Exercices corrigés sur les nombres complexes

Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf

Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf. C’est la série d’exercices numéro 1 sur les nombres complexes (2ème année bac / Terminale)

Exercice 01 (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)

  1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : (E) : z2 − 18z + 82 =0

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u , v ), les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : a = 9 + i, b = 9 − i et c = 11− i.

a) Montrer que : c − b/a − b = −i, puis déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.

b) Donner une forme trigonométrique du nombre complexe : 4(1− i).

c) Montrer que : (c − a)(c − b) = 4(1− i), puis déduire que : AC × BC = 4√2.

d) Soit z l’affixe d’un point M du plan et z’ l’affixe du point M’ image de M par la rotation R de centre B et d’angle 3π/2 .

Montrer que : z’ = − iz + 10 + 8i puis vérifier que l’affixe du point C’ image du point C par la rotation R est : 9 − 3i.

Exercice 02 (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)

  1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : (E) : z2 − 8z +25 = 0.

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v), les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : a = 4 + 3i, b = 4 − 3i et c = 10 + 3i. et la translation T de vecteur BC.

a) Montrer que l’affixe du point D image du point A par la translation T est : d = 10 + 9i .

b) Vérifier que : b − a/d − a = − 1/2(1 +i) puis écrire le nombre complexe − 1/2(1 +i) sous une forme trigonométrique.

c) Montrer que : (AD, AB) ≡ 5π/4 []

Exercice 03 (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)

  1. On considère le nombre complexe a tel que : a = 2 + √2 + i√2.
    1. Montrer que le module du nombre complexe a est : 2√2+√2
    2. Vérifier que : a = 2(1 + cosπ/4) + 2i sinπ/4.
    1. En linéarisant cos2 θ, avec θ est un nombre réel, montrer que : 1 + cos 2θ = 2cos2θ.
    2. Montrer que : a = 4cos2 π/8 + 4i cos π/8 sin π/8. (Indication : sin θ = 2 cosθsinθ)
    3. Montrer que : 4cos π/8(cos π/8 + i sin π/8) est une forme trigonométrique du nombre a puis montrer que : a4 = (2√2 + √2)4i.
  2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, e1, e2), les deux points Ω et A d’affixes respectives ω et a tels que : ω = √2, a = 2 + √2 + i√2 et la rotation R de centre Ω et d’angles π/2.
    1. Montrer que l’affixe b du point B image du point A par la rotation R est 2i.
    2. Déterminer l’ensemble des point M d’affixe z tel que : ∣z − 2i= 2

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Correction de la série d’exercices

Exercice 01

  1. On résout dans l’ensemble l’équation (E) : z2 − 18z + 82 = 0.

Calculons ∆ :

∆ = b2 − 4ac = (−18)2 − 4 × 1 × 82 = − 4

Donc, l’équation admet deux solutions complexes conjugués z1 et z2 :

z1 = −b+i√−∆/2a = 18+i√4/2 = 9 + i

et : z2 = z1 = (9 + i) = 9 − i. Donc :

S = {9 − i, 9 + i

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v), les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : a = 9 + i, b = 9 − i et c = 11 − i.

a) Montrons que : cb/a−b = −i

cb/a−b = (11 − i)−(9−i)/(9+i)−(9−i) = 2/2i = 1/i = −i

Le triangle ABC est isocèle en B si, et seulement si BC = BA.

cb/a−b∣ = ∣−i= 1 ⇔ BC/BA = 1BC = BA

Donc, le triangle ABC est isocèle en B.

D’autre part,

(BA, BC) ≡ arg(zC−zB/zA−zB) []

≡ arg(c−b/a−b) []

≡ arg(−i) []

−π/2 []

Ce qui signifie que ABC est rectangle en B, par suite ABC est rectangle isocèle en B.

2ème méthode

On a

c−b/a−b = −i ⇔ c−b/a−bi ⇔ (BA) ⊥ (BC)

Donc, les droites (BA) et (BC) sont perpendiculaires.

b) La forme trigonométrique du complexe : 4(1 − i).

Calculons le module : ∣4(1 − i)∣ = ∣4 − 4i∣ = √42+(−4)2= √32 = 4√2. Donc

4(1 − i) = 4 − 4i

= 4√2(4/2√2 − i4/2√2)

= 4√2(√2/2 − i√2/2)

= 4√2(cos(−π/4) + i sin(−π/4))

c) Calculons l’expression : (c − a)(c − b)

(c − a)(c − b) = (11 − i − (9 + i))(11 − i − (9 − i))

= (11 − i − 9 − i)(11 − i − 9 + i)

= 2(2 − 2i)

= 4(1 − i)

  • On déduit que : AC × BC = 4√2

AC × BC =c − a∣∣c − b∣ = ∣(c − a)(c − b)∣ = ∣4(1 − i)∣ = 4√2

d) Montrons que : z′ = −iz + 10 + 8i

Soit z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre B et d’angle 3π/2.

