Correction d'examen national 2020 math science physique

Correction d’examen national 2020 math science physique

Correction d’examen national 2020 Maroc math science physique et sciences de la vie et la terre (la session normale).

Exercice 1 : (4 points)

Soit (un) la suite numérique définie par : u0 = 3/2 et un+1 = 2un/2un+5 pour tout n de

  1. Calculer u1
  2. Montrer par récurrence que pour tout n de , un > 0
  3. a) Montrer que pour tout n de , 0 < un+12/5un

puis en déduire que pour tout n de , 0 < un3/2(2/5)n

b) Calculer lim un

4. On considère la suite numérique (vn) définie par vn = 4un/2un+3 pour tout n de .

a) Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 2/5

b) Déterminer vn en fonction de n et en déduire un en fonction de n pour tout n de .

Exercice 2 : (5 points)
  1. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation :

(E) : z2 − 2(√2 + √6)z + 16 = 0

a) Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est ∆ = −4(√6 − √2)2

b) En déduire les solutions de l’équation (E).

2. Soient les nombres complexes a = (√6 + √2) + i(√6 − √2), b = 1 + i√3 et c = √2 + i√2

a) Vérifier que bc = a , puis en déduire que ac = 4b

b) Écrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique

c) En déduire que a = 4(cosπ/12 + isinπ/12)

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u , v) , on considère les points B, C et D d’affixes respectives b , c et d telle que d = a4. Soient z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe de M′ image de M par la rotation R de centre O et d’angle π/12

a) Vérifier que z′ = 1/4az

b) Déterminer l’image du point C par la rotation R

c) Déterminer la nature du triangle OBC.

d) Montrer que a4 = 128b et en déduire que les points O , B et D sont alignés

Exercice 3 : (4 points)

On considère la fonction numérique g définie sur ]0, +∞[ par g(x) = 2√x − 2 − ln x

  1. a) Montrer que pour tout x de ]0, +∞[, g′(x) = √x−1/x

b) Montrer que g est croissante sur [1, +∞[

c) en déduire que pour tout x de [1, +∞[ , 0 ≤ ln x2√x (Remarquer que 2√x − 22√x)

d) Montrer que pour tout x de [1, +∞[, 0 ≤ (ln x)3/x28/√x et en déduire limx→+∞ (ln x)3/x2

2. a) Montrer que la fonction G : x → x(−1 + 4/3√x − ln x) est une primitive de g sur ]0, +∞[

b) Calculer l’intégrale ∫41 g(x) dx

Problème : (7 points)

On considère la fonction numérique ƒ définie sur par ƒ(x) = −x + 5/2 −1/2ex−2(ex−2 − 4) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j) (unité : 2cm)

  1. Montrer que limx→−∞ ƒ(x) = +∞ et limx→+∞ ƒ(x) = −∞
  2. a) Démontrer que la droite (∆) d’équation y = −x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de −∞

b) Résoudre l’équation ex−2 − 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (∆) sur l’intervalle ]−∞, 2 + ln 4] et en dessous de (∆) sur l’intervalle [2 + ln 4, +∞[

3. Montrer que limx→+∞ ƒ(x)/x = −∞ puis interpréter géométriquement le résultat

4. a) Montrer que pour tout x de ƒ′(x) =(ex−2 − 1)2

b) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ

5. Calculer ƒ″(x) pour tout x de puis montrer que A(2, 2) est un point d’inflexion de (C)

6. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α telle que 2 + ln 3 < α < 2 + ln 4

7. Construire (∆) et (C) dans le même repère (O, i , j) (on prend ln 2 0,7 et ln 31,1)

8. a) Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur

b) Construire dans le même repère ( O , i , j) la courbe représentative de la fonction ƒ−1 (Remarquer que la droite (∆) est perpendiculaire à la première bissectrice du repère)

c) Calculer (ƒ−1)′(2 − ln 3) (Remarquer que ƒ−1(2 − ln 3) = 2 + ln 3)

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Correction d’examen national 2020 math science physique

Exercice 1

Soit (un)n la suite numérique définie par : { u0 = 3/2 et (∀n) , un+1 = 2un/2un+5

  1. Calculons u1 :

On a : u1 = 2u0/2u0+5 = 2×3/2/2×3/2+5 = 3/8, donc u1 = 3/8.

2. Montrons que : (∀n) , un > 0.

Pour n = 0, on a u0 = 3/2 alors u0 > 0.

Soit n. Supposons que un > 0 et montrons que : un+1 > 0.

On a : un > 0 alors 2un > 0 et comme 5 > 0 alors 2un + 5 > 0 donc 2un/2un+5 > 0 c’est-à-dire un+1 > 0.

