Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf. C’est la série d’exercices numéro 1 sur les nombres complexes (2ème année bac / Terminale)
Exercice 01 (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)
- Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation : (E) : z2 − 18z + 82 =0
2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u , v ), les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : a = 9 + i, b = 9 − i et c = 11− i.
a) Montrer que : c − b/a − b = −i, puis déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
b) Donner une forme trigonométrique du nombre complexe : 4(1− i).
c) Montrer que : (c − a)(c − b) = 4(1− i), puis déduire que : AC × BC = 4√2.
d) Soit z l’affixe d’un point M du plan et z’ l’affixe du point M’ image de M par la rotation R de centre B et d’angle 3π/2 .
Montrer que : z’ = − iz + 10 + 8i puis vérifier que l’affixe du point C’ image du point C par la rotation R est : 9 − 3i.
Exercice 02 (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)
- Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation : (E) : z2 − 8z +25 = 0.
2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v), les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : a = 4 + 3i, b = 4 − 3i et c = 10 + 3i. et la translation T de vecteur BC.
a) Montrer que l’affixe du point D image du point A par la translation T est : d = 10 + 9i .
b) Vérifier que : b − a/d − a = − 1/2(1 +i) puis écrire le nombre complexe − 1/2(1 +i) sous une forme trigonométrique.
c) Montrer que : (AD, AB) ≡ 5π/4 [2π]
Exercice 03 (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)
- On considère le nombre complexe a tel que : a = 2 + √2 + i√2.
- Montrer que le module du nombre complexe a est : 2√2+√2
- Vérifier que : a = 2(1 + cosπ/4) + 2i sinπ/4.
- En linéarisant cos2 θ, avec θ est un nombre réel, montrer que : 1 + cos 2θ = 2cos2θ.
- Montrer que : a = 4cos2 π/8 + 4i cos π/8 sin π/8. (Indication : sin θ = 2 cosθsinθ)
- Montrer que : 4cos π/8(cos π/8 + i sin π/8) est une forme trigonométrique du nombre a puis montrer que : a4 = (2√2 + √2)4i.
- On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, e1, e2), les deux points Ω et A d’affixes respectives ω et a tels que : ω = √2, a = 2 + √2 + i√2 et la rotation R de centre Ω et d’angles π/2.
- Montrer que l’affixe b du point B image du point A par la rotation R est 2i.
- Déterminer l’ensemble des point M d’affixe z tel que : ∣z − 2i∣ = 2
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Correction de la série d’exercices
Exercice 01
- On résout dans l’ensemble ℂ l’équation (E) : z2 − 18z + 82 = 0.
Calculons ∆ :
∆ = b2 − 4ac = (−18)2 − 4 × 1 × 82 = − 4
Donc, l’équation admet deux solutions complexes conjugués z1 et z2 :
z1 = −b+i√−∆/2a = 18+i√4/2 = 9 + i
et : z2 = z1− = (9 + i) = 9 − i. Donc :
S = {9 − i, 9 + i}
2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v), les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : a = 9 + i, b = 9 − i et c = 11 − i.
a) Montrons que : c−b/a−b = −i
c−b/a−b = (11 − i)−(9−i)/(9+i)−(9−i) = 2/2i = 1/i = −i
Le triangle ABC est isocèle en B si, et seulement si BC = BA.
∣c−b/a−b∣ = ∣−i∣ = 1 ⇔ BC/BA = 1 ⇔ BC = BA
Donc, le triangle ABC est isocèle en B.
D’autre part,
(BA, BC) ≡ arg(zC−zB/zA−zB) [2π]
≡ arg(c−b/a−b) [2π]
≡ arg(−i) [2π]
≡ −π/2 [2π]
Ce qui signifie que ABC est rectangle en B, par suite ABC est rectangle isocèle en B.
2ème méthode
On a
c−b/a−b = −i ⇔ c−b/a−b ∈ iℝ ⇔ (BA) ⊥ (BC)
Donc, les droites (BA) et (BC) sont perpendiculaires.
b) La forme trigonométrique du complexe : 4(1 − i).
Calculons le module : ∣4(1 − i)∣ = ∣4 − 4i∣ = √42+(−4)2= √32 = 4√2. Donc
4(1 − i) = 4 − 4i
= 4√2(4/2√2 − i4/2√2)
= 4√2(√2/2 − i√2/2)
= 4√2(cos(−π/4) + i sin(−π/4))
c) Calculons l’expression : (c − a)(c − b)
(c − a)(c − b) = (11 − i − (9 + i))(11 − i − (9 − i))
= (11 − i − 9 − i)(11 − i − 9 + i)
= 2(2 − 2i)
= 4(1 − i)
- On déduit que : AC × BC = 4√2
AC × BC = ∣c − a∣∣c − b∣ = ∣(c − a)(c − b)∣ = ∣4(1 − i)∣ = 4√2
d) Montrons que : z′ = −iz + 10 + 8i
Soit z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre B et d’angle 3π/2.
