Examen national bac Maroc 2021 Math pdf

Examen national bac Maroc 2021 Math (la session normale) sciences expérimentales pdf.

Exercice 1 : (2 points) Examen national bac Maroc 2021 Math pdf

1. a) Résoudre dans ℝ l’équation : e^2x − 4e^x + 3 = 0

b) Résoudre dans ℝ l’inéquation : e^2x − 4e^x + 3 ≤ 0

c) Calculer lim_x→0 e^2x − 4e^x + 3/e^2x−1

2. Montrer que l’équation e^2x + e^x + 4x = 0 admet une solution dans l’intervalle [−1, 0]

Exercice 2 : (4 points)

Soit (u_n) la suite numérique définie par : u₀ = 1/2 et u_n+1 = u_n/3−2u_n pour tout n de ℕ

1. Calculer u₁
2. Montrer par récurrence que pour tout n de ℕ, 0 < u_n ≤ 1/2
3. 1. Montrer que pour tout n de ℕ, u_n+1/u_n ≤ 1/2
   2. En déduire la monotonie de la suite (u_n)
4. 1. Montrer que pour tout n de ℕ, 0 < u_n ≤ (1/2)ⁿ⁺¹ ; puis calculer la limite de la suite (u_n)
   2. On pose v_n = ln(3 − 2u_n) pour tout n de ℕ, calculer lim v_n
5. 1. Vérifier que pour tout n de ℕ, 1/u_n+1 − 1 = 3(1/u_n − 1)
   2. En déduire u_n en fonction de n pour tout n de ℕ

Exercice 3 : (5 points)

1. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, l’équation : z² − √3z + 1 = 0
2. Soient les nombres complexes a = e^iπ/6 et b = 3/2 + i√3/2

a) Écrire a sous forme algébrique.

b) Vérifier que a⁻b = √3

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a , b et a⁻.

3. Montrer que le point B est l’image du point A par une homothétie h de centre O dont on déterminera le rapport.

4. Soient z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre A et d’angle π/2

a) Écrire z′ en fonction de z et a.

b) Soit d l’affixe du point D image de C par la rotation R, montrer que d = a + 1

c) Soit I le point d’affixe le nombre 1, montrer que ADIO est un losange.

5. a) Vérifier que d − b = √3−1/2(1 − i) ; en déduire un argument du nombre d − b

b) Écrire le nombre 1 − b sous forme trigonométrique.

c) Déduire une mesure de l’angle (BI, BD)

Problème : (9 points)

Soit la fonction ƒ définie sur [0, +∞[ par : ƒ(0) = 0 et ƒ(x) = 2xlnx − 2x si x > 0 et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j) (unité : 1cm)

1. Montrer que ƒ est continue à droite au point 0.
2. a) Calculer lim_x→−∞ ƒ(x)

b) Calculer lim_x→+∞ ƒ(x)/x puis interpréter géométriquement le résultat

3. a) Calculer lim_x→0⁺ ƒ(x)/x et interpréter géométriquement le résultat

b) Calculer ƒ′(x) pour tout x de ]0, +∞[

c) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur [0, +∞[

4. a) Résoudre dans l’intervalle ]0, +∞[ les équations ƒ(x) = 0 et ƒ(x) = x

b) Construire la courbe (C) dans le repère (O, i , j) (on prend e^3/2 ≃ 4,5)

5. a) En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫^e₁ xlnxdx = 1+e²/4

b) En déduire : ∫^e₁ ƒ(x) dx

6. a) Déterminer le minimum de ƒ sur ]0, +∞[

b) déduire que pour tout x de ]0, +∞[ , lnx ≥ x−1/x

7. Soit g la restriction de la fonction ƒ à l’intervalle [1, +∞[

a) Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g⁻¹ définie sur un intervalle J qu’on déterminera.

b) Construire dans le même repère (O, i , j ) la courbe représentative de la fonction g⁻¹

8. On considère la fonction h définie sur ℝ par {h(x) = x³ + 3x ; x ≤ 0 et h(x) = 2xlnx − 2x ; x > 0

a) Étudier la continuité de h au point 0

b) Étudier la dérivabilité de la fonction h à gauche au point 0 puis interpréter géométriquement le résultat.

c) La fonction h est-elle dérivable au point 0 ? justifier.

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Correction Examen national bac Maroc 2021 Math

Exercice 1

1. a) Résolvons dans ℝ l’équation : e^2x − 4e^x + 3 = 0.

Soit x ∈ ℝ, on a

e^2x − 4e^x + 3 = 0 ⇔ (e^x)² − 4e^x + 3 = 0

on pose X = e^x alors l’équation dévient X² − 4X + 3 = 0.

