Examen national bac Maroc 2021 Math (la session normale) sciences expérimentales pdf.
Exercice 1 : (2 points) Examen national bac Maroc 2021 Math pdf
- a) Résoudre dans ℝ l’équation : e2x − 4ex + 3 = 0
b) Résoudre dans ℝ l’inéquation : e2x − 4ex + 3 ≤ 0
c) Calculer limx→0 e2x − 4ex + 3/e2x−1
2. Montrer que l’équation e2x + ex + 4x = 0 admet une solution dans l’intervalle [−1, 0]
Exercice 2 : (4 points)
Soit (un) la suite numérique définie par : u0 = 1/2 et un+1 = un/3−2un pour tout n de ℕ
- Calculer u1
- Montrer par récurrence que pour tout n de ℕ, 0 < un ≤ 1/2
- Montrer que pour tout n de ℕ, un+1/un ≤ 1/2
- En déduire la monotonie de la suite (un)
- Montrer que pour tout n de ℕ, 0 < un ≤ (1/2)n+1 ; puis calculer la limite de la suite (un)
- On pose vn = ln(3 − 2un) pour tout n de ℕ, calculer lim vn
- Vérifier que pour tout n de ℕ, 1/un+1 − 1 = 3(1/un − 1)
- En déduire un en fonction de n pour tout n de ℕ
Exercice 3 : (5 points)
- Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, l’équation : z2 − √3z + 1 = 0
- Soient les nombres complexes a = eiπ/6 et b = 3/2 + i√3/2
a) Écrire a sous forme algébrique.
b) Vérifier que a−b = √3
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a , b et a−.
3. Montrer que le point B est l’image du point A par une homothétie h de centre O dont on déterminera le rapport.
4. Soient z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre A et d’angle π/2
a) Écrire z′ en fonction de z et a.
b) Soit d l’affixe du point D image de C par la rotation R, montrer que d = a + 1
c) Soit I le point d’affixe le nombre 1, montrer que ADIO est un losange.
5. a) Vérifier que d − b = √3−1/2(1 − i) ; en déduire un argument du nombre d − b
b) Écrire le nombre 1 − b sous forme trigonométrique.
c) Déduire une mesure de l’angle (BI, BD)
Problème : (9 points)
Soit la fonction ƒ définie sur [0, +∞[ par : ƒ(0) = 0 et ƒ(x) = 2xlnx − 2x si x > 0 et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j) (unité : 1cm)
- Montrer que ƒ est continue à droite au point 0.
- a) Calculer limx→−∞ ƒ(x)
b) Calculer limx→+∞ ƒ(x)/x puis interpréter géométriquement le résultat
3. a) Calculer limx→0+ ƒ(x)/x et interpréter géométriquement le résultat
b) Calculer ƒ′(x) pour tout x de ]0, +∞[
c) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur [0, +∞[
4. a) Résoudre dans l’intervalle ]0, +∞[ les équations ƒ(x) = 0 et ƒ(x) = x
b) Construire la courbe (C) dans le repère (O, i , j) (on prend e3/2 ≃ 4,5)
5. a) En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫e1 xlnxdx = 1+e2/4
b) En déduire : ∫e1 ƒ(x) dx
6. a) Déterminer le minimum de ƒ sur ]0, +∞[
b) déduire que pour tout x de ]0, +∞[ , lnx ≥ x−1/x
7. Soit g la restriction de la fonction ƒ à l’intervalle [1, +∞[
a) Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g−1 définie sur un intervalle J qu’on déterminera.
b) Construire dans le même repère (O, i , j ) la courbe représentative de la fonction g−1
8. On considère la fonction h définie sur ℝ par {h(x) = x3 + 3x ; x ≤ 0 et h(x) = 2xlnx − 2x ; x > 0
a) Étudier la continuité de h au point 0
b) Étudier la dérivabilité de la fonction h à gauche au point 0 puis interpréter géométriquement le résultat.
c) La fonction h est-elle dérivable au point 0 ? justifier.
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Correction Examen national bac Maroc 2021 Math
Exercice 1
- a) Résolvons dans ℝ l’équation : e2x − 4ex + 3 = 0.
Soit x ∈ ℝ, on a
e2x − 4ex + 3 = 0 ⇔ (ex)2 − 4ex + 3 = 0
on pose X = ex alors l’équation dévient X2 − 4X + 3 = 0.
