Les fonctions numériques 1er bac

Les fonctions numériques 1er bac.(première s/1ère année bac)

Généralités sur les fonctions numériques (Rappelle et complément)

Définition générale d’une fonction (Les fonctions numériques 1er bac)

Définition 1 (Les fonctions numériques 1er bac)

Une fonction est une relation qui permet d’associer à un élément x, au plus un autre élément appelé image. On note cette fonction par : ƒ , g , h, …

• On représente la fonction ƒ par :

ƒ E →  F

x →  ƒ(x)

∎ L’image d’un élément x par ƒ sera notée ƒ(x).

∎ L’ensemble E appelé ensemble de départ.

∎ L’ensemble F appelé ensemble d’arrivé.

Remarque 2 (Les fonctions numériques 1er bac)

Il faut faire la différence entre la fonction ƒ qui représente une relation et ƒ(x) qui représente l’image de x par ƒ qui est un élément.

Exemple 3

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ [−1, 4[ →  ℝ 

x → x² + 2x − 3

On a : ƒ(1) = 1² + 2 × 1 − 3 = 0. C’est-à-dire 0 est l’image de 1 par la fonction ƒ.

L’ensemble de définition d’une fonction (Les fonctions numériques 1er bac)

Définition 4

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x.

L’ensemble de définition de la fonction ƒ est l’ensemble des nombres réels x qui possèdent une image par cette fonction. L’ensemble de définition de la fonction ƒ est notée : D_ƒ tel que :

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ ƒ(x) ∈ ℝ} 

Exemple 5

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions numériques suivantes ƒ , h, g et M telles que :

ƒ(x) = 2x/x−1 , h(x) = √x−1 , g(x) = x²+4/x²−1 et M(x) = x³ + 5x − 1

• Pour la fonction ƒ :

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ x − 1 ≠ 0}

= {x ∈ ℝ/ x ≠ 1}

= ]−∞, 1[∪]1, +∞[

• Pour la fonction h :

D_h = {x ∈ ℝ/ x − 1 ≥ 0}

= {x ∈ ℝ/ x ≥ 1}

= [1, +∞[

• Pour la fonction g :

D_g = {x ∈ ℝ/ x² − 1 ≠ 0}

On résout l’équation : x² − 1 = 0.

x² − 1 = 0 ⇔  (x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ou x = −1

Donc

D_g = {x ∈ ℝ/ x ≠ 1 et x ≠ − 1}

= ℝ ∖ {− 1, 1}

= ]−∞, −1[∪]−1, 1[∪]1, +∞[

• Pour la fonction M :

M est une fonction polynomiale. Donc : D_M = ℝ.

Égalité de deux fonctions (Les fonctions numériques 1er bac)

Définition 6

Soient ƒ et g deux fonctions numériques définies respectivement sur D_ƒ et D_g. Les deux fonctions ƒ et g sont égales si, et seulement si :

• Ces deux fonctions ont même ensemble de définition. C’est-à-dire : D_ƒ = D_g.

• Pour tout réel x de l’ensemble de définition D_ƒ, on a : ƒ(x) = g(x).

Remarque 7

En particulier deux fonctions sont égales si, et seulement si, leurs représentations graphiques relativement à un repère donnée sont confondues.

Exemple 8

On considère les deux fonctions numériques ƒ et g définies par : ƒ(x) = ∣x + 2∣ et g(x) = √x²+4x+4

Est-ce-que les fonctions ƒ et g sont égales ?

Graphe d’une fonction

Définition 9

Soit ƒ la fonction numérique définie sur D_ƒ. (D_ƒ ⊂ ℝ)

La représentation graphique ou courbe de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ) est l’ensemble des points M(x , ƒ(x)) noté (C_ƒ) tel que x ∈ D_ƒ. Autrement dit :

(C_ƒ) = {M(x , ƒ(x))/ x ∈ D_ƒ}

Fonction paire – Fonction impaire – Fonction périodique (Les fonctions numériques 1er bac)

Fonction paire

Définition 10

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur D_ƒ. La fonction ƒ est dite paire si, et seulement si :

• Pour tout x ∈ D_ƒ , on a: −x ∈ D_ƒ.

• Pour tout x ∈ D_ƒ , on a: ƒ(−x) ∈ ƒ(x).

Interprétation géométrique de la fonction paire. (Les fonctions numériques 1er bac)

Propriété 11

Soit ƒ une fonction numérique de la variable réelle x et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ). La fonction ƒ est paire si, et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe ordonnée.

Remarque 12

Pour étudier une fonction paire ƒ, il suffit de l’étudier sur : E = D_ƒ ∩ [0, +∞[ .

Exemple 13

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par : ƒ(x) = x² + ∣x∣ .

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Montrer que la fonction ƒ est paire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

• ƒ la fonction numérique définie par : ƒ(x) = x² + ∣x∣ . Donc : D_ƒ = ℝ.

Pour tout x ∈ D_ƒ, on a : −x ∈ D_ƒ. (1)

Soit x ∈ D_ƒ . Calculons ƒ(−x) .

