Examen national bac Maroc 2021 Math pdf

Examen national bac Maroc 2021 Math pdf

Examen national bac Maroc 2021 Math (la session normale) sciences expérimentales pdf.

Exercice 1 : (2 points)
  1. a) Résoudre dans l’équation : e2x − 4ex + 3 = 0

b) Résoudre dans l’inéquation : e2x − 4ex + 30

c) Calculer limx→0 e2x − 4ex + 3/e2x−1

2. Montrer que l’équation e2x + ex + 4x = 0 admet une solution dans l’intervalle [−1, 0]

Exercice 2 : (4 points)

Soit (un) la suite numérique définie par : u0 = 1/2 et un+1 = un/3−2un pour tout n de

  1. Calculer u1
  2. Montrer par récurrence que pour tout n de , 0 < un 1/2
    1. Montrer que pour tout n de , un+1/un1/2
    2. En déduire la monotonie de la suite (un)
    1. Montrer que pour tout n de , 0 < un ≤ (1/2)n+1 ; puis calculer la limite de la suite (un)
    2. On pose vn = ln(3 − 2un) pour tout n de , calculer lim vn
    1. Vérifier que pour tout n de , 1/un+1 − 1 = 3(1/un − 1)
    2. En déduire un en fonction de n pour tout n de
Exercice 3 : (5 points)
  1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation : z2 − √3z + 1 = 0
  2. Soient les nombres complexes a = eiπ/6 et b = 3/2 + i√3/2

a) Écrire a sous forme algébrique.

b) Vérifier que ab = √3

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a , b et a.

3. Montrer que le point B est l’image du point A par une homothétie h de centre O dont on déterminera le rapport.

4. Soient z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre A et d’angle π/2

a) Écrire z′ en fonction de z et a.

b) Soit d l’affixe du point D image de C par la rotation R, montrer que d = a + 1

c) Soit I le point d’affixe le nombre 1, montrer que ADIO est un losange.

5. a) Vérifier que d − b = √3−1/2(1 − i) ; en déduire un argument du nombre d − b

b) Écrire le nombre 1 − b sous forme trigonométrique.

c) Déduire une mesure de l’angle (BI, BD)

Problème : (9 points)

Soit la fonction ƒ définie sur [0, +∞[ par : ƒ(0) = 0 et ƒ(x) = 2xlnx − 2x si x > 0 et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j) (unité : 1cm)

  1. Montrer que ƒ est continue à droite au point 0.
  2. a) Calculer limx→−∞ ƒ(x)

b) Calculer limx→+∞ ƒ(x)/x puis interpréter géométriquement le résultat

3. a) Calculer limx→0+ ƒ(x)/x et interpréter géométriquement le résultat

b) Calculer ƒ′(x) pour tout x de ]0, +∞[

c) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur [0, +∞[

4. a) Résoudre dans l’intervalle ]0, +∞[ les équations ƒ(x) = 0 et ƒ(x) = x

b) Construire la courbe (C) dans le repère (O, i , j) (on prend e3/2 ≃ 4,5)

5. a) En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫e1 xlnxdx = 1+e2/4

b) En déduire : ∫e1 ƒ(x) dx

6. a) Déterminer le minimum de ƒ sur ]0, +∞[

b) déduire que pour tout x de ]0, +∞[ , lnx x−1/x

7. Soit g la restriction de la fonction ƒ à l’intervalle [1, +∞[

a) Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g−1 définie sur un intervalle J qu’on déterminera.

b) Construire dans le même repère (O, i , j ) la courbe représentative de la fonction g−1

8. On considère la fonction h définie sur par {h(x) = x3 + 3x ; x ≤ 0 et h(x) = 2xlnx − 2x ; x > 0

a) Étudier la continuité de h au point 0

b) Étudier la dérivabilité de la fonction h à gauche au point 0 puis interpréter géométriquement le résultat.

c) La fonction h est-elle dérivable au point 0 ? justifier.

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Correction Examen 2021

Exercice 1
  1. a) Résolvons dans l’équation : e2x − 4ex + 3 = 0.

Soit x , on a

e2x − 4ex + 3 = 0 ⇔ (ex)2 − 4ex + 3 = 0

on pose X = ex alors l’équation dévient X2 − 4X + 3 = 0.

