par Révision Générale Analyse Maths Bac 2022. (2ème année bac/ Terminale)
Continuité (Révision Générale Analyse Maths)
Continuité en un point (Révision Générale Analyse Maths)
Définition 1
- Soit une fonction ƒ définie sur un ouvert I. Soit a ∈ I.
ƒ est continue en a ⇔ limx→a ƒ(x) = ƒ(a)
2. ƒ est continue sur I si et seulement si ƒ est continue en tout réel a de I.
Théorème 2
ƒ est continue en a ⇔ limx→a+ ƒ(x) = ƒ(a)
Fonction continues et opérations
Théorème 3
Soient ƒ et g deux fonctions définies sur I. Si les fonctions ƒ et g sont continues sur I, alors
∎ Les fonctions ƒ + g, ƒ × g et αƒ sont continues sur I.
∎ Si la fonction g est non nulle, alors ƒ/g est continue sur I.
∎ Si ƒ ≥ 0 sur I, alors la fonction √ƒ est continue sur I.
Résultats 4
- Tout fonctions polynôme est continue sur ℝ.
- Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
- Les fonctions x → sin x et x → cos x sont continues sur ℝ.
- La fonction x → 1/x est continue sur ℝ*.
- La fonction x → √x est continue sur ℝ+.
- La fonction x → ∣x∣ est continue sur ℝ.
Exemple 5
Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : { ƒ(x) = x2 + x + 1 , si x ≥ 0 et ƒ(x) = sinx/x , si x < 0
Étudier la continuité de la fonction ƒ sur ℝ.
∎ On étudie la continuité de la fonction en 0.
On a limx→0+ ƒ(x) = limx→0+ x2 + x + 1 = 1 = ƒ(0). Donc la fonction ƒ est continue en 0 à droite.
On a limx→0− ƒ(x) = limx→0+ sinx/x = 1 = ƒ(0). Donc la fonction ƒ est continue en 0 à gauche.
D’où la fonction ƒ est continue en 0.
∎ On étudie la continuité de la fonction sur ]0, +∞[ :
ƒ est une fonction polynôme continue sur ℝ et surtout sur ]0, +∞[.
∎ On étudie la continuité de la fonction sur ]−∞, 0[ :
La fonction u : x → sin x est continue sur ]−∞, 0[ et comme la fonction v : x → x est continue et ne s’annule pas sur ]−∞, 0[ donc la fonction ƒ = u/v est continue sur ]−∞, 0[.
Donc la fonction ƒ est continue sur ℝ.
Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I)
Théorème 6
Soit ƒ : I → ℝ une fonction continue sur un intervalle I.
Si a et b sont deux points de I (a < b) tels que : ƒ(a) . ƒ(b) ≤ 0. Alors il existe c ∈ [a, b] tel que ƒ(c) = 0.
Exemple 7
Montrer que l’équation x3 + x + 1 = 0, admet une unique racine dans l’intervalle ]−1, 0[.
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par : ƒ(x) = x3 + x + 1
La fonction ƒ est continue sur ℝ car c’est une fonction polynôme, et en particulier elle est continue sur [−1, 0]. (1)
Exercice 8
Et on a : ƒ′(x) = 3x + 1 donc (∀x ∈ [−1, 0]) , ƒ′(x) > 0, d’où ƒ est strictement croissante sur [−1, 0]. (2)
On a : ƒ(−1) = − 1 et ƒ(0) = 1 donc ƒ(−1) × ƒ(0) < 0. (3)
D’après (1) , (2) et (3) on en déduit que l’équation x3 + x + 1 = 0 admet une solution unique dans l’intervalle ]−1, 0[.
Théorème de la bijection
Théorème 9
Soit ƒ : I → ℝ une fonction :
- continue sur I,
- strictement monotone sur I.
On a alors :
∎ ƒ(I) est un intervalle,
∎ ƒ : I → ƒ(I) est une application bijective,
∎ ƒ−1 : ƒ(I) → I est continue et strictement monotone sur ƒ(I). Plus précisément, ƒ−1 possède le même sens de monotonie que ƒ.
Exemple 10
Montrer que l’équation x3 + 2x + 1 = 0 admet une unique solution dans ℝ.
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par : ƒ(x) = x3 + 2x + 1.
On a ƒ′(x) = 3x2 + 2, donc (∀x ∈ ℝ) , ƒ′(x) > 0. D’où la fonction ƒ est strictement croissante sur ℝ.
