Devoir surveillé sur le calcul trigonométrique (N° 2)

Devoir surveillé sur le calcul trigonométrique 1 bac (N° 2). (1ère s/ 1ère année bac)

Exercice 1

Pour tout x ∈ ℝ, on pose ƒ(x) = 2cos²x + √3sin2x

1. Montrer que : (∀x ∈ ℝ), 2sin(x + π/6) = cosx + √3sinx.
2. Montrer que : (∀x ∈ ℝ), ƒ(x) = 2cosx(cosx + √3sinx).
3. En déduire que : (∀x ∈ ℝ), ƒ(x) = 4cosxsin(x + π/6).
4. Résoudre dans [−π, π] l’équation : ƒ(x) = 0.

Exercice 2

1. Résoudre dans ]−π, π[ les équations suivantes : (E₁) : 2cosx − 1 = 0 et (E₂) : 2sinx − √3 = 0.
2. Pour tout x ∈ ℝ, on pose ƒ(x) = 2sin2x − 4sin(x + π/3) + √3

a) Calculer ƒ(π/2) et ƒ(π/4).

b) Montrer que : (∀x ∈ ℝ), ƒ(x) = (2cosx − 1)(2sinx − √3).

3. Résoudre dans [−π, π] l’inéquation (I) : ƒ(x) > 0.

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Correction du devoir surveillé (N° 2)

Exercice 1

Pour tout x ∈ ℝ, on pose ƒ(x) = 2cos²x + √3sin2x

1. Montrons que : (∀x ∈ ℝ), 2sin(x + π/6) = cosx + √3sinx.

Soit x ∈ ℝ, on a

2sin(x + π/6) = 2(sinx.cosπ/6 + cosxsinπ/6) = 2(√3/2sinx + 1/2cosx) = cosx + √3sinx

2. Montrons que : (∀x ∈ ℝ), ƒ(x) = 2cosx(cosx + √3sinx).

Soit x ∈ ℝ, on a

ƒ(x) = 2cos²x + √3sin2x = 2cos²x + 2√3sinxcosx = 2cosx(cosx + √3sinx)

3. On déduit que : (∀x ∈ ℝ), ƒ(x) = 4cosxsin(x + π/6).

Soit x ∈ ℝ, on a

On a ƒ(x) = 2cosx(cosx + √3sinx) et comme cosx + √3sinx = 2sin(x + π/6) donc ƒ(x) = 4cosxsin(x + π/6).

4. Résolvons dans [−π, π] l’équation ƒ(x) = 0.

Soit x ∈ [−π, π].

ƒ(x) = 0

⇔ 4cosxsin(x + π/6) = 0

⇔ 4cosx = 0 ou sin(x + π/6) = 0

⇔ cosx = 0 ou sin(x + π/6) = 0

⇔ x = π/2 + kπ ou x + π/6 = kπ / k ∈ ℤ

⇔ x = π/2 + kπ ou x = −π/6 + kπ / k ∈ ℤ

Comme x ∈ [−π, π] alors

∎ −π ≤ π/2 + kπ ≤ π ⇔ −1 ≤ 1/2 + k ≤ 1 ⇔ −3/2 ≤ k ≤ 1/2. Puisque k ∈ ℤ alors k ∈ {−1, 0}. Donc x = −π/2 ou x = π/2.

∎ −π ≤ −π/6 + kπ ≤ π ⇔ −1 ≤ −1/6 + k ≤ 1 ⇔ −5/6 ≤ k ≤ 7/6. Puisque k ∈ ℤ alors k ∈ {0, 1}. Donc x = −π/6 ou x = 5π/6.

donc l’ensemble des solutions de l’équation ƒ(x) = 0 dans [−π, π] est :

S = {−π/2, −π/6, π/2, 5π/6}

Exercice 2

1. ∎ Résolvons dans ]−π, π[ l’équation (E) : 2cosx − 1 = 0.

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