par La dérivabilité 2 bac exercices corrigés.(Bac/Terminale/2ème année bac sm, pc et svt)
Exercice 1 (La dérivabilité 2 bac exercices corrigés)
On considère la fonction ƒ définie par :
{ ƒ(x) = √1+x−√1−x/x, x ≠ 0 et ƒ(0) = 1
- Montrer que : limx→0 ƒ(x) = ƒ(0).
- Montrer que ƒ est dérivable en x0 = 0 et interpréter géométriquement le résultat.
Exercice 2 (La dérivabilité 2 bac exercices corrigés)
Soient a ∈ ℝ et ƒ une fonction dérivable en a.
- Montrer que :
limx→a a.ƒ(x) −x.ƒ(a)/x−a = a.ƒ′(a) − ƒ(a)
2. Déduire la valeur de la limite suivante :
limx→a a.x2019 − x.a2019/x−a
Exercice 3 (La dérivabilité 2 bac exercices corrigés)
- Soient ƒ et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et dérivables en un point x0 de I tels que : ƒ(x0) = g(x0) = 0 et g′(x0) ≠ 0.
Montrer que :
limx→x0 ƒ(x)/g(x) = ƒ′(x0)/g′(x0)
2. Calculer les limites suivantes :
limx→1 x3cos(x − 1)−1/x3−√x , limx→−1 (2x+1)20−1/x10−1 et limx→π/4 cos(2π/3)−√3sin(2x − π/3)/cos(2x)
Exercice 4
On considère la fonction : ƒ : x → x2 − 4x + 5.
- Écrire l’équation de la tangente (Ta) à (Cƒ) au point d’abscisse a où a ∈ ℝ.
- En quels points de (Cƒ) cette tangente passe par l’origine ?
- Existe-il une tangente à (Cƒ) passant par le point A(1, −1)?
Exercice 5
On considère la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = 3x2+ax+b/x2+1 où (a, b) ∈ ℝ2
- Déterminer a et b pour que la droite (D) d’équation : y = 4x + 3 soit tangente à la courbe (Cƒ) au point d’abscisse x0 = 0.
- On prend dans cette question : a = 4 et b = 3.
- Calculer limx→−∞ ƒ(x) et limx→+∞ ƒ(x) , dresser le tableau de variations de ƒ.
- En déduire les extremums de ƒ, préciser la nature de chacun.
- Étudier la position relative de (Cƒ) par rapport à la tangente (D).
Exercice 6
On considère la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = x3/(x − 1)2
- a) Montrer que :
(∀x ∈ ℝ∖ {1}) , ƒ′(x) = x3−3x2/(x−1)3
b) Montrer qu’il existe une tangente et une seule à (Cƒ) parallèle à la droite (D) d’équation : y = x + 4, puis écrire l’équation de cette tangente.
2. Calculer les limites de ƒ aux bornes de Dƒ, puis dresser son tableau de variations.
3. Déterminer les extremums de ƒ en précisant la nature de chacun.
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Correction de la série d’exercices
Exercice 1
On considère la fonction ƒ définie par :
{ ƒ(x) = √1+x−√1−x/x, x ≠ 0 et ƒ(0) = 1
- Montrons que : limx→0 ƒ(x) = ƒ(0).
limx→0 ƒ(x) = limx→0 √1+x−√1−x/x
= limx→0 (√1+x−√1−x)(√1+x+√1−x)/x(√1+x+√1−x)
= limx→0 1+x−(1−x)/(√1+x+√1−x)
= limx→0 2x/(√1+x+√1−x)
= limx→0 2/√1+x+√1−x = 1 = ƒ(0).
2. Montrons que ƒ est dérivable en x0 = 0.
Exercice 2
Soient a ∈ ℝ et ƒ une fonction dérivable en a.
limx→a a.ƒ(x)−x.ƒ(a)/x−a = limx→a a.ƒ(x)−(x + a − a)ƒ(a)/x−a
= limx→a a.ƒ(x)−xƒ(a)+aƒ(a)−aƒ(a)/x−a
= limx→a a × (ƒ(x)−ƒ(a)/x−a) − ƒ(a)(x−a/x−a)
= aƒ′(a) − ƒ(a)
2. La valeur de la limite :
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par : ƒ : x → x2019. La fonction ƒ est dérivable sur ℝ donc elle est dérivable sur a ∈ ℝ.
Soit x ∈ ℝ.
