Révision Générale Analyse Maths

Révision Générale Analyse Maths

Révision Générale Analyse Maths Bac 2022. (2ème année bac/ Terminale)

Continuité (Révision Générale Analyse Maths) 

Continuité en un point (Révision Générale Analyse Maths)

Définition 1

  1. Soit une fonction ƒ définie sur un ouvert I. Soit a I.

ƒ est continue en a ⇔ limx→a ƒ(x) = ƒ(a)

2. ƒ est continue sur I si et seulement si ƒ est continue en tout réel a de I.

Théorème 2

ƒ est continue en a ⇔ limx→a+ ƒ(x) = ƒ(a)

Fonction continues et opérations 

Théorème 3

Soient ƒ et g deux fonctions définies sur I. Si les fonctions ƒ et g sont continues sur I, alors

∎ Les fonctions ƒ + g, ƒ × g et αƒ sont continues sur I.

∎ Si la fonction g est non nulle, alors ƒ/g est continue sur I.

∎ Si ƒ ≥ 0 sur I, alors la fonction √ƒ est continue sur I.

Résultats 4

  1. Tout fonctions polynôme est continue sur .
  2. Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
  3. Les fonctions x → sin x et x → cos x sont continues sur .
  4. La fonction x1/x est continue sur *.
  5. La fonction x → √x est continue sur +.
  6. La fonction x → ∣x∣ est continue sur .

Exemple 5

Soit ƒ la fonction définie sur par : { ƒ(x) = x2 + x + 1 , si x 0 et ƒ(x) = sinx/x , si x < 0

Étudier la continuité de la fonction ƒ sur .

∎ On étudie la continuité de la fonction en 0.

On a limx→0+ ƒ(x) = limx→0+ x2 + x + 1 = 1 = ƒ(0). Donc la fonction ƒ est continue en 0 à droite.

On a limx→0 ƒ(x) = limx→0+ sinx/x = 1 = ƒ(0). Donc la fonction ƒ est continue en 0 à gauche.

D’où la fonction ƒ est continue en 0.

∎ On étudie la continuité de la fonction sur ]0, +∞[ :

ƒ est une fonction polynôme continue sur et surtout sur ]0, +∞[.

∎ On étudie la continuité de la fonction sur ]−∞, 0[ :

La fonction u : x → sin x est continue sur ]−∞, 0[ et comme la fonction v : x → x est continue et ne s’annule pas sur ]−∞, 0[ donc la fonction ƒ = u/v est continue sur ]−∞, 0[.

Donc la fonction ƒ est continue sur .

Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I)

Théorème 6

Soit ƒ : I une fonction continue sur un intervalle I.

Si a et b sont deux points de I (a < b) tels que : ƒ(a) . ƒ(b) ≤ 0. Alors il existe c ∈ [a, b] tel que ƒ(c) = 0.

Exemple 7

Montrer que l’équation x3 + x + 1 = 0, admet une unique racine dans l’intervalle ]−1, 0[.

On considère la fonction ƒ définie sur par : ƒ(x) = x3 + x + 1

La fonction ƒ est continue sur car c’est une fonction polynôme, et en particulier elle est continue sur [−1, 0]. (1)

Exercice 8

Et on a : ƒ′(x) = 3x + 1 donc (∀x ∈ [−1, 0]) , ƒ′(x) > 0, d’où ƒ est strictement croissante sur [−1, 0]. (2)

On a : ƒ(−1) = − 1 et ƒ(0) = 1 donc ƒ(−1) × ƒ(0) < 0. (3)

D’après (1) , (2) et (3) on en déduit que l’équation x3 + x + 1 = 0 admet une solution unique dans l’intervalle ]−1, 0[.

Théorème de la bijection

Théorème 9

Soit ƒ : I une fonction :

  1. continue sur I,
  2. strictement monotone sur I.

On a alors :

∎ ƒ(I) est un intervalle,

∎ ƒ : I → ƒ(I) est une application bijective,

∎ ƒ−1 : ƒ(I) → I est continue et strictement monotone sur ƒ(I). Plus précisément, ƒ−1 possède le même sens de monotonie que ƒ.

Exemple 10

Montrer que l’équation x3 + 2x + 1 = 0 admet une unique solution dans .

On considère la fonction ƒ définie sur par : ƒ(x) = x3 + 2x + 1.