R(M) = M′   z′ − b = e3π/2i(z − b)

z′ − (9 − i) = −i(z −(9 − i))

z′ − 9 + i = − i(z − 9 + i)

z′ − 9 + i = − iz + 9i − i2

z′ = −iz + 9 + 1 + 8i

z′ = −iz + 10 + 8i

  • Montrons que : c′ = 9 − 3i est l’affixe du point C′ par la rotation R de centre B et d’angle 3π/2 :

R(C) = C′ ⇔  c′ = −ic + 10 + 8i

c′ = −i(11 − i) + 10 + 8i

c′ = −11i − 1 + 10 + 8i

c′ = 9 − 3i

Donc, l’affixe du point C′ est c′ = 9 − 3i

Exercice 02

  1. On résout dans l’ensemble l’équation (E) : z2 − 8z + 25 = 0.

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Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles

Exercice 1 (Les nombres complexes)

  1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z2 − √2z + 1 = 0.
  2. On pose : a = √2/2 + √2/2i
    1. Écrire a sous la forme trigonométrique et en déduire que a2020 est nombre réel.
    2. Déduire les entiers naturel n tels que : an .
    3. Soit le nombre complexe b = cos π/8 + i sin π/8. Montrer que : b2 = a.
  3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : c = 1. La rotation R de centre O et d’angle π/8 transforme le point M d’affixe z au point M′ d’affixe z′.
    1. Vérifier que : z′ = bz.
    2. Déterminer l’image de C par la rotation R et montrer que A est l’image de B par R.
    1. Montrer que : ∣a − b∣ = ∣b − c∣ et en déduire la nature du triangle ABC.
    2. Déterminer une mesure de l’angle (BA, BC).
  4. Soit T la translation de vecteur u et D l’image de A par T.
    1. Vérifier que l’affixe de D est b2 + 1.
    2. Montrer que : b2 +1/b = b + b et en déduire que les points O , B et D sont alignés.

Exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , j ). On note A, B et I les points du plan d’affixes respectives zA = 1 + i√3 , zB = 2i et zI = 1/2 + i√3 +2/2.

    1. Mettre les nombres complexes zA et zB sous la forme exponentielle.
    2. Vérifier que A et B sont deux points du cercle (C) de centre O et de rayon 2.
    3. Vérifier que I est le milieu du segment [AB] .
    4. Construire de manière rigoureuse le cercle (C) ainsi que les points A, B et I.

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Devoir maison sur les nombres complexes et la fonction exponentielle

Problème d’analyse (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)

On considère la fonction numérique ƒ définie sur par :

ƒ(x) = −x + 5/2 − 1/2 ex-2 (ex-2 − 4)

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j ). (unité : 2cm).

  1. Montrer que limx→−∞ ƒ(x) = + ∞ et limx→+∞ ƒ(x) = − ∞.

a) Démontrer que la droite (∆) d’équation y = −x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de − ∞.

b) Résoudre l’équation ex−2 − 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (∆) sur l’intervalle ]− ∞, 2 + ln 4] et en dessous de (∆) sur l’intervalle [2 + ln 4, + [ .

2. Montrer que limx→+∞ ƒ(x)/x = − ∞ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

a) Montrer que pour tout x ∈, ƒ’(x) = −(ex−2 − 1)2

b) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.

3. Calculer ƒ »(x) pour tout x ∈, puis montrer que A(2,2) est un point d’inflexion de (C).

4. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α telle que : 2 + ln 3 < α < 2 + ln 4, puis en utilisant la méthode de dichotomie déterminer un encadrement de α de longueur ln 4 − ln (12)/2 .

5. Construire (∆) et (C) dans le même repère (O , i , j) (on prend ln 2 ≃ 0,7 et ln 3 ≃ 1,1).

a) Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur .

b) Construire dans le même repère (O , i , j) la courbe représentative de la fonction ƒ−1 .

c) Justifier puis calculer (ƒ−1 )'(2 − ln 3). (Indication : ƒ−1 (2 − ln 3) = 2 + ln 3.

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Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral

Exercice 1

  1. Calculer les intégrales suivantes : I =21 x/x+1 dx et J =e1 ln2(x)/x dx.
  2. En utilisant une intégration par partie, montrer que : ∫π/20 cos x. ln(1 + cos x)dx = π/2 − 1.
  3. Calculer la valeur moyenne de la fonction : ƒ(x) = cos 2x sur [0, π/4].
  4. On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x lnx . Et (Cƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (On prendra ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm). On admet que la fonction ƒ est positive sur l’intervalle [1, e].
    • Calculer l’aire en cm2 du domaine délimité par (Cƒ), l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 1 et x = e.

Exercice 2

  • Résoudre dans l’ensemble l’équation (E) : z2 − 4√3z + 16 = 0.

Dans le plan complexe (P) rapporté à un repère orthonormé ( O , u , v ), on considère les pointes A et B d’affixes respectifs : zA = 2√3 − 2i et zB = 2√3 + 2i.

  1. a) Écrire zA et zB sous forme trigonométrique.

b) En déduire que : OA = OB et (OA, OB) ≡ π/3 []. Puis en déduire la nature du triangle OAB.

2. Le point I est le milieu du segment [AB] et soit C l’image de I par l’homothétie h de centre O et de rapport k = 2.

a) Montrer que l’affixe de I est : zI = 2√3, puis en déduire que : zC = 4√3.

b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

c) Déduire que : (AC, AO) ≡ 2π/3 [].

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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2 réflexions sur « Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf »

    1. Dans l’exercice 2 l’argument de l’angle orienté (AD,AB) est 5pi/4, puis (AD,AB)=arg(-1/2 ×(1+i)) en utilisant le fait que arg(a×b)=arg(a)+arg(b) mod(2pi)et comme arg(-1/2)=pi mod(2pi) et arg(1+i)= pi/4mod(2pi) par somme on en déduit que (AD,AB)= 5pi/4mod(2pi)

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