Examen national math 2020 science physique corrigé

Examen national math 2020 Maroc Sciences expérimentales (science physique et Sciences de la vie et de la Terre) corrigé (la session de rattrapage).

Exercice 1 : (2 points)

Soit (u_n) la suite numérique définie par : u₀ = 1 et u_n+1 = 3u_n−8/2u_n−5 pour tout n de ℕ

1. Montrer que pour tout n de ℕ , u_n < 2
2. On pose pour tout n de ℕ , v_n = u_n−3/u_n−2

a) Montrer que (v_n) est une suite arithmétique de raison 2

b) Écrire v_n en fonction de n et en déduire u_n en fonction de n pour tout n de ℕ.

c) Calculer la limite de la suite (u_n)

Exercice 2 : (5 points)

1. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation : z² − √2z + 1 = 0
2. On pose : a = √2/2 + √2/2i

a) Écrire a sous forme trigonométrique et en déduire que a²⁰²⁰ est un nombre réel

b) Soit le nombre complexe b = cosπ/8 + isinπ/8. Prouver que b² = a

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u , v) , on considère les points A , B et C d’affixes respectives a , b et c tel que c = 1. La rotation R de centre O et d’angle π/8 transforme le point M d’affixe z au point M′ d’affixe z′.

a) Vérifier que z′ = bz

b) Déterminer l’image de C par la rotation R et montrer que A est l’image de B par R.

4. a) Montrer que ∣a − b∣ = ∣b − c∣ et en déduire la nature du triangle ABC

b) Déterminer une mesure de l’angle (BA, BC)

5. Soit T la translation de vecteur u et D l’image de A par T

a) Vérifier que l’affixe de D est b² + 1

b) Montrer que b²+1/b = b + b⁻ et en déduire que les points O, B et D sont alignés.

Exercice 3 : (4 points)

On considère la fonction numérique u définie sur ℝ par : u(x) = e^x − 2x + 2 − 3e^−x

1. 1. Montrer que pour tout x de ℝ , u′(x) = (e^x − 1)²+2/e^x
   2. Poser le tableau de variation de la fonction u (sans calculer de limite) ;
   3. En déduire le signe de la fonction u sur ℝ (remarquer que u(0) = 0)
2. Soit la fonction v définie sur ℝ par v(x) = e^2x − 2xe^x + 2e^x − 3
   1. Vérifier que pour tout x de ℝ , v(x) = e^xu(x)
   2. En déduire le signe de la fonction v sur ℝ
3. 1. Montrer que la fonction W définie par W(x) = 1/2e^2x + (4 − 2x)e^x − 3x est une primitive de la fonction v sur ℝ
   2. Calculer l’intégrale ∫²₀ v(x)dx
   3. Montrer que 9/2 est le minimum absolu de la fonction W sur ℝ.

Problème : (9 points)

I – Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par : g(x) = e^1−x + 1/x − 2

1. Montrer que g′(x) < 0, pour tout x ∈ ]0, +∞[
2. Déduire le tableau de signe de g(x) sur l’intervalle ]0, +∞[ ; (remarquer que g(1) = 0)

II – On considère la fonction numérique ƒ définie sur ]0, +∞[ par : ƒ(x) = (1 − x)e^1−x − x² + 5x − 3 − 2lnx et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 2cm)

1. Montrer que lim_x→0x>0 ƒ(x) = +∞ puis interpréter le résultat géométriquement
2. a) Montrer que lim_x→+∞ ƒ(x) = −∞

b) Montrer que lim_x→+∞ ƒ(x)/x = −∞ puis interpréter le résultat géométriquement

3. a) Montrer que pour tout x de ]0, +∞[ , ƒ′(x) = (x − 2)g(x)

b) Montrer que la fonction ƒ est décroissante sur ]0, 1] et sur [2, +∞[ et croissante sur [1, 2]

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Correction Examen 2020 (Rattrapage)

Exercice 1 (Examen national math 2020 Maroc science physique corrigé)

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par : { u₀ = 1 et (∀n ∈ ℕ), u_n+1 = 3u_n−8/2u_n−5

1. Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , u_n < 2.

Pour n = 0 on a u₀ = 1 donc u₀ < 2.

Soit n ∈ ℕ. Supposons que u_n < 2 et montrons que u_n+1 < 2.

On a

u_n+1 − 2 = 3u_n−8/2u_n−5 − 2

= 3u_n−8−4u_n+10/2u_n−5

= −u_n+2/2u_n−5

= −(u_n−2)/2u_n−5

comme u_n < 2 alors −(u_n−2)/2u_n−5 < 0, donc u_n+1 < 2.

Ainsi d’après le principe de récurrence on conclut que

(∀n ∈ ℕ) , u_n < 2.

2. On pose pour tout n ∈ ℕ , v_n = u_n−3/u_n−2.

a) Montrons que (u_n)_n∈ℕ est une arithmétique de raison 2.

