La fonction logarithme népérien exercices

Fonction logarithme népérien exercices et problèmes corrigés pdf

La fonction logarithme népérien exercices et problèmes corrigés pdf. C’est une série d’exercices et problèmes corrigés sur la fonction logarithme (Bac / Terminale)

Problème d’analyse 01. (Fonction logarithme népérien exercices et problèmes corrigés pdf)

Le but du problème est d’étudier certaines propriétés de la fonction ƒ. On considère la fonction ƒ définie sur l’intervalle  ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = xln(1 + 1/x2) si x > 0 et ƒ(0) = 0.

On note (C) la courbe représentative de ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ) (unité graphique : 5cm)

Partie 01

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

g(x) = ln(1 + 1/x2) − 2/x2 + 1

  1. Justifier la dérivabilité de la fonction g sur ]0, +∞[ , puis montrer que pour tout x ∈ ]0, +∞[ g′(x) = 2(x2 − 1)/x(x2 + 1)2
  2. Étudier le signe de g′(x) pour tout x ∈ ]0, +∞[. Déterminer la limite de la fonction g en +∞, puis déterminer la limite de g en 0.
  3. Déduire le tableau de variations de la fonction g.
  4. En déduire qu’il existe un unique réel α > 0 tel que : g(α) = 0. Vérifier que 0,5 < α < 0,6.
  5. Déduire des questions précédentes le signe de g(x) pour tout x ∈ ]0, +∞[.
Partie 02
    1. Calculer la limite quand x tend vers +∞ de xƒ(x). (penser au changement de variables : X = 1/x2).
    2. En déduire que ƒ(x) tend vers 0 quand x tend vers +∞. Montrer que pour tout x de ]0, +∞[, on a ƒ′(x) = g(x)
    3. Dresser le tableau de variations de ƒ sur ]0, +∞[.
  1. L’étude de ƒ en 0.
    1. Montrer que xln(1 + 1/x2) tend vers 0 quand X tend vers 0 par valeurs supérieurs.
    2. Que peut-on en conclure ?
    3. Étudier la dérivabilité de ƒ en 0.
    4. Préciser la tangente à la courbe de ƒ au point O.
  2. Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse 1.
  3. Construire l’allure de la fonction ƒ dans le repère orthonormé ( O , i , j ).
Problème d’analyse 02. (Fonction logarithme népérien exercices et problèmes corrigés pdf)

On considère la fonction ƒ définie sur l’intervalle ]0, 2[ par :

ƒ(x) = ln(x/2−x)

On note (C) la courbe représentative de ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

    1. Calculer limx→0x>0 ƒ(x) et limx→2x<2 ƒ(x).
    2. Justifier la dérivabilité de la fonction ƒ sur ]0, 2[, puis montrer que pour tout x ∈ ]0, 2[ on a : ƒ′(x) = 2/x(2 − x)
    3. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
    4. Écrire une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (C) au point A(1,0).
  1. On pose : φ(x) = ƒ(x) − x pour tout x de l’intervalle ]0, 2[.
    1. Montrer que : φ(3/2) ≺ 0 et φ(7/4) ≻ 0. (on prendra : ln 3 = 1,1 et ln 7 = 1,94)
    2. Déduire que l’équation ƒ(x) = x admet une solution α telle que : 3/2 α 7/4, et interpréter le résultat géométriquement et le résultat obtenu.
    3. Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur un intervalle J qu’on déterminera.
  2. Construire dans le même repère orthonormé ( O , i , j ) la courbe (C) et la courbe (T) représentative de la fonction ƒ−1.
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Correction de la série d’exercices sur la fonction logarithme

Problème d’analyse 01
Partie 01

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

g(x) = ln(1 + 1/x2) − 2/x2 + 1

  1. Justifions la dérivabilité de la fonction g sur l’intervalle ]0, +∞[.

La fonction g s’écrit comme la différence de deux fonction u et v, telles que :

u(x) = ln(1 + 1/x2) et v(x) = 2/x2 + 1

  • v est une fonction rationnelle dérivable sur son domaine de définition, et surtout sur ]0, +∞[.

On pose h la fonction définie par : h : x → 1 + 1/x2.

  • h est une fonction dérivable sur ]0, +∞[, car c’est la somme de deux fonctions dérivable ( x → 1 et x → 1/x2), et pour tout x ∈ ]0, +∞[ on a : h(x) ≻ 0. Donc, la fonction v est dérivable sur ]0, +∞[.

Ce qui signifie que la fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ comme la différence de deux fonctions dérivable sur ]0, +∞[.

Calculons g′(x) pour tout x ∈ ]0, +∞[.

2. étudions le signe g′(x) pour tout x ∈ ]0, +∞[.

