La dérivabilité 2 bac exercices corrigés

La dérivabilité 2 bac exercices corrigés

La dérivabilité 2 bac exercices corrigés.(Bac/Terminale/2ème année bac sm, pc et svt)

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie par :

{ ƒ(x) = √1+x−√1−x/x, x ≠ 0 et ƒ(0) = 1

  1. Montrer que : limx→0 ƒ(x) = ƒ(0).
  2. Montrer que ƒ est dérivable en x0 = 0 et interpréter géométriquement le résultat.
Exercice 2

Soient a et ƒ une fonction dérivable en a.

  1. Montrer que :

limx→a a.ƒ(x) −x.ƒ(a)/x−a = a.ƒ′(a) − ƒ(a)

2. Déduire la valeur de la limite suivante :

limx→a a.x2019 − x.a2019/x−a

Exercice 3
  1. Soient ƒ et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et dérivables en un point x0 de I tels que : ƒ(x0) = g(x0) = 0 et g′(x0) ≠ 0.

Montrer que :

limx→x0 ƒ(x)/g(x) = ƒ′(x0)/g′(x0)

2. Calculer les limites suivantes :

limx→1 x3cos(x − 1)−1/x3−√x , limx→−1 (2x+1)20−1/x10−1 et limx→π/4 cos(2π/3)−√3sin(2x − π/3)/cos(2x)

Exercice 4

On considère la fonction : ƒ : x → x2 − 4x + 5.

  1. Écrire l’équation de la tangente (Ta) à (Cƒ) au point d’abscisse aa.
  2. En quels points de (Cƒ) cette tangente passe par l’origine ?
  3. Existe-il une tangente à (Cƒ) passant par le point A(1, −1)?
Exercice 5

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 3x2+ax+b/x2+1 où (a, b) ∈ 2

  1. Déterminer a et b pour que la droite (D) d’équation : y = 4x + 3 soit tangente à la courbe (Cƒ) au point d’abscisse x0 = 0.
  2. On prend dans cette question : a = 4 et b = 3.
    1. Calculer limx→−∞ ƒ(x) et limx→+∞ ƒ(x) , dresser le tableau de variations de ƒ.
    2. En déduire les extremums de ƒ, préciser la nature de chacun.
    3. Étudier la position relative de (Cƒ) par rapport à la tangente (D).
Exercice 6

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = x3/(x − 1)2

  1. a) Montrer que :

(∀x∖ {1}) , ƒ′(x) = x3−3x2/(x−1)3

b) Montrer qu’il existe une tangente et une seule à (Cƒ) parallèle à la droite (D) d’équation : y = x + 4, puis écrire l’équation de cette tangente.

2. Calculer les limites de ƒ aux bornes de Dƒ, puis dresser son tableau de variations.

3. Déterminer les extremums de ƒ en précisant la nature de chacun.

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Correction de la série d’exercices
Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie par :

{ ƒ(x) = √1+x−√1−x/x, x ≠ 0 et ƒ(0) = 1

  1. Montrons que : limx→0 ƒ(x) = ƒ(0).

limx→0 ƒ(x) = limx→0 √1+x−√1−x/x

= limx→0 (√1+x−√1−x)(√1+x+√1−x)/x(√1+x+√1−x)

= limx→0 1+x−(1−x)/(√1+x+√1−x)

= limx→0 2x/(√1+x+√1−x)

= limx→0 2/√1+x+√1−x = 1 = ƒ(0).

2. Montrons que ƒ est dérivable en x0 = 0.

Exercice 2

Soient a et ƒ une fonction dérivable en a.

limx→a a.ƒ(x)−x.ƒ(a)/x−a = limx→a a.ƒ(x)−(x + a − a)ƒ(a)/x−a

= limx→a a.ƒ(x)−xƒ(a)+aƒ(a)−aƒ(a)/x−a

= limx→a a × (ƒ(x)−ƒ(a)/x−a) − ƒ(a)(x−a/x−a)

= aƒ′(a) − ƒ(a)

2. La valeur de la limite :

On considère la fonction ƒ définie sur par : ƒ : x → x2019. La fonction ƒ est dérivable sur donc elle est dérivable sur a.

Soit x.

ƒ′(x) = 2019x2018

Donc

limx→a a.ƒ(x)−x.ƒ(a)/x−a = limx→a a.x2019−x.a2019/x−a

= 2019a × a2018−a2019

= 2019a2019−a2019

= 2018a2019

Exercice 3
  1. Soit x I∖{x0}.

ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0/g(x)−g(x0)/x−x0 = ƒ(x)/g(x) avec ƒ(x0) = g(x0) = 0

Comme ƒ et g sont dérivable en x0 alors

limx→x0 ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 = ƒ′(x0) et limx→x0 g(x)−g(x0)/x−x0 = g′(x0)

puisque g′(x0) ≠ 0 alors :

limx→a ƒ(x)/g(x) = ƒ′(x0)/g′(x0)

2. ∎ Calculons : limx→1 x3cos(x−1)−1/x3−√x.

On considère les fonctions u et v définies par :

u(x) = x3 cos(x − 1) − 1 et v(x) = x3 − √x

u et v sont dérivables en 1 tels que : u(1) = v(1) = 0.

et

u′(x) = 3x2cos(x − 1) − x3sin(x − 1) et v′(x) = 3x2− 1/2√x et v′(1) = 5/2 ≠ 0

Donc

limx→1 x3cos(x−1)−1/x3−√x = u′(x)/v′(x) =3/5/2 = 6/5.

∎ Calculons : limx→−1 (2x + 1)20−1/x10−1 .

On considère les fonctions u et v définies par :

u(x) = (2x + 1)20 − 1 et v(x) = x10 − 1

u et v sont dérivables en − 1 tels que : u(−1) = v(−1) = 0.

et

u′(x) = 40(2x +1)19 et v′(x) = 10x9 et v′(−1) = −10 ≠ 0

Donc

limx→−1 (2x + 1)20−1/x10−1 = u′(−1)/v′(−1) = −40/−10 = 4.

∎ Calculons : limx→π/4 cos(2x/3)−√3sin(2x − π/3)/cos(2x).

On considère les fonctions u et v définies par :

u(x) = cos(2x/3) − √3sin(2x − π/3) et v(x) = cos(2x)

u et v sont dérivables en π/4 tels que : u(π/4) = v(π/4) = 0.

et

u′(x) = −2/3sin(2/3x) − 2√3sin(π/6 + 2) et v′(x) = −2sin(2x) et v′(π/4) = −2 ≠ 0

Donc

limx→π/4 cos(2x/3)−√3sin(2x − π/3)/cos(2x) = u′(π/4)/v′(π/4) = −10/3/−2 = 5/3.

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La dérivabilité 2 bac exercices corrigés (Série d’exercices N°2)

Exercice 1 (Extrait d’un ancien examen national)

On considère la fonction définie sur par :

ƒ(x) = x − 1 + 2√1 − x ; x ≤ 1

ƒ(x) = x3 − 1/x3 + 1 ; x > 1

(Cƒ) est la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O , i , j).

  1. Montrer que ƒ est continue en 1.
  2. Etudier la dérivabilité de la fonction ƒ à droite et à gauche au point 1, et donner une interprétation géométrique de chacun de ses résultat obtenus.
    1. Calculer limx→+∞ ƒ(x), en déduire la nature de la branche infinie au voisinage de +∞.
    2. Calculer ƒ(−3) et limx→+∞ ƒ(x).
    3. Etudier la nature de la branche infinie au voisinage de −∞.
    1. Montrer que ƒ est strictement croissante sur [1, +∞[.
    2. Montrer que ∀x ∈  ]−∞, 1[ ; ƒ′(x) = −x/√1 − x (1 + √1 − x)
    3. Donner le tableau de variation de ƒ sur .
  3. Tracer la courbe (Cƒ) sur (O , i , j).
  4. Soit g la restriction de ƒ sur l’intervalle [1, +∞[.
    1. Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J qu’on déterminera.
    2. Tracer (Cg−1) dans le repère (O , i , j).
    3. Déterminer g−1(x) pour tout x dans l’intervalle J.
Exercice 2

On considère la fonction définie sur par :

ƒ(x) = x2/2 − x; x ∈ [0,1]

ƒ(x) = x − √x2 − x; x ∈ ]−∞, 0[∪]1, +∞[

(Cƒ) est la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O , i , j).

