Devoir surveillé sur le produit scalaire 1 bac

Devoir surveillé sur le produit scalaire 1 bac. (1ère s/ 1ère année bac)

Dans tout ce qui suit, le plan est rapporté à un repère orthonormé (O , i , j)

Exercice 1

On considère les points A(4, −3) et B(11, −2). Soit (D) la droite passant par B et perpendiculaire à la droite (OA) et (C) le cercle de centre A et de rayon R = 5.

1. Montrer que x² + y² − 8x + 6y = 0 est une équation cartésienne du cercle (C).
   1. Calculer la distance AB.
   2. Déduire que le point B est à l’extérieure du cercle (C).
   1. Vérifier que : 4x − 3y − 50 = 0 est une équation cartésienne de la droite (D).
   2. Montrer que (D) est tangente au cercle (C).
   1. Vérifier que le point E(7, 1) appartient à (C).
   2. Donner une équation cartésienne de la tangente (∆) au cercle (C) au point E.
   3. Montrer que : (D) ⊥ (∆).

Exercice 2

On considère les points : A(−1, 2), B(−2, 1) et C(2, −1).

1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
2. Déterminer une équation cartésienne de (BC).
3. Calculer cos (OA, OB) et sin (OA, OB).
4. Montrer que le triangle OAC est isocèle.

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Correction du devoir surveillé sur le produit scalaire 1 bac

Exercice 1

1. On cherche une équation cartésienne du cercle (C) :

Une équation cartésienne du cercle (C) de centre A(4, −3) et de rayon R = 5 est :

(x − 4)² + (y + 3)² = 5²

que l’on peut écrire

x² + y² − 8x + 6y = 0

2. a) Calculons AB :

On a

AB = √(x_B − x_A)²+(y_B − y_A)²

= √(11 − 4)²+(−2 + 3)²

= √7²+1²

= √50

b) On a AB = √50 > 5 = R, donc le point B est à l’extérieure du cercle (C).

3. a) Montrons que : 4x − 3y − 50 = 0 est une équation cartésienne de (D) :

On a OA(4, −3) est un vecteur normal à la droite (D) donc une équation cartésienne de la droite (D) s’écrit sous la forme

4x − 3y + c = 0

et comme B ∈ (D) alors

4x_B − 3y_B + c = 0 ⇔ 4 × 11 − 3 × (−2) + c = 0 ⇔ c = − 50

donc (D) : 4x − 3y − 50 = 0.

b) Vérifions que (D) est tangente au cercle (C).

Calculons d(A, (D)) :

d(A, (D)) = ∣4x_A − 3y_A − 50∣/√4²+(−3)²

= ∣4 × 4 − 3 × (−3) − 50∣/√16+9

= ∣16 + 9 − 50∣/5

= ∣25 − 50∣/5 = 5 = R

donc la droite (D) est tangente au cercle (C).

4. a) On a E(7, 1) alors

x_E² + y_E² − 8x_E + 6y_E = 7² + 1² − 8 × 7 + 6 × 1 = 50 − 50 = 0

donc E ∈ (C).

b) On cherche une équation cartésienne de la tangente (∆) au cercle (C) en E.

Méthode 1. On utilise la formule du cours on obtient

(x − x_E)((−8)/2 + x_E) + (y − y_E)(6/2 + 1) = 0

c’est-à-dire

(x − 7)((−8)/2 + 7) + (y − 1)(6/2 + 1) = 0 ⇔ 3(x − 7) + 4(y − 1) = 0 ⇔ 3x + 4y − 25

donc une équation cartésienne de la tangente (∆) est : 3x + 4y − 25 = 0.

Méthode 2.

Soit M(x, y) un point du plan.

M(x, y) ∊ (∆) ⇔ EM. EA = 0

⇔ −3(x − 7) − 4(y − 1) = 0

⇔ −3x + 21 − 4y + 4 = 0

⇔ −3x − 4y + 25 = 0

⇔ 3x + 4y − 25 = 0

donc une équation cartésienne de la tangente (∆) est : 3x + 4y − 25 = 0.

c) Montrons que (D) ⊥ (∆) :

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Vous pouvez aussi consulter :

• Devoir surveillé sur l’analytique du produit scalaire
• Exercices sur le produit scalaire et ses applications