On a ƒ′(x) = 3x2 + 2, donc (∀x) , ƒ′(x) > 0. D’où la fonction ƒ est strictement croissante sur .

La fonction ƒ est continue sur , elle réalise donc une bijection de sur ƒ(). Or

ƒ() = ƒ(]−∞, +∞[) = ]limx→−∞ ƒ(x), limx→+∞ ƒ(x)[ = ]−∞, +∞[ =

Comme 0, l’équation ƒ(x) = 0 admet une unique solution α.

Par suite l’équation x3 + 2x + 1 = 0 admet une unique solution dans .

Remarque 11

∎ (Cƒ−1) et (Cƒ) sont symétriques par rapport à (∆) : y = x.

∎ On a

{ y = ƒ−1(x) et x ∈ ƒ(I) ⇔ { x = ƒ(y) et y I

La continuité de la composée de deux fonctions

Théorème 13

Si ƒ est continue sur un intervalle I et g est continue sur un intervalle J tel que ƒ(I) ⊂ J alors la fonction g ο ƒ est continue sur l’intervalle I.

Exemple 14

Soit ƒ la fonction numérique définie par : ƒ(x) = √x/1+sin2x.

Étudions la continuité de ƒ sur +.

La fonction u : x → x/1+sin2x est continue sur + et u(+) ⊂ + et la fonction v : x → √x est continue sur +. Donc la fonction ƒ = v ο u est continue sur +.

Fonction Racine nième

Propriétés 15

Soit ƒ une fonction positive sur un intervalle ouvert I et x0 I.

  1. Si ƒ est continue sur I alors la fonction nƒ est continue sur I.
  2. Si limx→x0 ƒ(x) = l0 alors limx→x0 n√ƒ(x) = n√l.
  3. Si limx→x0 ƒ(x) = +∞ alors limx→x0 nƒ(x) = +∞.

Exemple 16

On considère la fonction numérique ƒ définie sur I = [0, 1] par : ƒ(x) = 3√1+x − 3x.

Étudier la continuité de la fonction ƒ sur [0, 1].

La fonction v : x → 1 + x est continue et positive sur [0, 1] alors la fonction w : x 3√v(x) est continue sur [0, 1] , et la fonction u : x − 3x est continue sur [0, 1]. Donc la fonction ƒ = w + u est continue sur [0, 1].

Dérivabilité

Dérivabilité d’une fonction en un point 

Définition 17

Soit ƒ une fonction définie sur un ouvert I et x0 I.

On dit que ƒ est dérivable en x0 s’il existe un réel l tel que : limx→x0 ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 = l. Le nombre l est appelée le nombre dérivée de la fonction ƒ en x0. Il est noté ƒ′(x0).

Tangente à la courbe d’une fonction en un point 

Soit ƒ une fonction dérivable en un point x0.

Une équation de la tangente (T) à la courbe de la fonction ƒ au point M(x0, ƒ(x0)) est :

y = ƒ′(x0)(x − x0) + ƒ(x0)

Remarque 18

Il arrive parfois que la fonction ƒ possède une dérivée à gauche et à droite en x0 sans pour autant être dérivable en x0. Plus précisément, c’est le cas lorsque ƒg (x0) ≠ ƒd (x0). On introduit alors les notions suivantes :

∎ La demi-tangente à gauche de ƒ en x0 est la droite d’équation : y = ƒg (x0)(x − x0) + ƒ(x0).

∎ La demi-tangente à droite de ƒ en x0 est la droite d’équation : y = ƒd (x0)(x − x0) + ƒ(x0).

Propriété 19

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0I.

ƒ est dérivable en x0 ⇔ { ƒ est dérivable à droite et à gauche en x0 et ƒd (x0) = ƒg (x0)

Fonction dérivées des fonctions usuelles

Opérations sur les fonctions dérivables

∎ Si ƒ et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors les fonctions (ƒ + g) , (ƒ − g) , (ƒ × g) et ƒn sont dérivables sur I.

∎ Si ƒ et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et g ≠ 0 sur I alors la fonction ƒ/g est dérivable sur I, et on a le tableau suivant

Corollaire

∎ Toute fonction polynôme est dérivable sur .

∎ Toute fraction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

Cliquer ici pour télécharger Révision Générale Analyse Maths Terminale

Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.