  1. Montrer que ƒ est continue aux points 0 et 1.
  2. Etudier la dérivabilité de la fonction ƒ à droite et à gauche aux points 0 et 1, et donner une interprétation géométrique de chacun des résultats obtenus.
    1. Calculer limx→+∞ ƒ(x), en déduire la nature de la branche infinie au voisinage de +∞.
    2. Calculer limx→−∞ ƒ(x). Montrer que la droite (∆) : y = 2x − 1/2 est une asymptote à la courbe représentative de ƒ au voisinage de −∞.
  3. Calculer ƒ′(x), pour tout x de l’intervalle ]0,1[, en déduire le sens de variations de ƒ sur ]0,1[.
  4. Calculer ƒ′(x), pour tout x de l’intervalle ]−∞, 0[∪]1, +∞[, en déduire le sens de variations de ƒ sur chacun des intervalles ]−∞, 0[∪]1, +∞[.
  5. Donner le tableau de variations de ƒ sur .
  6. Tracer la courbe (Cƒ) sur (O , i , j). Cliquer ici pour télécharger La dérivabilité 2 bac exercices corrigés pdf (Série numéro 2)
Correction de la série d’exercices N°2
Exercice 1

On considère la fonction définie sur par :

{ ƒ(x) = x − 1 + 2√1 − x ; x ≤ 1 et ƒ(x) = x3 − 1/x3 + 1 ; x > 1

  1. La continuité de ƒ en 1.

* On étudie la continuité à droite de 1.

On commence par calculer ƒ(1).

On a : ƒ(1) = 1 − 1 + 2√1−1 = 0

limx→1+ ƒ(x) = limx→1+ x3−1/x3+1 = 0/2 = 0 = ƒ(1)

Donc, la fonction ƒ est continue à droite de 1.

*On étudie la continuité à gauche de 1.

limx→1 ƒ(x) = limx→1 x − 1 + 2√1−x = 0 = ƒ(1)

Donc, la fonction ƒ est continue à gauche de 1.

D’où, la fonction ƒ est continue en 1, car elle est continue à droite et à gauche de 1.

2. Étudions la dérivabilité à droite et à gauche de 1.

*La dérivabilité de ƒ à droite de 1.

limx→1+ ƒ(x)−ƒ(1)/x−1 = limx→1+ x3−1/x3+1−0/x−1

= limx→1+ x3−1/(x3 + 1)(x − 1)

= limx→1+ (x − 1)(x2 + x + 1)/(x3 + 1)(x − 1)

= limx→1+ (x2 + x + 1)/(x3 + 1) = 3/2 = ƒ′d(1)

La fonction ƒ est dérivable à droite de 1, et ƒ′d(1) = 3/2.

  • L’interprétation de la dérivée à droite de 1.

La courbe (Cƒ) admet une demie tangente en point A(1, 0) d’équation :

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Devoir maison sur la dérivation et l’étude des fonctions

Problème d’analyse

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = − x + 2/x ; x ∈  ]−∞,0[∪ ]0,1[

ƒ(x) = 1 +x/2√x ; x ∈ [1,+∞[

(Cƒ) est la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O, i ,j)

  1. a) Montrer que ƒ est continue au point 1.

b) Calculer ƒ(−1) et ƒ(1).

2. a) Montrer que ƒ est dérivable à gauche de 1.

b) Donner l’équation de la demi tangente (1) à gauche de 1.

c) Etudier la dérivabilité de la fonction ƒ à droite de 1, et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.

3. a) Calculer limx→ −∞ƒ(x).

b) Montrer que (Cƒ) admet une asymptote oblique (D) et déterminer son équation.

c) Calculer limx→+∞ ƒ(x).

d) Etudier la nature de la branche infinie au voisinage de +∞.

e) Etudier la nature de la branche infinie au voisinage de 0.

4. a) Etudier les variations de ƒ sur chacun des intervalles  ]−∞,0[ et ]0,1[.

b) Etudier les variations de ƒ sur l’intervalle [1,+∞[.

c) Dresser le tableau de variations de ƒ.

5. Donner l’équation de la tangente (∆2) au point −√2.

6. Tracer (D) , (1) , (2) et la courbe (Cƒ) dans le repère (O, i ,j).

7. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle ]−∞,0[

a) Montrer que g admet une bijection réciproque g−1 définie sur un intervalle J, qu’on déterminera.

b) Calculer g−1 pour tout xJ.

8. Soit h la restriction de ƒ à l’intervalle [1,+∞[.

a) Montrer que h admet une bijection réciproque h−1 définie sur un intervalle J, qu’on déterminera.

b) Calculer h−1 (x) pour tout xJ.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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