Correction d’examen national 2020 math science physique

Correction d’examen national 2020 Maroc math science physique et sciences de la vie et la terre (la session normale).

Exercice 1 : (4 points) Correction d’examen national 2020 math science physique

Soit (u_n) la suite numérique définie par : u₀ = 3/2 et u_n+1 = 2u_n/2u_n+5 pour tout n de ℕ

1. Calculer u₁
2. Montrer par récurrence que pour tout n de ℕ , u_n > 0
3. a) Montrer que pour tout n de ℕ , 0 < u_n+1 ≤ 2/5u_n

puis en déduire que pour tout n de ℕ , 0 < u_n ≤ 3/2(2/5)ⁿ

b) Calculer lim u_n

4. On considère la suite numérique (v_n) définie par v_n = 4u_n/2u_n+3 pour tout n de ℕ.

a) Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 2/5

b) Déterminer v_n en fonction de n et en déduire u_n en fonction de n pour tout n de ℕ.

Exercice 2 : (5 points)

1. Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, on considère l’équation :

(E) : z² − 2(√2 + √6)z + 16 = 0

a) Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est ∆ = −4(√6 − √2)²

b) En déduire les solutions de l’équation (E).

2. Soient les nombres complexes a = (√6 + √2) + i(√6 − √2), b = 1 + i√3 et c = √2 + i√2

a) Vérifier que bc⁻ = a , puis en déduire que ac = 4b

b) Écrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique

c) En déduire que a = 4(cosπ/12 + isinπ/12)

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u , v) , on considère les points B, C et D d’affixes respectives b , c et d telle que d = a⁴. Soient z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe de M′ image de M par la rotation R de centre O et d’angle π/12

a) Vérifier que z′ = 1/4az

b) Déterminer l’image du point C par la rotation R

c) Déterminer la nature du triangle OBC.

d) Montrer que a⁴ = 128b et en déduire que les points O , B et D sont alignés

Exercice 3 : (4 points)

On considère la fonction numérique g définie sur ]0, +∞[ par g(x) = 2√x − 2 − ln x

1. a) Montrer que pour tout x de ]0, +∞[, g′(x) = √x−1/x

b) Montrer que g est croissante sur [1, +∞[

c) en déduire que pour tout x de [1, +∞[ , 0 ≤ ln x ≤ 2√x (Remarquer que 2√x − 2 ≤ 2√x)

d) Montrer que pour tout x de [1, +∞[, 0 ≤ (ln x)³/x² ≤ 8/√x et en déduire lim_x→+∞ (ln x)³/x²

2. a) Montrer que la fonction G : x → x(−1 + 4/3√x − ln x) est une primitive de g sur ]0, +∞[

b) Calculer l’intégrale ∫⁴₁ g(x) dx

Problème : (7 points)

On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par ƒ(x) = −x + 5/2 −1/2e^x−2(e^x−2 − 4) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j) (unité : 2cm)

1. Montrer que lim_x→−∞ ƒ(x) = +∞ et lim_x→+∞ ƒ(x) = −∞
2. a) Démontrer que la droite (∆) d’équation y = −x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de −∞

b) Résoudre l’équation e^x−2 − 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (∆) sur l’intervalle ]−∞, 2 + ln 4] et en dessous de (∆) sur l’intervalle [2 + ln 4, +∞[

3. Montrer que lim_x→+∞ ƒ(x)/x = −∞ puis interpréter géométriquement le résultat

4. a) Montrer que pour tout x de ℝ ƒ′(x) = −(e^x−2 − 1)²

b) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ

5. Calculer ƒ″(x) pour tout x de ℝ puis montrer que A(2, 2) est un point d’inflexion de (C)

6. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α telle que 2 + ln 3 < α < 2 + ln 4

7. Construire (∆) et (C) dans le même repère (O, i , j) (on prend ln 2 ≃ 0,7 et ln 3 ≃ 1,1)

8. a) Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ définie sur ℝ

b) Construire dans le même repère ( O , i , j) la courbe représentative de la fonction ƒ⁻¹ (Remarquer que la droite (∆) est perpendiculaire à la première bissectrice du repère)

c) Calculer (ƒ⁻¹)′(2 − ln 3) (Remarquer que ƒ⁻¹(2 − ln 3) = 2 + ln 3)

Cliquer ici pour télécharger Examen national 2020 Maroc math sciences expérimentales (la session normale)

Correction d’examen national 2020 math science physique

Exercice 1

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par : { u₀ = 3/2 et (∀n ∈ ℕ) , u_n+1 = 2u_n/2u_n+5

1. Calculons u₁ :

On a : u₁ = 2u₀/2u₀+5 = 2×3/2/2×3/2+5 = 3/8, donc u₁ = 3/8.

2. Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , u_n > 0.

Pour n = 0, on a u₀ = 3/2 alors u₀ > 0.

Soit n ∈ ℕ. Supposons que u_n > 0 et montrons que : u_n+1 > 0.

On a : u_n > 0 alors 2u_n > 0 et comme 5 > 0 alors 2u_n + 5 > 0 donc 2u_n/2u_n+5 > 0 c’est-à-dire u_n+1 > 0.

D’où d’après le principe de récurrence on déduit que

(∀n ∈ ℕ) , u_n > 0

a) Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , 0 < u_n+1 ≤ 2/5u_n.

Soit n ∈ ℕ, on a

u_n+1 − 2/5u_n = 2u_n/2u_n+5 − 2/5u_n

= 10u_n−4u_n²−10u_n/5(2u_n+5)

= −4u_n²/5(2u_n+5)

et comme u_n > 0 alors −4u_n²/5(2u_n+5) ≤ 0 pour tout n ∈ ℕ, donc u_n+1 ≤ 2/5u_n.