R(M) = M′ ⇔ z′ − b = e3π/2i(z − b)
⇔ z′ − (9 − i) = −i(z −(9 − i))
⇔ z′ − 9 + i = − i(z − 9 + i)
⇔ z′ − 9 + i = − iz + 9i − i2
⇔ z′ = −iz + 9 + 1 + 8i
⇔ z′ = −iz + 10 + 8i
- Montrons que : c′ = 9 − 3i est l’affixe du point C′ par la rotation R de centre B et d’angle 3π/2 :
R(C) = C′ ⇔ c′ = −ic + 10 + 8i
⇔ c′ = −i(11 − i) + 10 + 8i
⇔ c′ = −11i − 1 + 10 + 8i
⇔ c′ = 9 − 3i
Donc, l’affixe du point C′ est c′ = 9 − 3i
Exercice 02
- On résout dans l’ensemble ℂ l’équation (E) : z2 − 8z + 25 = 0.
Série d’exercices sur les nombres complexes N1
Exercice 1
Dans le plan complexe rapporté au repère (O, u, v).
Déterminer géométriquement l’ensemble des points M d’affixes z vérifiant :
- ∣z − 1 + i∣ = ∣z + 2 − i∣
- ∣iz + 1 − i∣ = ∣z + 3∣
- ∣z− + 2 − i∣ = 2.
Exercice 2
Étant donné z ∈ ℂ ∖ {2i}, on forme Z = z+i/z−2i
- Déterminer l’ensemble (E1) des images des nombres z tels que Z ∈ ℝ.
- Déterminer l’ensemble (E2) des images des nombres z tels que Z ∈ iℝ.
Exercice 3
Soit z1 = 1 + i et z2 = √3 − i.
- Écrire z1 et z2 sous forme trigonométrique.
- Écrire z1 × z2 sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.
- Déduire cos (π/12) et sin (π/12).
Exercice 4
Déterminer la forme algébrique de (1 + i)4/(√3 + i)3.
Exercice 5
Dans un plan complexe, considérons les points A, B, C et D d’affixes respectives z1 = √3 − i , z2 = −z1 , z3 = √3 + 3i et z4 = z3 −.
- Calculer z1−z3/z1−z4 puis déduire que les points A, C et D sont alignés.
- Vérifier que : z3−z1/z3+z1 = 1+i√3/2, puis déterminer la mesure de l’angle orienté (CB, CA).
- Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
Exercice 6
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Correction de la série d’exercices N 1
Exercice 1
- Soit z ∈ ℂ, on a
∣z − 1 + i∣ = ∣z + 2 − i∣
⇔ ∣z − (1 − i)∣ = ∣z − (−2 + i)∣
⇔ ∣z − zA∣ = ∣z − zB∣ / Notons A(1 − i) et B(−2 + i)
⇔ AM = BM
Donc l’ensemble des points M (z) est la droite médiatrice du segment [AB]
2. Soit z ∈ ℂ, on a
∣iz + 1 − i∣ = ∣z + 3∣
⇔ ∣i(z + 1/i − 1)∣ = ∣z + 3∣
⇔ ∣i∣ ∣z + 1/i − 1∣ = ∣z + 3∣
⇔ ∣z − i − 1∣ = ∣z + 3∣
⇔ ∣z − (1 + i)∣ = ∣z − (−3)∣
⇔ ∣z − zI∣ = ∣z − zF∣ / Notons I (1 + i) et F(−3)
⇔ IM = FM
Donc l’ensemble des points M(z) est la droite médiatrice du segment [IF].
3. Soit z ∈ ℂ, on a
∣z− + 2 − i∣ = 2
⇔ ∣z + 2 + i−∣ = 2
⇔ ∣z + 2 + i∣ = 2
⇔ ∣z − (−2 − i)∣ = 2
⇔ ∣z − zJ∣ = 2 / Notons J(−2 − i)
⇔ JM = 2
⇔ M appartient au cercle de centre J et de rayon 2
Donc l’ensemble des points M(z) est le cercle de centre J et de rayon 2.
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Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles
Exercice 1 (Les nombres complexes)
- Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation : z2 − √2z + 1 = 0.
- On pose : a = √2/2 + √2/2i
- Écrire a sous la forme trigonométrique et en déduire que a2020 est nombre réel.
- Déduire les entiers naturel n tels que : an ∈ ℝ.
- Soit le nombre complexe b = cos π/8 + i sin π/8. Montrer que : b2 = a.
- Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : c = 1. La rotation R de centre O et d’angle π/8 transforme le point M d’affixe z au point M′ d’affixe z′.
- Vérifier que : z′ = bz.
- Déterminer l’image de C par la rotation R et montrer que A est l’image de B par R.
- Montrer que : ∣a − b∣ = ∣b − c∣ et en déduire la nature du triangle ABC.
- Déterminer une mesure de l’angle (BA, BC).
- Soit T la translation de vecteur u et D l’image de A par T.
- Vérifier que l’affixe de D est b2 + 1.
- Montrer que : b2 +1/b = b + b− et en déduire que les points O , B et D sont alignés.
Exercice 2
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , j ). On note A, B et I les points du plan d’affixes respectives zA = 1 + i√3 , zB = 2i et zI = 1/2 + i√3 +2/2.
- Mettre les nombres complexes zA et zB sous la forme exponentielle.
- Vérifier que A et B sont deux points du cercle (C) de centre O et de rayon 2.
- Vérifier que I est le milieu du segment [AB] .
- Construire de manière rigoureuse le cercle (C) ainsi que les points A, B et I.
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Devoir maison sur les nombres complexes et la fonction exponentielle
Problème d’analyse (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)
On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par :
ƒ(x) = −x + 5/2 − 1/2 ex-2 (ex-2 − 4)
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j ). (unité : 2cm).
- Montrer que limx→−∞ ƒ(x) = + ∞ et limx→+∞ ƒ(x) = − ∞.
a) Démontrer que la droite (∆) d’équation y = −x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de − ∞.
b) Résoudre l’équation ex−2 − 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (∆) sur l’intervalle ]− ∞, 2 + ln 4] et en dessous de (∆) sur l’intervalle [2 + ln 4, + ∞[ .
2. Montrer que limx→+∞ ƒ(x)/x = − ∞ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
a) Montrer que pour tout x ∈ ℝ, ƒ’(x) = −(ex−2 − 1)2
b) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
3. Calculer ƒ »(x) pour tout x ∈ ℝ, puis montrer que A(2,2) est un point d’inflexion de (C).
4. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α telle que : 2 + ln 3 < α < 2 + ln 4, puis en utilisant la méthode de dichotomie déterminer un encadrement de α de longueur ln 4 − ln (12)/2 .
5. Construire (∆) et (C) dans le même repère (O , i , j) (on prend ln 2 ≃ 0,7 et ln 3 ≃ 1,1).
a) Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur ℝ.
b) Construire dans le même repère (O , i , j) la courbe représentative de la fonction ƒ−1 .
c) Justifier puis calculer (ƒ−1 )'(2 − ln 3). (Indication : ƒ−1 (2 − ln 3) = 2 + ln 3.
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Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral
Exercice 1
- Calculer les intégrales suivantes : I = ∫21 x/x+1 dx et J = ∫e1 ln2(x)/x dx.
- En utilisant une intégration par partie, montrer que : ∫π/20 cos x. ln(1 + cos x)dx = π/2 − 1.
- Calculer la valeur moyenne de la fonction : ƒ(x) = cos 2x sur [0, π/4].
- On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x lnx . Et (Cƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (On prendra ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm). On admet que la fonction ƒ est positive sur l’intervalle [1, e].
- Calculer l’aire en cm2 du domaine délimité par (Cƒ), l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 1 et x = e.
Exercice 2
- Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation (E) : z2 − 4√3z + 16 = 0.
Dans le plan complexe (P) rapporté à un repère orthonormé ( O , u , v ), on considère les pointes A et B d’affixes respectifs : zA = 2√3 − 2i et zB = 2√3 + 2i.
- a) Écrire zA et zB sous forme trigonométrique.
b) En déduire que : OA = OB et (OA, OB) ≡ π/3 [2π]. Puis en déduire la nature du triangle OAB.
2. Le point I est le milieu du segment [AB] et soit C l’image de I par l’homothétie h de centre O et de rapport k = 2.
a) Montrer que l’affixe de I est : zI = 2√3, puis en déduire que : zC = 4√3.
b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.
c) Déduire que : (AC, AO) ≡ 2π/3 [2π].
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Vous pouvez aussi consulter :
Bjr
Pour l’exercice 2 nombre complexe
Je crois que l’argument est -pi/4 ou 7pi/4 et pas 3pi/4
Dans l’exercice 2 l’argument de l’angle orienté (AD,AB) est 5pi/4, puis (AD,AB)=arg(-1/2 ×(1+i)) en utilisant le fait que arg(a×b)=arg(a)+arg(b) mod(2pi)et comme arg(-1/2)=pi mod(2pi) et arg(1+i)= pi/4mod(2pi) par somme on en déduit que (AD,AB)= 5pi/4mod(2pi)
C’est bien merci!
Bien