La fonction ƒ est continue sur ℝ, elle réalise donc une bijection de ℝ sur ƒ(ℝ). Or
ƒ(ℝ) = ƒ(]−∞, +∞[) = ]limx→−∞ ƒ(x), limx→+∞ ƒ(x)[ = ]−∞, +∞[ = ℝ
Comme 0 ∈ ℝ, l’équation ƒ(x) = 0 admet une unique solution α ∈ ℝ.
Par suite l’équation x3 + 2x + 1 = 0 admet une unique solution dans ℝ.
Remarque 11
∎ (Cƒ−1) et (Cƒ) sont symétriques par rapport à (∆) : y = x.
∎ On a
{ y = ƒ−1(x) et x ∈ ƒ(I) ⇔ { x = ƒ(y) et y ∈ I
La continuité de la composée de deux fonctions
Théorème 13
Si ƒ est continue sur un intervalle I et g est continue sur un intervalle J tel que ƒ(I) ⊂ J alors la fonction g ο ƒ est continue sur l’intervalle I.
Exemple 14
Soit ƒ la fonction numérique définie par : ƒ(x) = √x/1+sin2x.
Étudions la continuité de ƒ sur ℝ+.
La fonction u : x → x/1+sin2x est continue sur ℝ+ et u(ℝ+) ⊂ ℝ+ et la fonction v : x → √x est continue sur ℝ+. Donc la fonction ƒ = v ο u est continue sur ℝ+.
Fonction Racine nième
Propriétés 15
Soit ƒ une fonction positive sur un intervalle ouvert I et x0 ∈ I.
- Si ƒ est continue sur I alors la fonction n√ƒ est continue sur I.
- Si limx→x0 ƒ(x) = l ≥ 0 alors limx→x0 n√ƒ(x) = n√l.
- Si limx→x0 ƒ(x) = +∞ alors limx→x0 n√ƒ(x) = +∞.
Exemple 16
On considère la fonction numérique ƒ définie sur I = [0, 1] par : ƒ(x) = 3√1+x − 3x.
Étudier la continuité de la fonction ƒ sur [0, 1].
La fonction v : x → 1 + x est continue et positive sur [0, 1] alors la fonction w : x → 3√v(x) est continue sur [0, 1] , et la fonction u : x → − 3x est continue sur [0, 1]. Donc la fonction ƒ = w + u est continue sur [0, 1].
Dérivabilité
Dérivabilité d’une fonction en un point
Définition 17
Soit ƒ une fonction définie sur un ouvert I et x0 ∈ I.
On dit que ƒ est dérivable en x0 s’il existe un réel l tel que : limx→x0 ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 = l. Le nombre l est appelée le nombre dérivée de la fonction ƒ en x0. Il est noté ƒ′(x0).
Tangente à la courbe d’une fonction en un point
Soit ƒ une fonction dérivable en un point x0.
Une équation de la tangente (T) à la courbe de la fonction ƒ au point M(x0, ƒ(x0)) est :
y = ƒ′(x0)(x − x0) + ƒ(x0)
Remarque 18
Il arrive parfois que la fonction ƒ possède une dérivée à gauche et à droite en x0 sans pour autant être dérivable en x0. Plus précisément, c’est le cas lorsque ƒ′g (x0) ≠ ƒ′d (x0). On introduit alors les notions suivantes :
∎ La demi-tangente à gauche de ƒ en x0 est la droite d’équation : y = ƒ′g (x0)(x − x0) + ƒ(x0).
∎ La demi-tangente à droite de ƒ en x0 est la droite d’équation : y = ƒ′d (x0)(x − x0) + ƒ(x0).
Propriété 19
Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0 ∈ I.
ƒ est dérivable en x0 ⇔ { ƒ est dérivable à droite et à gauche en x0 et ƒ′d (x0) = ƒ′g (x0)
Fonction dérivées des fonctions usuelles
Opérations sur les fonctions dérivables
∎ Si ƒ et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors les fonctions (ƒ + g) , (ƒ − g) , (ƒ × g) et ƒn sont dérivables sur I.
∎ Si ƒ et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et g ≠ 0 sur I alors la fonction ƒ/g est dérivable sur I, et on a le tableau suivant
Corollaire
∎ Toute fonction polynôme est dérivable sur ℝ.
∎ Toute fraction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.
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