On a pour tout x ∈ ]0, +∞[.

g′(x) = 2(x2 −1)/x(x2 +1)2

comme x(x2 +1)20, alors le signe g′(x) sur ]0, +∞[ est celui de x2 − 1 = (x − 1)(x + 1). Donc le signe g′(x) est donné par le tableau suivant :

Ce qui signifie que, g′(x) ≤ 0 pour tout x ∈ ]0, 1] et g′(x) ≥ 0 pour tout x ∈ [1, +∞[.

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Devoir surveillé sur la fonction logarithme népérien

Problème 1 On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = ln ∣2x − 1/1 − 2x

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j).

  1. Déterminer Dƒ . (Dƒ l’ensemble de définition de la fonction ƒ).
  2. Montrer que :

(x) = ln (2x − 1)/1 − 2x si x ∈ ]1/2, +∞[

ƒ(x) = ln (2x − 1)/1 − 2x si x ∈ ]−∞, 1/2[

3. a) Calculer : limx→ +∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).

b) Interpréter géométriquement les résultats obtenus.

4. a) Calculer : limx→1/2 ƒ(x) et limx→1/2 ƒ(x)

x>1/2 x<1/2

b) Interpréter géométriquement les résultats obtenus.

5. Montrer que :

{ƒ'(x) = 2(ln(2x − 1)− 1)/(2x − 1)2 si x ∈ ]1/2, +∞[

{ƒ'(x) = 2(ln(2x − 1)− 1)/(2x − 1)2 si x ∈ ]−∞, 1/2[

6. Etudier la signe de ƒ'(x) sur ]1/2, +∞[ et sur ]−∞, 1/2[.

7. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.

8. Déterminer l’équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (Cƒ) en point d’abscisse x = 0.

9. Tracer (Cƒ).

10. Soit m un paramètre réel, déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation : ƒ(x) = m.

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Correction du devoir surveillé

Problème 1 On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = ln ∣2x − 1/1 − 2x

  1. L’ensemble de définition de la fonction ƒ :

Dƒ = {x/ ∣2x − 1> 0 et 1 − 2x ≠0}

= {x ∈ / x ≠ 1/2}

= ]−∞, 1/2[⋃]1/2, +∞[

2. On exprime la fonction ƒ sans valeur absolue :

  • Si : 2x − 1 > 0, alors x > 1/2. Ce qui signifie que : x ∈ ]1/2, +∞[. Donc ∣2x − 1= 2x − 1. Alors l’expression de la fonction ƒ sera :

ƒ(x) = ln(2x − 1)/1 − 2x

  • Si : 2x − 1 < 0, alors x < 1/2. Ce qui signifie que : x ∈ ]−∞, 1/2[. D’où ∣2x − 1= −(2x − 1) = 1 − 2x. Alors l’expression de la fonction ƒ sera :

ƒ(x) = ln(1 − 2x)/1 − 2x

Donc, on conclut que l’expression de ƒ sur Dƒ est : Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur la fonction logarithme népérien pdf Bac

Devoir surveillé fonction logarithme et primitives

Problème d’analyse

Partie 01

Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :

g(x) = x − 2lnx

    1. Calculer g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.
    2. Montrer que g est décroissante sur ]0, 2] et croissante sur [2, +∞[.
    1. Déduire que : g(x)>0 pour tout x de l’intervalle ]0, +∞[.
    2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[) : ln x2/x < 1.
Partie 02

On considère la fonction numérique ƒ définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x − (ln x)2

    1. Calculer limx→0+ ƒ(x), et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
    2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[), (ln x)2/x = 4(ln√x/√x)2 , puis déduire limx→+∞ (ln x)2/x.
    3. Déduire de ce qui précède que : limx→+∞ ƒ(x) et limx→+∞ ƒ(x)/x.
    4. Calculer limx→+∞(x) − x), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
    5. Etudier la position relative de (Cƒ) (la courbe représentative de la fonction ƒ) et la droite (∆) d’équation y = x sur l’intervalle ]0, +∞[.
    1. Montrer que pour tout x de ]0, +∞[ ƒ′(x) = g(x)/x puis montrer que ƒ est strictement croissante sur ]0, +∞[.
    2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
  1. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α dans ]0, +∞[, puis vérifier que 1/e < α < 1/2.
  2. Déduire le signe de la fonction ƒ sur l’intervalle ]0, +∞[.
  3. Tracer la droite (∆) et la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
  4. Justifier puis déterminer les primitives de la fonction h : x → ln x/x + x2 sur l’intervalle ]0, +∞[.
Correction
    1. La fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ comme la somme de deux fonctions dérivables : x → x et x → 2ln x. Calculons g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.