Puisque ∆ = 4, donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes

X = 4+2/2×1 ou X = 4−2/2×1

X = 3 ou X = 1

ex = 3 ou ex = 1

x = ln (3) ou x = 0

donc l’ensemble des solutions de l’équation est

S = {0, ln(3)}

b) Résolvons dans l’inéquation : (I) : e2x − 4ex + 3 ≤ 0

On pose X = ex, on obtient

e2x − 4ex + 3 ≤ 0 X2 − 4X + 3 ≤ 0

comme ∆ = 4 alors le signe de X2 − 4X + 3 est :

donc

X2 − 4X + 3 ≤ 0

X ∈ [1, 3]

1 ≤ X ≤ 3

1 ≤ ex ≤ 3

0 ≤ x ≤ ln 3

x ∈ [0, ln 3]

d’où l’ensemble des solutions de l’inéquation est

S = [0, ln 3]

c) Calculons : limx→0 e2x − 4ex + 3/e2x−1 :

On a

limx→0 e2x − 4ex + 3/e2x−1 = limx→0 (ex − 1)(ex − 3)/(ex)2−1 / e2x − 4ex + 3 = (ex − 1)(ex − 3)

= limx→0 (ex − 1)(ex − 3)/(ex − 1)(ex + 1) / (ex)2 − 1 = (ex − 1)(ex + 1)

= limx→0 ex−3/ex+1 = 1−3/1+1 = −1

donc

limx→0 e2x − 4ex + 3/e2x−1 = − 1

2. Montrons que l’équation e2x + ex + 4x = 0 admet une solution dans [−1, 0] :

On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = e2x + ex + 4x.

∎ Les fonctions u : x e2x , v : x ex et w : x 4x sont continues sur [−1, 0] donc la fonction ƒ = u + v + w est continue sur [−1, 0].

∎ On a : ƒ(−1) = e−2 + e−1 − 4 et ƒ(0) = 2 donc ƒ(− 1) × ƒ(0) < 0.

Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution dans [−1, 0]. D’où l’équation e2x + ex + 4x = 0 admet une solution dans [−1, 0].

Exercice 2

Soit (un)n la suite numérique définie par : { u0 = 1/2 et un+1 = un/3−2un

  1. Calculons u1 :

On a : u1 = u0/3−2u0 = 1/2/3−2×1/2 = 1/4, donc u1 = 1/4.

2. Montrons que : (∀n), 0 < un ≤ 1/2.

Pour n = 0, on a u0 = 1/2 donc 0 < u0 ≤ 1/2.

Soit n . Supposons que 0 < un ≤ 1/2, montrons que : 0 < un+1 ≤ 1/2.

On a : 0 < un ≤ 1/2 alors 2 < 3 − 2un ≤ 3 par suite 1/3 < 1/3−2un ≤ 1/2 donc

0 × 1/3 < un × 1/3−2un ≤ 1/2 × 1/2

d’où : 0 < un+1 ≤ 1/4 et comme 1/4 ≤ 1/2 donc 0 < un+1 ≤ 1/2.

D’où d’après le principe de récurrence

(∀n), 0 < un ≤ 1/2.

3. a) Montrons que : (∀n) , un+1/un ≤ 1/2.

Soit n. un ≠ 0 puis

un+1/un = un/3−2un/un

= un/un(3 − 2un)

= 1/3−2un

et comme 0 < un ≤ 1/2 alors 1/3 < 1/3−2un ≤ 1/2 donc

(∀n) , un+1/un ≤ 1/2.

b) On déduit que la monotonie de la suite (un)n :

On a : (∀n) , un+1/un ≤ 1/2 et comme 1/2 < 1 alors un+1/un < 1 donc

(∀n ) , un+1 ≤ un

ceci signifie que la suite (un)n est décroissante.

4. a) Montrons que : (∀n ) , 0 < un ≤ (1/2)n+1

Méthode 2 Montrons par récurrence que : (∀n ) , 0 < un ≤ (1/2)n+1

pour n = 0, on a u0 = 1/2 donc 0 < u0 1/2.

Soit n. Supposons que 0 < un ≤ (1/2)n+1 , montrons que : 0 < un+1 ≤ (1/2)n+2.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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