ƒ′(x) = 2019x2018
Donc
limx→a a.ƒ(x)−x.ƒ(a)/x−a = limx→a a.x2019−x.a2019/x−a
= 2019a × a2018−a2019
= 2019a2019−a2019
= 2018a2019
Exercice 3
- Soit x ∈ I∖{x0}.
ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0/g(x)−g(x0)/x−x0 = ƒ(x)/g(x) avec ƒ(x0) = g(x0) = 0
Comme ƒ et g sont dérivable en x0 alors
limx→x0 ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 = ƒ′(x0) et limx→x0 g(x)−g(x0)/x−x0 = g′(x0)
puisque g′(x0) ≠ 0 alors :
limx→a ƒ(x)/g(x) = ƒ′(x0)/g′(x0)
2. ∎ Calculons : limx→1 x3cos(x−1)−1/x3−√x.
On considère les fonctions u et v définies par :
u(x) = x3 cos(x − 1) − 1 et v(x) = x3 − √x
u et v sont dérivables en 1 tels que : u(1) = v(1) = 0.
et
u′(x) = 3x2cos(x − 1) − x3sin(x − 1) et v′(x) = 3x2− 1/2√x et v′(1) = 5/2 ≠ 0
Donc
limx→1 x3cos(x−1)−1/x3−√x = u′(x)/v′(x) =3/5/2 = 6/5.
∎ Calculons : limx→−1 (2x + 1)20−1/x10−1 .
On considère les fonctions u et v définies par :
u(x) = (2x + 1)20 − 1 et v(x) = x10 − 1
u et v sont dérivables en − 1 tels que : u(−1) = v(−1) = 0.
et
u′(x) = 40(2x +1)19 et v′(x) = 10x9 et v′(−1) = −10 ≠ 0
Donc
limx→−1 (2x + 1)20−1/x10−1 = u′(−1)/v′(−1) = −40/−10 = 4.
∎ Calculons : limx→π/4 cos(2x/3)−√3sin(2x − π/3)/cos(2x).
On considère les fonctions u et v définies par :
u(x) = cos(2x/3) − √3sin(2x − π/3) et v(x) = cos(2x)
u et v sont dérivables en π/4 tels que : u(π/4) = v(π/4) = 0.
et
u′(x) = −2/3sin(2/3x) − 2√3sin(π/6 + 2) et v′(x) = −2sin(2x) et v′(π/4) = −2 ≠ 0
Donc
limx→π/4 cos(2x/3)−√3sin(2x − π/3)/cos(2x) = u′(π/4)/v′(π/4) = −10/3/−2 = 5/3.
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Devoir maison sur la dérivation et l’étude des fonctions
Problème d’analyse
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :
ƒ(x) = − x + 2/x ; x ∈ ]−∞,0[∪ ]0,1[
ƒ(x) = 1 +x/2√x ; x ∈ [1,+∞[
(Cƒ) est la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O, i ,j)
- a) Montrer que ƒ est continue au point 1.
b) Calculer ƒ(−1) et ƒ(1).
2. a) Montrer que ƒ est dérivable à gauche de 1.
b) Donner l’équation de la demi tangente (∆1) à gauche de 1.
c) Etudier la dérivabilité de la fonction ƒ à droite de 1, et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
3. a) Calculer limx→ −∞ƒ(x).
b) Montrer que (Cƒ) admet une asymptote oblique (D) et déterminer son équation.
c) Calculer limx→+∞ ƒ(x).
d) Etudier la nature de la branche infinie au voisinage de +∞.
e) Etudier la nature de la branche infinie au voisinage de 0.
4. a) Etudier les variations de ƒ sur chacun des intervalles ]−∞,0[ et ]0,1[.
b) Etudier les variations de ƒ sur l’intervalle [1,+∞[.
c) Dresser le tableau de variations de ƒ.
5. Donner l’équation de la tangente (∆2) au point −√2.
6. Tracer (D) , (∆1) , (∆2) et la courbe (Cƒ) dans le repère (O, i ,j).
7. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle ]−∞,0[
a) Montrer que g admet une bijection réciproque g−1 définie sur un intervalle J, qu’on déterminera.
b) Calculer g−1 pour tout x ∈ J.
8. Soit h la restriction de ƒ à l’intervalle [1,+∞[.
a) Montrer que h admet une bijection réciproque h−1 définie sur un intervalle J, qu’on déterminera.
b) Calculer h−1 (x) pour tout x ∈ J.
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