ƒ(−x) = (−x)² + ∣−x∣ = x² + ∣x∣ = ƒ(x). (2)

Donc, d’après (1) et (2), on déduit que la fonction ƒ est paire.

• La courbe (C_ƒ) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Fonction impaire

Définition 14

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur D_ƒ. La fonction ƒ est dite impaire si, et seulement si :

• Pour tout x ∈ D_ƒ, on a : −x ∈ D_ƒ.

• Pour tout x ∈ D_ƒ, on a : ƒ(−x) = −ƒ(x).

Interprétation géométrique de la fonction impaire

Propriété 15

Soit ƒ une fonction numérique de la variable réelle x et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ). La fonction ƒ est impaire si, et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple 16

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par : ƒ(x) = x²+1/x.

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j ).

1. Montrer que la fonction ƒ est impaire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

• L’ensemble de définition de la fonction ƒ est : D_ƒ = ℝ*.

Pour tout x de D_ƒ, on a : −x ∈ D_ƒ. (1)

Soit x ∈ D_ƒ . Calculons ƒ(−x) :

ƒ(−x) = (−x)²+1/−x = − x²+1/x = −ƒ(x). (2)

D’après (1) et (2), on déduit que ƒ est une fonction impaire.

• La courbe (C_ƒ) est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Fonction périodique

Définition 17

Soit ƒ : D_ƒ → ℝ et soit T ∈ ]0, +∞[. On dit que T est une période pour ƒ si :

pour tout x ∈ D_ƒ, (x + T) ∈ D_ƒ et ƒ(x + T) = ƒ(x).

Exemple 18  

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 1/2sin(2x) − cos x

Montrons que 2π est une période de ƒ :

∎

(∀x ∈ ℝ) , x + 2π ∈ ℝ (1)

∎ Soit x ∈ ℝ.

ƒ(x + 2π) = 1/2sin(2(x + 2π)) − cos(x + 2π)

= 1/2sin(2x + 4π) − cos(x)

= 1/2sin(2x) − cos(x) = ƒ(x) (2)

D’après (1) et (2) on en déduit que 2π est une période de ƒ.

Remarque 19

Pour étudier une fonction périodique de période T, il suffit de l’étudier sur un intervalle de ℝ de longueur T. (Très souvent, on choisit un des deux intervalles [0, T[ ou [−T/2, T/2[).

Les variations d’une fonction numérique   

Définition 20

Soit ƒ une fonction numérique définie sur l’intervalle I.

• ƒ est croissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I, pour tout x₂ ∈ I , x₁ ≤ x₂ alors ƒ(x₁) ≤ ƒ(x₂).

• ƒ est strictement croissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I, pour tout x₂ ∈ I, x₁ < x₂ alors ƒ(x₁) < ƒ(x₂).

• ƒ est décroissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I, pour tout x₂ ∈ I , x₁ ≤ x₂ alors ƒ(x₁) ≥ ƒ(x₂).

• ƒ est strictement décroissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I, pour tout x₂ ∈ I, x₁ < x₂ alors ƒ(x₁) ≻ ƒ(x₂).

• ƒ est constante sur l’intervalle I s’il existe un réel k tel que pour tout x ∈ I, ƒ(x) = k.

• La fonction ƒ est dite monotone sur I si et seulement si elle est croissante ou décroissante sur I.

• La fonction ƒ est dite strictement monotone sur I si et seulement si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.

Exemple 21

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ∖ {−1} par : ƒ(x) = 1/x+1.

Étudier la monotonie de la fonction ƒ sur les intervalles ]−1, +∞[ et ]−∞, −1[.

Étude des variations

• L’étude des variations d’une fonction ƒ consiste à déterminer les intervalles de D_ƒ sur lesquels cette fonction est croissante ou décroissante. Le résultat de cette étude permet de construire un tableau de variations.
• Pour construire le tableau des variations de la fonction ƒ sur D_ƒ on détermine les intervalles I contenus dans D_ƒ sur lesquels ƒ est monotone, c’est-à-dire soit croissante, soit décroissante. On note les résultats obtenus dans un tableau où des flèches indiquent la croissance ou la décroissance de ƒ.

Exemple 22

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ qui vérifie :

• ƒ est croissante sur les intervalles ]−∞, −1[ et [2, +∞[.
• ƒ est décroissante sur l’intervalles [−1, 2] et ƒ(−1) = 2 et ƒ(2) = −1.

Taux de variations d’une fonction

Propriété 23

Soit ƒ une fonction numérique définie sur l’intervalle I . Pour tout x et y deux éléments distincts de I. Le taux de variations de la fonction ƒ entre x et y est : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y.

• Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≥ 0 alors ƒ est croissante sur I.
• Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≻ 0 alors ƒ est strictement croissante sur I.
• Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≤ 0 alors ƒ est décroissante sur I.
• Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≺ 0 alors ƒ est strictement décroissante sur I.
• Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = 0 alors ƒ est constante sur I.

