Devoir surveillé sur la logique et les fonctions

Devoir surveillé sur la logique et les fonctions

Devoir surveillé sur la logique et les fonctions numériques. (1ère s/ 1ère année bac)

Exercice 1
  1. Montrer que : (∀x+) , 2x/1+x21 et ∀(a, b) ∈ ([0, +∞[)2 , a + b2√ab.
  2. On considère l’assertion suivante : P : (∀y+)(∃x), 2x/1+x2 > √y.
    1. Donner la négation de P.
    2. Montrer que P est fausse.
  3. Donner la négation des assertions suivantes :

R : (∀x)(∃k), k x < x + 1 et F : ∀(α, β) ∈ 2, (α − β > 1 ⇒ ∃n, α < n < β)

Exercice 2
  1. Montrer que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2 , a2/a+b 3a−b/4.
  2. Montrer que : √2 + √3 .
  3. Montrer par la contraposée que : (∀n), n2/5n/5
  4. Soient a, b, x et y des réels non nuls. Montrer que : ax + by = 11/x2+y2 a2 + b2.
Exercice 3
  1. Montrer que : (∀x) , √x2+1 + 1/2(x + 2) > 0.
  2. Résoudre dans l’équation suivante (E) : 3 − 2x − 4= 2x + 5.
  3. Pour tout n*. On pose : Sn = 1 + 1/3 + 1/32 + … + 1/3n.
    1. Calculer S1 , S2 et S3.
    2. Montrer que : (∀n*) , Sn = 3/2 − 1/2×3n.
Exercice 4

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

ƒ(x) = √2x2−3x+1 , g(x) = 1/∣x+2∣−∣x+1∣ et h(x) = x−1/x2+2x−3

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1
  1. Montrons que : (∀x +) , 2x/1+x2 1 et ∀(a, b) ∈ ([0, +∞[)2 , a + b 2√ab.

∎ Soit x+.

2x/1+x2 1 ⇔ 2x1 + x20 x2 − 2x + 1 ⇔ 0 ≤ (x − 1)2

comme 0 ≤ (x − 1)2 est une assertion vraie pour tout x+. Donc

(∀x+) , 2x/1+x2 1

∎ Soit (a, b) ∈ ([0, +∞[)2.

a + b2√ab ⇔ √a2 − 2√ab + √b20 ⇔ (√a − √b)20

comme (√a − √b)2 0 est une assertion vraie pour tous a, b+. Donc

∀(a, b) ∈ ([0, +∞[)2 , a + b2√ab.

2. On considère l’assertion suivante : P : (∀y+)(∃x ), 2x/1+x2 > √y.

a) La négation de l’assertion P.

P : (∃y+) (∀x) , 2x/1+x2 √y.

b) Montrons que P est fausse.

On peut prendre y = 1 tel que l’assertion 2x/1+x2√1 est vraie pour tout x .

Ceci signifie que l’assertion P est vraie ce qui entraine que l’assertion P est fausse.

3. La négation des assertions R et F :

∎ La négation de l’assertion R est R : (∃x)(∀k) , k > x ou xx + 1.

∎ La négation de l’assertion F est F : ∃(α, β) ∈ 2, α − β > 1 et (∀n, αn ou n β).

Exercice 2
  1. Montrons que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2 , a2/a+b3a−b/4.

Soit (a, b) ∈ (]0, +∞[)2.

a2/a+b 3a−b/4a2/a+b − 3a−b/40

4a2−3a2−3ab+ab+b2/4(a+b) ≥ 0

a2−2ab+b2/4(a+b) ≥ 0

⇔ (a − b)2/4(a+b) ≥ 0

comme (a − b)2/4(a+b) ≥ 0 est une assertion vraie pour tout a, b ∈ ]0, +∞[, donc

∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2 , a2/a+b 3a−b/4.

2. Montrons que : √2 + √3 .

On suppose par l’absurde que (√2 + √3) ∈ , alors il existe (p, q) ∈ × * tel que

√2 + √3 = p/q

alors

(√2 + √3)2 = (p/q)2

c’est-à-dire

5 + 2√6 = p2/q2

par suite

2√6 = p2−5q2/q2

donc √6 = p2−5q2/2q2. C’est une contradiction car √6. On conclut que

(√2 + √3) ∉ .

3. Montrons par la contraposée que : (∀n), n2/5n/5.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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