Révision Générale Analyse Maths

Révision Générale Analyse Maths Bac 2022. (2ème année bac/ Terminale)

Continuité (Révision Générale Analyse Maths) 

Continuité en un point (Révision Générale Analyse Maths)

Définition 1

1. Soit une fonction ƒ définie sur un ouvert I. Soit a ∈ I.

ƒ est continue en a ⇔ lim_x→a ƒ(x) = ƒ(a)

2. ƒ est continue sur I si et seulement si ƒ est continue en tout réel a de I.

Théorème 2

ƒ est continue en a ⇔ lim_x→a⁺ ƒ(x) = ƒ(a)

Fonction continues et opérations 

Théorème 3

Soient ƒ et g deux fonctions définies sur I. Si les fonctions ƒ et g sont continues sur I, alors

∎ Les fonctions ƒ + g, ƒ × g et αƒ sont continues sur I.

∎ Si la fonction g est non nulle, alors ƒ/g est continue sur I.

∎ Si ƒ ≥ 0 sur I, alors la fonction √ƒ est continue sur I.

Résultats 4

1. Tout fonctions polynôme est continue sur ℝ.
2. Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
3. Les fonctions x → sin x et x → cos x sont continues sur ℝ.
4. La fonction x → 1/x est continue sur ℝ*.
5. La fonction x → √x est continue sur ℝ⁺.
6. La fonction x → ∣x∣ est continue sur ℝ.

Exemple 5

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : { ƒ(x) = x² + x + 1 , si x ≥ 0 et ƒ(x) = sinx/x , si x < 0

Étudier la continuité de la fonction ƒ sur ℝ.

∎ On étudie la continuité de la fonction en 0.

On a lim_x→0⁺ ƒ(x) = lim_x→0⁺ x² + x + 1 = 1 = ƒ(0). Donc la fonction ƒ est continue en 0 à droite.

On a lim_x→0⁻ ƒ(x) = lim_x→0⁺ sinx/x = 1 = ƒ(0). Donc la fonction ƒ est continue en 0 à gauche.

D’où la fonction ƒ est continue en 0.

∎ On étudie la continuité de la fonction sur ]0, +∞[ :

ƒ est une fonction polynôme continue sur ℝ et surtout sur ]0, +∞[.

∎ On étudie la continuité de la fonction sur ]−∞, 0[ :

La fonction u : x → sin x est continue sur ]−∞, 0[ et comme la fonction v : x → x est continue et ne s’annule pas sur ]−∞, 0[ donc la fonction ƒ = u/v est continue sur ]−∞, 0[.

Donc la fonction ƒ est continue sur ℝ.

Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I)

Théorème 6

Soit ƒ : I → ℝ une fonction continue sur un intervalle I.

Si a et b sont deux points de I (a < b) tels que : ƒ(a) . ƒ(b) ≤ 0. Alors il existe c ∈ [a, b] tel que ƒ(c) = 0.

Exemple 7

Montrer que l’équation x³ + x + 1 = 0, admet une unique racine dans l’intervalle ]−1, 0[.

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par : ƒ(x) = x³ + x + 1

La fonction ƒ est continue sur ℝ car c’est une fonction polynôme, et en particulier elle est continue sur [−1, 0]. (1)

Exercice 8

Et on a : ƒ′(x) = 3x + 1 donc (∀x ∈ [−1, 0]) , ƒ′(x) > 0, d’où ƒ est strictement croissante sur [−1, 0]. (2)

On a : ƒ(−1) = − 1 et ƒ(0) = 1 donc ƒ(−1) × ƒ(0) < 0. (3)

D’après (1) , (2) et (3) on en déduit que l’équation x³ + x + 1 = 0 admet une solution unique dans l’intervalle ]−1, 0[.

Théorème de la bijection

Théorème 9

Soit ƒ : I → ℝ une fonction :

1. continue sur I,
2. strictement monotone sur I.

On a alors :

∎ ƒ(I) est un intervalle,

∎ ƒ : I → ƒ(I) est une application bijective,

∎ ƒ⁻¹ : ƒ(I) → I est continue et strictement monotone sur ƒ(I). Plus précisément, ƒ⁻¹ possède le même sens de monotonie que ƒ.

Exemple 10

Montrer que l’équation x³ + 2x + 1 = 0 admet une unique solution dans ℝ.

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par : ƒ(x) = x³ + 2x + 1.

On a ƒ′(x) = 3x² + 2, donc (∀x ∈ ℝ) , ƒ′(x) > 0. D’où la fonction ƒ est strictement croissante sur ℝ.