Puisque ∆ = 4, donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes

X = 4+2/2×1 ou X = 4−2/2×1

⇔ X = 3 ou X = 1

⇔ e^x = 3 ou e^x = 1

⇔ x = ln (3) ou x = 0

donc l’ensemble des solutions de l’équation est

S = {0, ln(3)}

b) Résolvons dans ℝ l’inéquation : (I) : e^2x − 4e^x + 3 ≤ 0

On pose X = e^x, on obtient

e^2x − 4e^x + 3 ≤ 0 ⇔ X² − 4X + 3 ≤ 0

comme ∆ = 4 alors le signe de X² − 4X + 3 est :

donc

X² − 4X + 3 ≤ 0

⇔ X ∈ [1, 3]

⇔ 1 ≤ X ≤ 3

⇔ 1 ≤ e^x ≤ 3

⇔ 0 ≤ x ≤ ln 3

⇔ x ∈ [0, ln 3]

d’où l’ensemble des solutions de l’inéquation est

S = [0, ln 3]

c) Calculons : lim_x→0 e^2x − 4e^x + 3/e^2x−1 :

On a

lim_x→0 e^2x − 4e^x + 3/e^2x−1 = lim_x→0 (e^x − 1)(e^x − 3)/(e^x)²−1 / e^2x − 4e^x + 3 = (e^x − 1)(e^x − 3)

= lim_x→0 (e^x − 1)(e^x − 3)/(e^x − 1)(e^x + 1) / (e^x)² − 1 = (e^x − 1)(e^x + 1)

= lim_x→0 e^x−3/e^x+1 = 1−3/1+1 = −1

donc

lim_x→0 e^2x − 4e^x + 3/e^2x−1 = − 1

2. Montrons que l’équation e^2x + e^x + 4x = 0 admet une solution dans [−1, 0] :

On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = e^2x + e^x + 4x.

∎ Les fonctions u : x → e^2x , v : x → e^x et w : x → 4x sont continues sur [−1, 0] donc la fonction ƒ = u + v + w est continue sur [−1, 0].

∎ On a : ƒ(−1) = e⁻² + e⁻¹ − 4 et ƒ(0) = 2 donc ƒ(− 1) × ƒ(0) < 0.

Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution dans [−1, 0]. D’où l’équation e^2x + e^x + 4x = 0 admet une solution dans [−1, 0].

Exercice 2

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par : { u₀ = 1/2 et u_n+1 = u_n/3−2u_n

1. Calculons u₁ :

On a : u₁ = u₀/3−2u₀ = 1/2/3−2×1/2 = 1/4, donc u₁ = 1/4.

2. Montrons que : (∀n ∈ ℕ), 0 < u_n ≤ 1/2.

Pour n = 0, on a u₀ = 1/2 donc 0 < u₀ ≤ 1/2.

Soit n ∈ ℕ. Supposons que 0 < u_n ≤ 1/2, montrons que : 0 < u_n+1 ≤ 1/2.

On a : 0 < u_n ≤ 1/2 alors 2 < 3 − 2u_n ≤ 3 par suite 1/3 < 1/3−2u_n ≤ 1/2 donc

0 × 1/3 < u_n × 1/3−2u_n ≤ 1/2 × 1/2

d’où : 0 < u_n+1 ≤ 1/4 et comme 1/4 ≤ 1/2 donc 0 < u_n+1 ≤ 1/2.

D’où d’après le principe de récurrence

(∀n ∈ ℕ), 0 < u_n ≤ 1/2.

3. a) Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , u_n+1/u_n ≤ 1/2.

Soit n ∈ ℕ. u_n ≠ 0 puis

u_n+1/u_n = u_n/3−2u_n/u_n

= u_n/u_n(3 − 2u_n)

= 1/3−2u_n

et comme 0 < u_n ≤ 1/2 alors 1/3 < 1/3−2u_n ≤ 1/2 donc

(∀n ∈ ℕ) , u_n+1/u_n ≤ 1/2.

b) On déduit que la monotonie de la suite (u_n)_n∈ℕ :

On a : (∀n ∈ ℕ) , u_n+1/u_n ≤ 1/2 et comme 1/2 < 1 alors u_n+1/u_n < 1 donc

(∀n ∈ ℕ) , u_n+1 ≤ u_n

ceci signifie que la suite (u_n)_n∈ℕ est décroissante.

4. a) Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , 0 < u_n ≤ (1/2)ⁿ⁺¹

Méthode 2 Montrons par récurrence que : (∀n ∈ ℕ) , 0 < u_n ≤ (1/2)ⁿ⁺¹

pour n = 0, on a u₀ = 1/2 donc 0 < u₀ ≤ 1/2.

Soit n ∈ ℕ. Supposons que 0 < u_n ≤ (1/2)ⁿ⁺¹ , montrons que : 0 < u_n+1 ≤ (1/2)ⁿ⁺².

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