Exemple 24

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = x + 1/x

1. Soient x et y deux éléments distincts de ℝ*. Montrer que : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = xy−1/xy .
2. Montrer que la fonction ƒ est strictement croissante sur [1, +∞[.

Extremum d’une fonction

Définition 25

Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle I et a un élément de I.

1. On dit que ƒ(a) est une valeur maximale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≤ ƒ(a) pour tout x ∈ I.

2. On dit que ƒ(b) est une valeur minimale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≥ ƒ(b) pour tout x ∈ I.

Remarque 26

Un extremum est un maximum ou un minimum.

Exemple 27

On considère la fonction ƒ définie par :

Déterminer la valeur maximale et minimale de ƒ sur [−3, 4].

Fonction majorée, fonction minorée et fonction bornée

Définition 28

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I. On dit que :

∎ ƒ est majorée sur I : ∃M ∈ ℝ, ∀x ∈ I, ƒ(x) ≤ M,

∎ ƒ est minorée sur I : ∃m ∈ ℝ, ∀x ∈ I, ƒ(x) ≥ m,

∎ ƒ est bornée sur I : ƒ est majorée et minorée : ∃M ∈ ℝ, ∀x ∈ I, ∣ƒ(x)∣ ≤ M.

Exemple 29

On considère ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = −2x² + 4x + 1

Montrer que la fonction ƒ est majorée par 3.

Il faut montrer que : (∀x ∈ ℝ) , ƒ(x) ≤ 3.

Soit x ∈ ℝ.

ƒ(x) − 3 = −2x² + 4x + 1 − 3

= −2x² + 4x − 2

= −2(x² − 2x + 1)

= −2(x − 1)² ≤ 0

Donc

(∀x ∈ ℝ) , ƒ(x) ≤ 3.

Ceci signifie que la fonction ƒ est majorée par 3.

Exemple 30

On considère ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = x²+4x+1/x²+1

Montrer que la fonction ƒ est minorée par − 1.

Il faut montrer que : (∀x ∈ D_ƒ) , ƒ(x) ≥ −1

On a

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ x² + 1 ≠ 0} 

= ℝ

Soit x ∈ ℝ.

ƒ(x) + 1 = x²+4x+1/x²+1 + 1

= x²+4x+1+x²+1/x²+1

= 2x²+4x+2/x²+1

= 2(x² + 2x+ 1)/x²+1

= 2(x + 1)²/x+1 ≥ 0

Donc

(∀x ∈ ℝ) , ƒ(x) ≥ − 1.

Ceci signifie que la fonction ƒ est minorée par − 1.

Exemple 31

On considère ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 2x²+3/x²+1

Montrer que la fonction ƒ est minorée par 2, est-ce-que 2 est une valeur minimale de la fonction ƒ.

∎ Il faut montrer que : (∀x ∈ ℝ) , ƒ(x) ≥ 2.

On a

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ x² + 1 ≠ 0} 

= ℝ

Soit x ∈ ℝ.

ƒ(x) − 2 = 2x²+3/x²+1 − 2

= 2x²+3−2x²−2/x²+1

= 1/x²+1 ≥ 0

Donc

(∀x ∈ ℝ) , ƒ(x) ≥ 2.

∎ Résolvons dans ℝ l’équation ƒ(x) = 2.

Soit x ∈ ℝ.

ƒ(x) = 2 ⇔ 2x²+3/x²+1 = 2 ⇔ 2x² + 3 = 2x² + 2 ⇔ 3 = 2 (Ce qui est impossible)

Donc

(∀x ∈ ℝ) , ƒ(x) ≠ 2

Ceci signifie que 2 n’est pas une valeur minimale de la fonction ƒ.

Fonctions de référence

L’étude et la représentation graphique de la fonction x → ax² + bx + c, (a ≠ 0)

Soient a, b et c des réels tels a ≠ 0. On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = ax² + bx + c

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

Définition 32

Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = ax² + bx + c avec a, b et c des réels et a ≠ 0.

Forme canonique

Propriété 33

Toute fonction polynôme ƒ de degré 2 définie sur ℝ par ƒ(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0, peut s’écrire sous la forme :

ƒ(x) = a(x − α)² + β avec α = −b/2a et β = ƒ(α)

Variations

Propriété 34 (Admis)

Soit ƒ une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par ƒ(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.

Les variations de ƒ sont données par les tableaux suivants : {} 

1er cas. Si a ≻ 0

2ème cas. Si a ≺ 0.

Remarque 35

La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré, permet de déduire ses variations à partir des variations de la fonction carrée.

La représentation graphique de la fonction ƒ.

La courbe représentative de la fonction ƒ est appelé parabole de sommet S(α, β) et a pour axe de symétrie la droite d’équation x = −b/2a.

Exemple 36

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 1/2x² − 3x + 11/2

1. Déterminer le tableau de variations de la fonction ƒ.
2. Tracer la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

L’étude et la représentation graphique de la fonction x → ax+b/cx+d avec a, b, c et d des réels et c ≠ 0

On considère la fonction définie par :

ƒ(x) = ax+b/cx+d

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

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