La fonction ƒ est continue sur ℝ, elle réalise donc une bijection de ℝ sur ƒ(ℝ). Or

ƒ(ℝ) = ƒ(]−∞, +∞[) = ]lim_x→−∞ ƒ(x), lim_x→+∞ ƒ(x)[ = ]−∞, +∞[ = ℝ

Comme 0 ∈ ℝ, l’équation ƒ(x) = 0 admet une unique solution α ∈ ℝ.

Par suite l’équation x³ + 2x + 1 = 0 admet une unique solution dans ℝ.

Remarque 11

∎ (C_ƒ⁻¹) et (C_ƒ) sont symétriques par rapport à (∆) : y = x.

∎ On a

{ y = ƒ⁻¹(x) et x ∈ ƒ(I) ⇔ { x = ƒ(y) et y ∈ I

La continuité de la composée de deux fonctions

Théorème 13

Si ƒ est continue sur un intervalle I et g est continue sur un intervalle J tel que ƒ(I) ⊂ J alors la fonction g ο ƒ est continue sur l’intervalle I.

Exemple 14

Soit ƒ la fonction numérique définie par : ƒ(x) = √x/1+sin²x.

Étudions la continuité de ƒ sur ℝ⁺.

La fonction u : x → x/1+sin²x est continue sur ℝ⁺ et u(ℝ⁺) ⊂ ℝ⁺ et la fonction v : x → √x est continue sur ℝ⁺. Donc la fonction ƒ = v ο u est continue sur ℝ⁺.

Fonction Racine n^ième

Propriétés 15

Soit ƒ une fonction positive sur un intervalle ouvert I et x₀ ∈ I.

1. Si ƒ est continue sur I alors la fonction ⁿ√ƒ est continue sur I.
2. Si lim_x→x0 ƒ(x) = l ≥ 0 alors lim_x→x0 ⁿ√ƒ(x) = ⁿ√l.
3. Si lim_x→x0 ƒ(x) = +∞ alors lim_x→x0 ⁿ√ƒ(x) = +∞.

Exemple 16

On considère la fonction numérique ƒ définie sur I = [0, 1] par : ƒ(x) = ³√1+x − 3x.

Étudier la continuité de la fonction ƒ sur [0, 1].

La fonction v : x → 1 + x est continue et positive sur [0, 1] alors la fonction w : x → ³√v(x) est continue sur [0, 1] , et la fonction u : x → − 3x est continue sur [0, 1]. Donc la fonction ƒ = w + u est continue sur [0, 1].

Dérivabilité

Dérivabilité d’une fonction en un point 

Définition 17

Soit ƒ une fonction définie sur un ouvert I et x₀ ∈ I.

On dit que ƒ est dérivable en x₀ s’il existe un réel l tel que : lim_x→x0 ƒ(x)−ƒ(x₀)/x−x₀ = l. Le nombre l est appelée le nombre dérivée de la fonction ƒ en x₀. Il est noté ƒ′(x₀).

Tangente à la courbe d’une fonction en un point 

Soit ƒ une fonction dérivable en un point x₀.

Une équation de la tangente (T) à la courbe de la fonction ƒ au point M(x₀, ƒ(x₀)) est :

y = ƒ′(x₀)(x − x₀) + ƒ(x₀)

Remarque 18

Il arrive parfois que la fonction ƒ possède une dérivée à gauche et à droite en x₀ sans pour autant être dérivable en x₀. Plus précisément, c’est le cas lorsque ƒ′_g (x₀) ≠ ƒ′_d (x₀). On introduit alors les notions suivantes :

∎ La demi-tangente à gauche de ƒ en x₀ est la droite d’équation : y = ƒ′_g (x₀)(x − x₀) + ƒ(x₀).

∎ La demi-tangente à droite de ƒ en x₀ est la droite d’équation : y = ƒ′_d (x₀)(x − x₀) + ƒ(x₀).

Propriété 19

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x₀ ∈ I.

ƒ est dérivable en x₀ ⇔ { ƒ est dérivable à droite et à gauche en x₀ et ƒ′_d (x₀) = ƒ′_g (x₀)

Fonction dérivées des fonctions usuelles

Opérations sur les fonctions dérivables

∎ Si ƒ et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors les fonctions (ƒ + g) , (ƒ − g) , (ƒ × g) et ƒⁿ sont dérivables sur I.

∎ Si ƒ et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et g ≠ 0 sur I alors la fonction ƒ/g est dérivable sur I, et on a le tableau suivant

Corollaire

∎ Toute fonction polynôme est dérivable sur ℝ.

∎ Toute fraction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

Cliquer ici pour télécharger Révision Générale Analyse Maths Terminale

Vous pouvez aussi consulter :

• Bac blanc corrigé spécialité mathématiques