Devoir surveillé barycentre dans le plan

Devoir surveillé barycentre dans le plan

Devoir surveillé barycentre dans le plan. (1ère s/ 1ère année bac)

Exercice 1

Soit ABC un triangle et G le barycentre du système pondéré : {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)}.

Soit M le milieu du segment [BC] et N le point du plan déterminé par : AN = 1/3AB.

  1. Montrer que : AG = 1/2AM et NG = 1/4NC.
  2. Montrer que (AM) et (CN) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection.
Exercice 2

Soient ABCD un rectangle de centre O et I le milieu du segment [AB].

  1. Construire les pointes suivants :

E : le centre de gravité du triangle ABC.

F : le barycentre des points (C, 1) et (D, 3).

2. Soit G le milieu du segment [ED].

Montrer que G est le barycentre du système pondéré : {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.

3. Montrer que : G ∈ (IF).

4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.

a) Déterminer des pointes pondéré (A, α) et (D, β).

b) Montrer que le milieu du segment [BC] appartient à la droite (GK).

5. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :

MA + MB + MC + MD∥ = ∥4MA − 2MB − 2MD

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1
  1. Montrons que : AG = 1/2AM.

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)} et M est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)}. Alors

2GM + 2GA = 0

⇔  2GA + 2AM + 2GA = 0

⇔  4GA = −2AM

⇔  AG = 1/2AM

∎ Montrons que : NG = 1/4NC.

NG = NA + AG

= −AN + 1/4AB + 1/4AC

= −1/3AB + 1/4AB + 1/4AC

= −1/12AB + 1/4AC

= 1/4(−1/3AB + AC)

= 1/4(NA + AC)

= 1/4NC

Donc

NG = 1/4NC

2. Montrons que (AM) et (CN) sont sécantes.

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)} . Ceci signifie que G ∈ (AM). (1)

D’autre part, on a

NG = 1/4NC

⇔  NG = 1/4(NG + GC)

⇔  NG − 1/4NG = 1/4GC

⇔  3/4NG = 1/4GC

⇔  3NG = GC

⇔  3GN + GC = 0

Comme (3 + 1 ≠ 0), alors G est le barycentre du système pondéré {(N, 3) ; (C, 1)}. Ceci signifie que G ∈ (CN). (2)

D’après (1) et (2) on en déduit que les droites (AM) et (CN) sont sécantes et leur point d’intersection est G.

Exercice 2
  1. ∎ La construction du point F.

On a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. Alors

CF = 3/4CD

∎ On a E est le centre de gravité du triangle ABC. Ceci signifie que E est l’intersection des droites (OB) et (IC).

2. Soit G le milieu du segment [ED] .

Montrons que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.

Notons H le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}, et comme E est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que H est le barycentre du système pondéré {(E, 3) ; (D, 3)}. Donc H est le milieu du segment [ED] . Ceci signifie que H = G, d’où G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.

3. Montrons que : G ∈ (IF).

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et I est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (C, 1) ; (D, 3)}. D’autre part, on a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (F, 4)}. Ceci signifie que G ∈ (IF).

4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.

a) On détermine (A, α) et (D, β).

On a

4AK = 3AD

⇔  4AK = 3AK + 3KD

⇔  AK − 3KD = 0

⇔  KA + 3KD = 0

Donc K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}.

b) Montrons que le milieu du segment [BC] appartient à (GK) :

Notons I′ le milieu du segment [BC] .

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et comme I′ est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (I′, 2) ; (D, 3)}. D’autre part, on a K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I′, 2) ; (K, 4)}. Ceci signifie que I′∈ (GK).

5. On détermine l’ensemble des points M du plan :

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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