par Devoir surveillé barycentre dans le plan. (1ère s/ 1ère année bac)
Exercice 1
Soit ABC un triangle et G le barycentre du système pondéré : {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)}.
Soit M le milieu du segment [BC] et N le point du plan déterminé par : AN = 1/3AB.
- Montrer que : AG = 1/2AM et NG = 1/4NC.
- Montrer que (AM) et (CN) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection.
Exercice 2
Soient ABCD un rectangle de centre O et I le milieu du segment [AB].
- Construire les pointes suivants :
∎ E : le centre de gravité du triangle ABC.
∎ F : le barycentre des points (C, 1) et (D, 3).
2. Soit G le milieu du segment [ED].
Montrer que G est le barycentre du système pondéré : {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.
3. Montrer que : G ∈ (IF).
4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.
a) Déterminer des pointes pondéré (A, α) et (D, β).
b) Montrer que le milieu du segment [BC] appartient à la droite (GK).
5. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :
∥MA + MB + MC + MD∥ = ∥4MA − 2MB − 2MD∥
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Correction du devoir surveillé sur le barycentre dans le plan
Exercice 1
- Montrons que : AG = 1/2AM.
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)} et M est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)}. Alors
2GM + 2GA = 0
⇔ 2GA + 2AM + 2GA = 0
⇔ 4GA = −2AM
⇔ AG = 1/2AM
∎ Montrons que : NG = 1/4NC.
NG = NA + AG
= −AN + 1/4AB + 1/4AC
= −1/3AB + 1/4AB + 1/4AC
= −1/12AB + 1/4AC
= 1/4(−1/3AB + AC)
= 1/4(NA + AC)
= 1/4NC
Donc
NG = 1/4NC
2. Montrons que (AM) et (CN) sont sécantes.
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)} . Ceci signifie que G ∈ (AM). (1)
D’autre part, on a
NG = 1/4NC
⇔ NG = 1/4(NG + GC)
⇔ NG − 1/4NG = 1/4GC
⇔ 3/4NG = 1/4GC
⇔ 3NG = GC
⇔ 3GN + GC = 0
Comme (3 + 1 ≠ 0), alors G est le barycentre du système pondéré {(N, 3) ; (C, 1)}. Ceci signifie que G ∈ (CN). (2)
D’après (1) et (2) on en déduit que les droites (AM) et (CN) sont sécantes et leur point d’intersection est G.
Exercice 2
- ∎ La construction du point F.
On a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. Alors
CF = 3/4CD
∎ On a E est le centre de gravité du triangle ABC. Ceci signifie que E est l’intersection des droites (OB) et (IC).
2. Soit G le milieu du segment [ED] .
Montrons que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.
Notons H le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}, et comme E est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que H est le barycentre du système pondéré {(E, 3) ; (D, 3)}. Donc H est le milieu du segment [ED] . Ceci signifie que H = G, d’où G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.
3. Montrons que : G ∈ (IF).
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et I est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (C, 1) ; (D, 3)}. D’autre part, on a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (F, 4)}. Ceci signifie que G ∈ (IF).
4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.
a) On détermine (A, α) et (D, β).
On a
4AK = 3AD
⇔ 4AK = 3AK + 3KD
⇔ AK − 3KD = 0
⇔ KA + 3KD = 0
Donc K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}.
b) Montrons que le milieu du segment [BC] appartient à (GK) :
Notons I′ le milieu du segment [BC] .
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et comme I′ est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (I′, 2) ; (D, 3)}. D’autre part, on a K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I′, 2) ; (K, 4)}. Ceci signifie que I′∈ (GK).
5. On détermine l’ensemble des points M du plan :
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