Soit n ∈ ℕ, on a

v_n+1 − v_n = u_n+1−3/u_n+1−2 − u_n−3/u_n−2

= 3u_n−8/2u_n−5 −3/3u_n−8/2u_n−5 −2 − u_n−3/u_n−2

= 3u_n−7/u_n−2 − u_n−3/u_n−2

= 3u_n−7−(u_n − 3)/u_n−2

= 2u_n−4/u_n−2

= 2(u_n − 2)/u_n−2

= 2

donc

(∀n ∈ ℕ) , v_n+1 − v_n = 2

ceci signifie que la suite (v_n)_n∈ℕ est une suite arithmétique de raison 2.

b) La suite (u_n)_n∈ℕ est arithmétique de premier terme v₀ = 2 et de raison r = 2. On sait que pour tout entier naturel n

v_n = v₀ + nr

donc

(∀n ∈ ℕ) , v_n = 2 + 2n

Soit n ∈ ℕ, on a

v_n = u_n−3/u_n−2

⇔ v_n(u_n − 2) = u_n − 3

⇔ v_nu_n − 2v_n = u_n − 3

⇔ v_nu_n − u_n = 2v_n − 3

⇔ u_n(v_n − 1) = 2v_n − 3

⇔ u_n = 2v_n−3/v_n−1 = 2(2 + 2n)−3/2+2n−1 = 4n+1/2n+1

donc

(∀n ∈ ℕ) , u_n = 4n+1/2n+1

Exercice 2

1. On résout dans ℂ l’équation suivante (E) : z² − √2z + 1 = 0.

Calculons ∆ :

∆ = b² − 4ac

= (−√2)² − 4 × 1 × 1

= 2 − 4 = − 2 ≺ 0

l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : z₁ et z₂.

z₁ = −b+i√−∆/2a = √2+i√−(−2)/2 = √2+i√2/2 = √2/2 + i√2/2

et comme : z₂ = z₁⁻ = (√2/2 + i√2/2)⁻ = √2/2 − i√2/2. Donc

S = {√2/2 − i√2/2, √2/2 + i√2/2}

2. On pose : a = √2/2 + i√2/2.

a)

• La forme trigonométrique du nombre complexe : a.

Le module de a :

∣a∣ = √(√2/2)²+(√2/2)² = √2/4+2/4 = 1

Donc

a = √2/2 + i√2/2 = cos(π/4) + isin(π/4)

• On déduit que : a²⁰²⁰ ∈ ℝ.

On a d’après la formule de Moivre on a

a²⁰²⁰ = cos(2020π/4) + isin(2020π/4)

= cos(505π) + isin(505π)

= cos(π + 504π) + isin(π + 504π)

= cos(π) + isin(π)

= cos(π) = −1 ∈ ℝ.

b) Soit le nombre complexe b = cosπ/8 + isinπ/8. Montrons que : b² = a.

On a

b² = (cosπ/8 + isinπ/8)² = cos(2π/8) + isin(2π/8) = cos(π/4) + isin(π/4) = √2/2 + i√2/2 = a

3. a) Vérifions que : z′ = bz.

R est la rotation de centre O et d’angle π/8 transforme le point M(z) en M′(z′). C’est-à-dire : R(M) = M′ donc

R(M) = M′ ⇔ z′ − o = e^iπ/8(z − o) ⇔ z′ = e^π/8iz

et comme b = cosπ/8 + isinπ/8 = e^iπ/8, d’où

z′ = bz.

b)

• On cherche l’image C par R.

Notons C′ l’image de C par R, c’est-à-dire R(C) = C′ donc

c′ = bc = b × 1 = b

ce qui signifie que l’image de C par R est B.

• Montrons que A est l’image de B.

Notons que B′ l’image de B par R. C’est-à-dire : R(B) = B′ donc

b′ = bb= b² = a

ce qui signifie que l’image B par R est A.

4. a) Montrons que : ∣a − b∣ = ∣b − c∣.

On a

∣a − b∣ = ∣b² − b∣ = ∣b(b − 1)∣ = ∣b∣∣b − 1∣ = ∣b − 1∣, car : ∣b∣ = ∣e^iπ/8∣ = 1.

et

∣b − c∣ = ∣b − 1∣

donc

∣a − b∣ = ∣b − c∣.

• La nature du triangle ABC.

On a ∣a − b∣ = ∣b − c∣, c’est équivaut à AB = BC. Ceci signifie que que le triangle ABC est isocèle en B.

Exercice 3

On considère la fonction numérique u définie sur ℝ par : u(x) = e^x − 2x + 2 − 3e^−x.

1. a) Montrons que : (∀x ∈ ℝ) , u′(x) = (e^x − 1)²+2/e^x.

La fonction u est dérivable sur ℝ.

Soit x ∈ ℝ, on a

u′(x) = (e^x − 2x + 2 − 3e^−x)′

= e^x − 2 + 3e^−x

= e^x − 2 + 3/e^x

= e^2x−2e^x+3/e^x

= (e^x)²−2e^x+1+2/e^x

= (e^x−1)²+2/e^x

donc

(∀x ∈ ℝ) , u′(x) = (e^x − 1)²+2/e^x.

b) Le tableau de variation de la fonction u

On a (∀x ∈ ℝ) , u′(x) = (e^x − 1)²+2/e^x > 0, ceci signifie que la fonction u est strictement croissante sur ℝ. Donc

c) On déduit le signe de la fonction u sur ℝ.

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