Devoir surveillé sur la logique et les fonctions

Devoir surveillé sur la logique et les fonctions numériques. (1ère s/ 1ère année bac)

Exercice 1

1. Montrer que : (∀x ∈ ℝ⁺) , 2x/1+x² ≤ 1 et ∀(a, b) ∈ ([0, +∞[)² , a + b ≥ 2√ab.
2. On considère l’assertion suivante : P : (∀y ∈ ℝ⁺)(∃x ∈ ℝ), 2x/1+x² > √y.
   1. Donner la négation de P.
   2. Montrer que P est fausse.
3. Donner la négation des assertions suivantes :

R : (∀x ∈ ℝ)(∃k ∈ ℤ), k ≤ x < x + 1 et F : ∀(α, β) ∈ ℝ², (α − β > 1 ⇒ ∃n ∈ ℤ, α < n < β)

Exercice 2

1. Montrer que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)² , a²/a+b ≥ 3a−b/4.
2. Montrer que : √2 + √3 ∉ ℚ.
3. Montrer par la contraposée que : (∀n ∈ ℕ), n²/5 ∈ ℕ ⇒ n/5 ∈ ℕ
4. Soient a, b, x et y des réels non nuls. Montrer que : ax + by = 1 ⇒ 1/x²+y² ≤ a² + b².

Exercice 3

1. Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , √x²+1 + 1/2(x + 2) > 0.
2. Résoudre dans ℝ l’équation suivante (E) : 3 − 2∣x − 4∣ = 2x + 5.
3. Pour tout n ∈ ℕ*. On pose : S_n = 1 + 1/3 + 1/3² + … + 1/3ⁿ.
   1. Calculer S₁ , S₂ et S₃.
   2. Montrer que : (∀n ∈ ℕ*) , S_n = 3/2 − 1/2×3ⁿ.

Exercice 4

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

ƒ(x) = √2x²−3x+1 , g(x) = 1/∣x+2∣−∣x+1∣ et h(x) = x−1/x²+2x−3

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

1. Montrons que : (∀x ∈ ℝ⁺) , 2x/1+x² ≤ 1 et ∀(a, b) ∈ ([0, +∞[)² , a + b ≥ 2√ab.

∎ Soit x ∈ ℝ⁺.

2x/1+x² ≤ 1 ⇔ 2x ≤ 1 + x² ⇔ 0 ≤ x² − 2x + 1 ⇔ 0 ≤ (x − 1)²

comme 0 ≤ (x − 1)² est une assertion vraie pour tout x ∈ ℝ⁺. Donc

(∀x ∈ ℝ⁺) , 2x/1+x² ≤ 1

∎ Soit (a, b) ∈ ([0, +∞[)².

a + b ≥ 2√ab ⇔ √a² − 2√ab + √b² ≥ 0 ⇔ (√a − √b)² ≥ 0

comme (√a − √b)² ≥ 0 est une assertion vraie pour tous a, b ∈ ℝ⁺. Donc

∀(a, b) ∈ ([0, +∞[)² , a + b ≥ 2√ab.

2. On considère l’assertion suivante : P : (∀y ∈ ℝ⁺)(∃x ∈ ℝ), 2x/1+x² > √y.

a) La négation de l’assertion P.

P⁻ : (∃y ∈ ℝ⁺) (∀x ∈ ℝ) , 2x/1+x² ≤ √y.

b) Montrons que P est fausse.

On peut prendre y = 1 tel que l’assertion 2x/1+x² ≤ √1 est vraie pour tout x ∈ ℝ.

Ceci signifie que l’assertion P⁻ est vraie ce qui entraine que l’assertion P est fausse.

3. La négation des assertions R et F :

∎ La négation de l’assertion R est R⁻ : (∃x ∈ ℝ)(∀k ∈ ℤ) , k > x ou x ≥ x + 1.

∎ La négation de l’assertion F est F⁻ : ∃(α, β) ∈ ℝ², α − β > 1 et (∀n ∈ ℤ, α ≥ n ou n ≥ β).

Exercice 2

1. Montrons que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)² , a²/a+b ≥ 3a−b/4.

Soit (a, b) ∈ (]0, +∞[)².

a²/a+b ≥ 3a−b/4 ⇔ a²/a+b − 3a−b/4 ≥ 0

⇔ 4a²−3a²−3ab+ab+b²/4(a+b) ≥ 0

⇔ a²−2ab+b²/4(a+b) ≥ 0

⇔ (a − b)²/4(a+b) ≥ 0

comme (a − b)²/4(a+b) ≥ 0 est une assertion vraie pour tout a, b ∈ ]0, +∞[, donc

∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)² , a²/a+b ≥ 3a−b/4.

2. Montrons que : √2 + √3 ∉ ℚ.

On suppose par l’absurde que (√2 + √3) ∈ ℚ, alors il existe (p, q) ∈ ℤ × ℕ* tel que

√2 + √3 = p/q

alors

(√2 + √3)² = (p/q)²

c’est-à-dire

5 + 2√6 = p²/q²

par suite

2√6 = p²−5q²/q²

donc √6 = p²−5q²/2q² ∈ ℚ. C’est une contradiction car √6 ∉ ℚ. On conclut que

(√2 + √3) ∉ ℚ.

3. Montrons par la contraposée que : (∀n ∈ ℕ), n²/5 ∈ ℕ ⇒ n/5 ∈ ℕ.

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Vous pouvez aussi consulter :

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