par Devoir maison sur les polynômes. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)
Exercice 1
- Le reste de la division euclidienne d’un polynôme P(x) par (x − 1) est 6, et le reste de la division euclidienne de P(x) par (x − 2) est 8.
Quel est le reste de la division euclidienne du polynôme P(x) par (x − 1)(x − 2) ?
2. Généralisation. Si a ≠ b, donner le reste de la division euclidienne de P(x) par (x − a)(x − b) en fonction de P(a) et P(b).
Exercice 2
Déterminer a et b pour que le polynôme P(x) = x3 + ax + b soit divisible par le polynôme Q(x) = x2 + 3x − 1.
Exercice 3
Déterminer α ∈ ]0, +∞[ tel que le polynôme définie par P(x) = x3 − 3x + α ait une racine double.
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Correction du devoir maison sur les polynômes
Exercice 1
- On cherche le reste de la division euclidienne de P(x) par (x − 1)(x − 2).
Dans la division euclidienne de P(x) par (x − 1)(x − 2), il existe un unique couple (Q(x), R(x)) tels que :
P(x) = Q(x)(x − 1)(x − 2) + R(x) avec deg (R(x)) < deg ((x − 1)(x − 2)) = 2
on remarque que R(x) est de degré au plus 1 et s’écrit donc R(x) = ax + b. D’où
P(x) = Q(x)(x − 1)(x − 2) + ax + b
pour x = 1, on obtient : P(1) = a + b. De même pour x = 2 on obtient P(2) = 2a + b. D’où on trouve le système suivant :
{ P(1) = a + b et P(2) = 2a + b (*)
D’autre part, dans la division euclidienne du polynôme P(x) par (x − 1) donne
P(x) = S(x)(x − 1) + 6
donc P(1) = 6. De même on obtient que P(2) = 8. D’où le système (*) devient
{ 6 = a + b et 8 = 2a + b éq : { 6 = a + b (1) et −8 = −2a − b (2)
On fait la somme d’équation (1) et (2), on obtient
−2 = −a éq : a = 2
On remplace a par 2 dans la 1ère équation on obtient
6 = a + b éq : 6 = 2 + b éq : b = 4
Donc le reste est : R(x) = 2x + 4.
2. Généralisation. Si a ≠ b, on cherche la division euclidienne de P(x) par (x − a)(x − b) :
Dans la division euclidienne de P(x) par (x − a)(x − b), il reste un unique couple (Q(x), R(x)) tels que :
P(x) = Q(x)(x − a)(x − b) + R(x) avec deg (R(x)) < deg ((x − a)(x − b)) = 2
on remarque que R(x) est de degré au plus 1 et s’écrit donc R(x) = αx + β. D’où
P(x) = Q(x)(x − a)(x − b) + αx + β
pour x = a, on obtient : P(a) = αa + β. De même par x = b on obtient P(b) = αb + β.
D’où on trouve le système suivant :
{ P(a) = αa + β et P(b) = αb + β éq : { P(a) = αa + β (1) et −P(b) = −αb − β (2)
On fait la somme de l’équation (1) et (2), on obtient :
P(a) − P(b) = α(a − b) éq : α = P(a)−P(b)/a−b , (a − b ≠ 0)
On remplace α par P(a)−P(b)/a−b dans la 1ére équation on obtient
P(a) = αa + β
éq : P(a) = a × P(a)−P(b)/a−b + β
éq : β = P(a) − a(P(a)−P(b))/a−b = aP(b)−bP(a)/a−b
Donc le reste est :
R(x) = P(a)−P(b)/a−bx + aP(b)−bP(a)/a−b
Exercice 2
On cherche a et b pour que le polynôme P(x) soit divisible par Q(x).
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