Puisque ∆ = 4, donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes
X = 4+2/2×1 ou X = 4−2/2×1
⇔ X = 3 ou X = 1
⇔ ex = 3 ou ex = 1
⇔ x = ln (3) ou x = 0
donc l’ensemble des solutions de l’équation est
S = {0, ln(3)}
b) Résolvons dans ℝ l’inéquation : (I) : e2x − 4ex + 3 ≤ 0
On pose X = ex, on obtient
e2x − 4ex + 3 ≤ 0 ⇔ X2 − 4X + 3 ≤ 0
comme ∆ = 4 alors le signe de X2 − 4X + 3 est :
donc
X2 − 4X + 3 ≤ 0
⇔ X ∈ [1, 3]
⇔ 1 ≤ X ≤ 3
⇔ 1 ≤ ex ≤ 3
⇔ 0 ≤ x ≤ ln 3
⇔ x ∈ [0, ln 3]
d’où l’ensemble des solutions de l’inéquation est
S = [0, ln 3]
c) Calculons : limx→0 e2x − 4ex + 3/e2x−1 :
On a
limx→0 e2x − 4ex + 3/e2x−1 = limx→0 (ex − 1)(ex − 3)/(ex)2−1 / e2x − 4ex + 3 = (ex − 1)(ex − 3)
= limx→0 (ex − 1)(ex − 3)/(ex − 1)(ex + 1) / (ex)2 − 1 = (ex − 1)(ex + 1)
= limx→0 ex−3/ex+1 = 1−3/1+1 = −1
donc
limx→0 e2x − 4ex + 3/e2x−1 = − 1
2. Montrons que l’équation e2x + ex + 4x = 0 admet une solution dans [−1, 0] :
On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = e2x + ex + 4x.
∎ Les fonctions u : x → e2x , v : x → ex et w : x → 4x sont continues sur [−1, 0] donc la fonction ƒ = u + v + w est continue sur [−1, 0].
∎ On a : ƒ(−1) = e−2 + e−1 − 4 et ƒ(0) = 2 donc ƒ(− 1) × ƒ(0) < 0.
Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution dans [−1, 0]. D’où l’équation e2x + ex + 4x = 0 admet une solution dans [−1, 0].
Exercice 2
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par : { u0 = 1/2 et un+1 = un/3−2un
- Calculons u1 :
On a : u1 = u0/3−2u0 = 1/2/3−2×1/2 = 1/4, donc u1 = 1/4.
2. Montrons que : (∀n ∈ ℕ), 0 < un ≤ 1/2.
Pour n = 0, on a u0 = 1/2 donc 0 < u0 ≤ 1/2.
Soit n ∈ ℕ. Supposons que 0 < un ≤ 1/2, montrons que : 0 < un+1 ≤ 1/2.
On a : 0 < un ≤ 1/2 alors 2 < 3 − 2un ≤ 3 par suite 1/3 < 1/3−2un ≤ 1/2 donc
0 × 1/3 < un × 1/3−2un ≤ 1/2 × 1/2
d’où : 0 < un+1 ≤ 1/4 et comme 1/4 ≤ 1/2 donc 0 < un+1 ≤ 1/2.
D’où d’après le principe de récurrence
(∀n ∈ ℕ), 0 < un ≤ 1/2.
3. a) Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , un+1/un ≤ 1/2.
Soit n ∈ ℕ. un ≠ 0 puis
un+1/un = un/3−2un/un
= un/un(3 − 2un)
= 1/3−2un
et comme 0 < un ≤ 1/2 alors 1/3 < 1/3−2un ≤ 1/2 donc
(∀n ∈ ℕ) , un+1/un ≤ 1/2.
b) On déduit que la monotonie de la suite (un)n∈ℕ :
On a : (∀n ∈ ℕ) , un+1/un ≤ 1/2 et comme 1/2 < 1 alors un+1/un < 1 donc
(∀n ∈ ℕ) , un+1 ≤ un
ceci signifie que la suite (un)n∈ℕ est décroissante.
4. a) Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , 0 < un ≤ (1/2)n+1
Méthode 2 Montrons par récurrence que : (∀n ∈ ℕ) , 0 < un ≤ (1/2)n+1
pour n = 0, on a u0 = 1/2 donc 0 < u0 ≤ 1/2.
Soit n ∈ ℕ. Supposons que 0 < un ≤ (1/2)n+1 , montrons que : 0 < un+1 ≤ (1/2)n+2.
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