D’autre part, puisque u_n > 0 alors u_n+1 > 0 donc

(∀n ∈ ℕ) , 0 < u_n+1 ≤ 2/5u_n.

Déduisons que : (∀n ∈ ℕ) , 0 < u_n ≤ 3/2(2/5)ⁿ .

Pour n = 0, on a u₀ = 3/2 alors 0 < u₀ ≤ 3/2.

Soit n ∈ ℕ. Supposons que 0 < u_n ≤ 3/2(2/5)ⁿ, montrons que : 0 < u_n+1 ≤ 3/2(2/5)ⁿ⁺¹.

On a : 0 < u_n ≤ 3/2(2/5)ⁿ alors 0 < 2/5u_n ≤ 3/2(2/5)ⁿ⁺¹ et comme 0 < u_n+1 ≤ 2/5u_n alors

0 < u_n+1 ≤ 3/2(2/5)ⁿ⁺¹

Donc d’après le principe de récurrence on déduit que

(∀n ∈ ℕ) , 0 < u_n ≤ 3/2(2/5)ⁿ

b) Calculons lim_n→+∞ u_n :

On a 0 < u_n ≤ 3/2(2/5)ⁿ et comme − 1 < 2/5 < 1 alors lim_n→+∞ 3/2(2/5)ⁿ = 0. D’après le théorème de la limite par encadrement on déduit que

lim_n→+∞ u_n = 0

3. On considère la suite numérique (v_n)_n∈ℕ définie par : v_n = 4u_n/2u_n+3.

a) Montrons que (v_n)_n∈ℕ est une suite géométrique de raison 2/5.

b) La suite (v_n)_n∈ℕ est géométrique de premier terme v₀ = 1 et de raison 2/5. On sait que pour tout entier naturel n :

v_n = (2/5)ⁿ v₀

donc

(∀n ∈ ℕ) , v_n = (2/5)ⁿ

Déduisons u_n en fonction de n pour tout n ∈ ℕ.

Soit n ∈ ℕ, on a

v_n = 4u_n/2u_n+3

⇔ v_n(2u_n + 3) = 4u_n

⇔ 2v_nu_n + 3v_n = 4u_n

⇔ 2v_nu_n − 4u_n = −3v_n

⇔ u_n(2v_n − 4) = −3v_n

⇔ u_n = −3v_n/2v_n−4

⇔ u_n = 3v_n/4−2v_n

⇔ u_n = 3×(2/5)ⁿ/4−2×(2/5)ⁿ

donc

(∀n ∈ ℕ) , u_n = 3×(2/5)ⁿ/4−2×(2/5)ⁿ

Exercice 2

1. Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, on considère l’équation :

(E) : z² − 2(√2 + √6)z + 16 = 0

a) Vérifions que le discriminant de l’équation (E) est : ∆ = −4(√6 − √2)²

∆ = [−2(√2 + √6)]² − 64

= 4(2 + 2√12 + 6) − 64

= 32 + 8√12 − 64

= −32 + 8√12

= −4(√6 − 2√12 + √2)

= −4(√6 − √2)²

b) L’équation (E) admet deux solutions complexes conjuguées z₁ et z₂ telles que :

z₁ = −b + i√−∆/2a = (√2 + √6) + i(√6 − √2)

et : z₂ = z₁⁻ = (√2 + √6) + i(√6 − √2)⁻ = (√2 + √6) − i(√6 − √2). Donc

S = {(√2 + √6) + i(√6 − √2), (√2 + √6) − i(√6 − √2)}

a) Vérifions que : bc⁻ = a

On a

bc⁻ = (1 + i√3)(√2 − i√2)

= √2 − i√2 + i√6 + √6

= (√2 + √6) + i(√6 − √2)

= a

alors bc⁻ = a donc bc⁻.c = ac, et comme cc⁻ = (√2 − i√2)(√2 + i√2) = 4, alors on obtient :

ac = 4b

D’où : bc⁻ = a et ac = 4b.

b) L’écriture trigonométrique des nombres complexes : b et c.

b = 1 + i√3

= 2(1/2 + i√3/2)

= 2(cosπ/3 + isinπ/3).

et

c = √2 + i√2

= 2(√2/2 + i√2/2)

= 2(cosπ/4 + isinπ/4).

donc

b = 2(cosπ/3 + isinπ/3) et c = 2(cosπ/4 + isinπ/4)

c) Déduisons que : a = 4(cosπ/12 + isinπ/12).

On a : ∣a∣ = ∣bc⁻∣ = ∣b∣∣c⁻∣ = 2 × 2 = 4, et

arg(a) ≡ arg(bc⁻)[2π]

≡ arg(c⁻) + arg(b)[2π]

et comme arg(c⁻) ≡ − arg(c)[2π], alors arg(c⁻) ≡ −π/4 [2π], donc

arg(a) ≡ −π/4 + π/3 [2π] / arg(b) ≡ π/3 [2π]

≡ π/12 [2π]

d’où

a = 4(cosπ/12 + isinπ/12)

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v) ; on considères les points B, C et D d’affixes respectives b, c et d telles que d = a⁴. Soient z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe de M′ image de M par le rotation R de centre O et d’angle π/12.

Cliquer ici pour télécharger la correction d’examen national 2020 math science physique (la session normale)

Vous pouvez aussi consulter :

• Examen national math 2020 Maroc Sciences expérimentales (la session de rattrapage)
• Examen national math 2021 Maroc Sciences expérimentales (la session normale)