Devoir surveillé sur les suites numériques et le barycentre

Devoir surveillé sur les suites numériques et le barycentre dans le plan. (1ère année bac s.exp/ 1ère s)

Exercice 1

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite définie par : u₀ = 3/2 et (∀n ∈ ℕ), u_n+1 = 4u_n/u_n+3

1. • Calculer u₁ et u₂.
   • Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , u_n > 1.
2. Étudier la monotonie de la suite (u_n)_n∈ℕ.
3. Pour tout n ∈ ℕ, on pose v_n = u_n/u_n−1.
   • Montrer que la suite (v_n)_n∈ℕ est géométrique de raison q = 4/3 et calculer v₀.
   • Exprimer v_n en fonction de n, puis en déduire que : (∀n ∈ ℕ), u_n = 3/3−(3/4)ⁿ.
4. On pose : S_n = v₀ + v₁ + … + v_n où n ∈ ℕ. Calculer S_n en fonction de n.

Exercice 2

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite définie par : u₀ = 3/2 et (∀n ∈ ℕ), u_n+1 = u_n²+u_n/u_n²+1.

1. Montrer que : (∀n ∈ ℕ), u_n ≥ 1.
2. • Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , u_n+1 − 1 ≤ 1/2(u_n − 1).
   • En déduire que : (∀n ∈ ℕ) , 0 ≤ u_n − 1 ≤ (1/2)ⁿ.

Exercice 3

Soit ABC un triangle, et soit G le barycentre du système pondéré {(A, 3),(B, −1),(C, 2)}

Soit I le barycentre du système pondéré {(A, 3),(B, −1)} , et soit K le barycentre du système pondéré {(B, −1),(C, 2)}.

1. Exprimer AG en fonction de AB et AC , puis montrer que : BK = 2BC et AI = −1/2AB.
2. Construire les points G, K et I.
3. Montrer que G est le milieu du segment [CI].
4. Montrer que : G ∈ (AK).
5. Soit F le barycentre des points (A, 3) et (C, 2). Montrer que : G ∈ (BF), puis déduire que les droites (CI) , (AK) et (BF) sont sécantes en un point qu’on déterminera.

Cliquer ici pour télécharger le devoir surveillé sur les suites numériques et le barycentre

Correction du devoir surveillé

Exercice 1

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite définie par : { (∀n ∈ ℕ), u_n+1 = 4u_n/u_n+3 et u₀ = 3/2

1. a) On a : u₁ = 4u₀/u₀+3 = 4×3/2/3/2+3 = 4/3 et u₂ = 4u₁/u₁+3 = 4×4/3/4/3+3 = 16/3.

b) Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , u_n > 1.

Pour n = 0, on a u₀ = 3/2 et comme u₀ > 1 donc la proposition est vraie pour n = 0.

Soit n ∈ ℕ. On suppose que u_n > 1 et on montre que u_n+1 > 1.

On a :

u_n+1 − 1 = 4u_n/u_n+3 − 1 = 4u_n−(u_n + 3)/u_n+3 = 3(u_n − 1)/u_n+3

et comme u_n > 1 alors u_n − 1 > 0 donc { 3(u_n − 1) > 0 et u_n + 3 > 0 d’où 3(u_n − 1)/u_n+3 > 0

c’est-à-dire u_n+1 > 1.

On conclut d’après le principe de récurrence que : (∀n ∈ ℕ) , u_n > 1.

2. Étudions la monotonie de la suite (u_n)_n∈ℕ :

Exercice 3

1. Exprimons AG en fonction de AB et AC :

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 3);(B, −1);(C, 2)} donc d’après la propriété caractéristique :

(∀M ∈ (P)), 3MA − MB + 2MC = 4MG

Pour M = A, on obtient −AB + 2AC = 4AG donc AG = −1/4AB + 1/2AC.

On a I est le barycentre du système pondéré {(A, 3);(B, −1)} donc (∀M ∈ (P)), 3MA − MB = 2MI d’où AI = −1/2AB (pour M = A).

De même on montre que : BK = 2BC.

Cliquer ici pour télécharger la correction du devoir

Vous pouvez aussi consulter :

• Barycentre dans le plan exercices corrigés
• Les suites numériques 1 bac exercices corrigés