D’où d’après le principe de récurrence on déduit que

(∀n) , un > 0

a) Montrons que : (∀n) , 0 < un+1 2/5un.

Soit n, on a

un+1 − 2/5un = 2un/2un+5 − 2/5un

= 10un−4un2−10un/5(2un+5)

= −4un2/5(2un+5)

et comme un > 0 alors −4un2/5(2un+5) ≤ 0 pour tout n, donc un+12/5un.

D’autre part, puisque un > 0 alors un+1 > 0 donc

(∀n) , 0 < un+12/5un.

Déduisons que : (∀n) , 0 < un3/2(2/5)n .

Pour n = 0, on a u0 = 3/2 alors 0 < u03/2.

Soit n . Supposons que 0 < un3/2(2/5)n, montrons que : 0 < un+13/2(2/5)n+1.

On a : 0 < un3/2(2/5)n alors 0 < 2/5un3/2(2/5)n+1 et comme 0 < un+12/5un alors

0 < un+13/2(2/5)n+1

Donc d’après le principe de récurrence on déduit que

(∀n) , 0 < un3/2(2/5)n

b) Calculons limn→+∞ un :

On a 0 < un3/2(2/5)n et comme − 1 < 2/5 < 1 alors limn→+∞ 3/2(2/5)n = 0. D’après le théorème de la limite par encadrement on déduit que

limn→+∞ un = 0

3. On considère la suite numérique (vn)n définie par : vn = 4un/2un+3.

a) Montrons que (vn)n est une suite géométrique de raison 2/5.

b) La suite (vn)n est géométrique de premier terme v0 = 1 et de raison 2/5. On sait que pour tout entier naturel n :

vn = (2/5)n v0

donc

(∀n) , vn = (2/5)n

Déduisons un en fonction de n pour tout n.

Soit n , on a

vn = 4un/2un+3

vn(2un + 3) = 4un

2vnun + 3vn = 4un

2vnun − 4un = −3vn

un(2vn − 4) = −3vn

un = −3vn/2vn−4

un = 3vn/4−2vn

un = 3×(2/5)n/4−2×(2/5)n

donc

(∀n) , un = 3×(2/5)n/4−2×(2/5)n

Exercice 2
  1. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation :

(E) : z2 − 2(√2 + √6)z + 16 = 0

a) Vérifions que le discriminant de l’équation (E) est : ∆ = −4(√6 − √2)2

∆ = [−2(√2 + √6)]2 − 64

= 4(2 + 2√12 + 6) − 64

= 32 + 8√12 − 64

= −32 + 8√12

= −4(√6 − 2√12 + √2)

= −4(√6 − √2)2

b) L’équation (E) admet deux solutions complexes conjuguées z1 et z2 telles que :

z1 = −b + i√−/2a = (√2 + √6) + i(√6 − √2)

et : z2 = z1 = (√2 + √6) + i(√6 − √2) = (√2 + √6) − i(√6 − √2). Donc

S = {(√2 + √6) + i(√6 − √2), (√2 + √6) − i(√6 − √2)}

a) Vérifions que : bc = a

On a

bc = (1 + i√3)(√2 − i√2)

= √2 − i√2 + i√6 + √6

= (√2 + √6) + i(√6 − √2)

= a

alors bc = a donc bc.c = ac, et comme cc = (√2 − i√2)(√2 + i√2) = 4, alors on obtient :

ac = 4b

D’où : bc = a et ac = 4b.

b) L’écriture trigonométrique des nombres complexes : b et c.

b = 1 + i√3

= 2(1/2 + i√3/2)

= 2(cosπ/3 + isinπ/3).

et

c = √2 + i√2

= 2(√2/2 + i√2/2)

= 2(cosπ/4 + isinπ/4).

donc

b = 2(cosπ/3 + isinπ/3) et c = 2(cosπ/4 + isinπ/4)

c) Déduisons que : a = 4(cosπ/12 + isinπ/12).

On a : ∣a∣ = ∣bc∣ = ∣b∣∣c= 2 × 2 = 4, et

arg(a) ≡ arg(bc)[]

≡ arg(c) + arg(b)[]

et comme arg(c) ≡ − arg(c)[], alors arg(c) ≡ −π/4 [], donc

arg(a) ≡ −π/4 + π/3 [] / arg(b) ≡ π/3 []

≡ π/12 []

d’où

a = 4(cosπ/12 + isinπ/12)

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v) ; on considères les points B, C et D d’affixes respectives b, c et d telles que d = a4. Soient z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe de M′ image de M par le rotation R de centre O et d’angle π/12.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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