = IE. Ceci signifie que I est le milieu du segment [DE].
4. On déduit que les points I, E, F et D sont alignés.
On a I est milieu du segment [DE] donc, I, D et E sont alignés. (1)
On a IE = 3/2AB − 1/2AC et IF = −1/2AB + 1/6AC donc IE = −3IF d’où les points I, E et F sont alignés. (2)
D’après (1) et (2) on déduit que les points I, E, F et D sont alignés.
Devoir surveillé barycentre dans le plan
Exercice 1
Soit ABC un triangle et G le barycentre du système pondéré : {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)}.
Soit M le milieu du segment [BC] et N le point du plan déterminé par : AN = 1/3AB.
- Montrer que : AG = 1/2AM et NG = 1/4NC.
- Montrer que (AM) et (CN) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection.
Exercice 2
Soient ABCD un rectangle de centre O et I le milieu du segment [AB].
- Construire les pointes suivants :
∎ E : le centre de gravité du triangle ABC.
∎ F : le barycentre des points (C, 1) et (D, 3).
2. Soit G le milieu du segment [ED].
Montrer que G est le barycentre du système pondéré : {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.
3. Montrer que : G ∈ (IF).
4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.
a) Déterminer des pointes pondéré (A, α) et (D, β).
b) Montrer que le milieu du segment [BC] appartient à la droite (GK).
5. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :
∥MA + MB + MC + MD∥ = ∥4MA − 2MB − 2MD∥
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
- Montrons que : AG = 1/2AM.
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)} et M est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)}. Alors
2GM + 2GA = 0
⇔ 2GA + 2AM + 2GA = 0
⇔ 4GA = −2AM
⇔ AG = 1/2AM
∎ Montrons que : NG = 1/4NC.
NG = NA + AG
= −AN + 1/4AB + 1/4AC
= −1/3AB + 1/4AB + 1/4AC
= −1/12AB + 1/4AC
= 1/4(−1/3AB + AC)
= 1/4(NA + AC)
= 1/4NC
Donc
NG = 1/4NC
2. Montrons que (AM) et (CN) sont sécantes.
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)} . Ceci signifie que G ∈ (AM). (1)
D’autre part, on a
NG = 1/4NC
⇔ NG = 1/4(NG + GC)
⇔ NG − 1/4NG = 1/4GC
⇔ 3/4NG = 1/4GC
⇔ 3NG = GC
⇔ 3GN + GC = 0
Comme (3 + 1 ≠ 0), alors G est le barycentre du système pondéré {(N, 3) ; (C, 1)}. Ceci signifie que G ∈ (CN). (2)
D’après (1) et (2) on en déduit que les droites (AM) et (CN) sont sécantes et leur point d’intersection est G.
Exercice 2
- ∎ La construction du point F.
On a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. Alors
CF = 3/4CD
∎ On a E est le centre de gravité du triangle ABC. Ceci signifie que E est l’intersection des droites (OB) et (IC).
2. Soit G le milieu du segment [ED] .
Montrons que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.
Notons H le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}, et comme E est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que H est le barycentre du système pondéré {(E, 3) ; (D, 3)}. Donc H est le milieu du segment [ED] . Ceci signifie que H = G, d’où G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.
3. Montrons que : G ∈ (IF).
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et I est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (C, 1) ; (D, 3)}. D’autre part, on a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (F, 4)}. Ceci signifie que G ∈ (IF).
4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.
a) On détermine (A, α) et (D, β).
On a
4AK = 3AD
⇔ 4AK = 3AK + 3KD
⇔ AK − 3KD = 0
⇔ KA + 3KD = 0
Donc K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}.
b) Montrons que le milieu du segment [BC] appartient à (GK) :
Notons I′ le milieu du segment [BC] .
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et comme I′ est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (I′, 2) ; (D, 3)}. D’autre part, on a K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I′, 2) ; (K, 4)}. Ceci signifie que I′∈ (GK).
5. On détermine l’ensemble des points M du plan :
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