Limites d’une fonction révision terminale

Limites d’une fonction révision terminale.

Fonctions élémentaires (Limites d’une fonction révision terminale)

Limite en +∞ et −∞ (Limites d’une fonction révision terminale)

Limite en 0

Exemple 1

Calculer la limite suivante : lim_x→−2 2x−1/x+2.

On détermine le signe de l’expression : x + 2

Comme : lim_x→−2 2x − 1 = −5. Donc, on déduit :

lim_{x→−2x≻−2} 2x−1/x+2 = −∞ et lim_{x→−2x≺−2} 2x−1/x+2 = +∞

Opérations sur les limites et formes indéterminée

Somme de fonctions

Produit de fonctions

Quotient de fonctions

Polynômes et fonctions rationnelles

Fonction polynôme

Règle 2

Un polynôme a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus haut degré.

Si P(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, alors lim_x→+∞ P(x) = lim_x→+∞ a_nxⁿ et lim_x→−∞ P(x) = lim_x→−∞ a_nxⁿ

Exemple 3

• lim_x→+∞ x⁴ − 2x³ + x² + x − 1 = lim_x→+∞ x⁴ = +∞ et lim_x→−∞ x⁴ − 2x³ + x² + x − 1 = lim_x→−∞ x⁴ = +∞
• lim_x→+∞ −3x² − 2x − 1 = lim_x→+∞ −3x² = −∞ et lim_x→−∞ −3x² − 2x − 1 = lim_x→−∞ −3x² = −∞

Fonction rationnelle

Règle 4

Une fonction rationnelle a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.

ƒ(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀/b_mx^m + b_m−1x^m−1 + … + b₁x + b₀ , alors :

lim_x→+∞ ƒ(x) = lim_x→+∞ a_nxⁿ/b_mx^m et lim_x→−∞ ƒ(x) = lim_x→−∞ a_nxⁿ/b_mx^m

Exemple 5

• lim_x→+∞ 3x−x²/x³+1 = lim_x→+∞ −x²/x³ = lim_x→+∞ −1/x = 0.
• lim_x→−∞ (1−√2)x³+x²+1/2x²+1 = lim_x→−∞ (1−√2)x³/2x² = lim_x→−∞ 1−√2/2 x = +∞, car : 1−√2 ≺ 0.

Limite d’une fonction irrationnelle

Règle 6

• Si lim_x→+∞ ƒ(x) = l ≥ 0, alors : lim_x→+∞ √ƒ(x) = √l
• Si lim_x→+∞ ƒ(x) = +∞, alors : lim_x→+∞ √ƒ(x) = +∞

Exemple 7

Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ √x²+x+3 , lim_x→−∞ √x²+x+3 + 2x

• On a : lim_x→+∞ x² + x + 3 = lim_x→+∞ x² = +∞. Donc : lim_x→+∞ √x²+x+3 = +∞.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Limites d’une fonction exercices corrigés
• Limites et continuité cours terminale