g′(x) = (x − 2ln x)′

= 1 − 2 × 1/x

= x − 2/x

2. Les variations de la fonctions g sur ]0, +∞[ :

On a : x > 0, pour tout x de ]0, +∞[. Donc le signe de g′(x) sur ]0, +∞[ est celui de x − 2, et comme l’expression x − 2 s’annule en 2. Alors :

Ceci implique que :

(∀x ∈ ]0,2]) : g′(x) ≤ 0 et (∀x ∈ [2, +∞[) : g′(x) ≥ 0

Ce qui signifie que la fonction g est décroissante sur ]0,2] et croissante sur [2, +∞[. On déduit le tableau de variations suivant :

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Devoir de maison sur la fonction logarithme et les suites numériques

Problème d’analyse

On considère la fonction numérique ƒ de la variable réelle x telle que :

ƒ(x) = 1/x(1 − ln x)

et soit (Cƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ) (unité 2cm)

Partie 01
  1. Montrer que : Dƒ = ]0, e[∪]e, +∞[. (Dƒ est l’ensemble de définition de la fonction ƒ).
    1. Calculer limx→e+ ƒ(x) et limx→e ƒ(x) puis interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.
    2. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et en déduire la courbe (Cƒ) admet une asymptote au voisinage de +∞ que l’on déterminera.
    3. Montrer que limx→0+ ƒ(x) = +∞ et donner une interprétation géométrique à ce résultat.
    1. Montrer que pour tout x de Dƒ . ƒ′(x) = ln x/x2(1 − ln x)2
    2. Montrer que la fonction ƒ est décroissante sur l’intervalle ]0,1] et croissante sur chacun des deux intervalles [1,e[ et ]e,+∞[.
    3. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur Dƒ.
Partie 02

Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :

g(x) = 1 − x2(1 − ln x)

et soit (Cg) la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé (voir figure).

    1. Déterminer graphiquement le nombre de solution de l’équation (E) suivante : g(x) = 0 , x ∈ ]0, +∞[.
    2. On donne le tableau de valeurs suivant : Montrer que l’équation (E) admet une solution α telle que : 2,2 < α < 2,3.
    1. Vérifier que : ƒ(x) − x = g(x)/x(1 − ln x) pour tout x de Dƒ .
    2. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x coupe la courbe (Cƒ) aux deux points d’abscisses 1 et α.
    3. Déterminer, à partir de (Cg), la signe de la fonction g sur l’intervalle [1, α].
  1. Tracer, la courbe (Cg) et la droite (∆) dans le repère orthonormé ( O , i , j ).
  2. Déterminer les primitives de la fonction ƒ sur Dƒ .
Partie 03

On considère la suite numérique (un) définie par :

u0 = 2 et un+1 = ƒ(un) pour tout n

  1. Montrer par récurrence que 1 ≤ un ≤ α pour tout n de .
  2. Montrer que la suite (un) est décroissante.
  3. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
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Fonction logarithme népérien exercices (Série N2)

Problème d’analyse. (Fonction logarithme népérien exercices N2)
Partie 01

Soit g la fonction définie sur  ]0, +∞[ par :

g(x) = 1 − x + xlnx

    1. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[) : g′(x) = ln x.
    2. Montrer que g est décroissante sur ]0, 1] et croissante sur [1, +∞[.
  1. Calculer g(1). En déduire que : (∀x ∈ ]0, +∞[) : g(x) ≥0.
Partie 02

Soit ƒ la fonction définie sur ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = 3 − 1/x2 − 2lnx/x

et soit (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (unité 1cm)

  1. Montrer que : limx→0+ ƒ(x) = −∞ et interpréter le résultat obtenu.
  2. Montrer que : limx→+∞ ƒ(x) = 3. En déduire la nature de la branche infinie à (Cƒ) au voisinage de +∞.
    1. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[) : ƒ′(x) = 2g(x)/x3
    2. Interpréter le résultat suivant : ƒ′(1) = 0.
    3. Montrer que ƒ est croissante sur ]0, +∞[.
  3. Tracer (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

(On admet que (Cƒ) admet deux points d’inflexion, un point d’abscisse 1 et l’autre d’abscisse compris entre 2 et 2,5 et on prends ƒ(0,3) = 0).

Exercice 02

Soit (un)n la suite définie par :

{u0 = 0 un+1 = 1+4un/7−2un ; (∀n).

  1. Vérifier que : (∀n) : 1 − un+1 = 6(1 − un)/5+2(1 − un) puis montrer par récurrence que : (∀n) : 1 − un>0.
  2. On pose pour tout n : vn = 2un −1/un −1
    1. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 5/6, puis calculer vn en fonction de n.
    2. Montrer que : (∀n) : un = (5/6)n −1/(5/6)n −2 déduire la limite de la suite (un)
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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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