Produit scalaire première spé cours

Bienvenue dans cette leçon complète sur le produit scalaire en première spécialité ! Nous sommes ravis de vous présenter une exploration approfondie de ce concept fondamental en mathématiques, qui vous permettra de maîtriser l’art des vecteurs et de la géométrie analytique grâce à cet outil puissant qu’est le produit scalaire.

Ce document est conçu pour être plus qu’un simple article de blog : il s’agit d’une ressource complète et détaillée que vous pourrez télécharger en PDF pour une lecture aisée et une référence rapide.

Produit scalaire première spé cours

Introduction

La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 – 1877) Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 – 1865) en 1853.

1. Définitions et propriétés

1.1 Définitions

Définition 1. Soit deux points A et B.

La norme du vecteur AB, noté ∥AB∥, est la distance AB.

On introduit la définition du produit scalaire.

Définition 2. Soit AB et AC deux vecteurs. On appelle produit scalaire de AB par AC, noté AB.AC le nombre réel défini par :

AB.AC = ∥AB∥ × ∥AC∥ × cos (BAC)

Exemple 1. On donne AB = 2 , AC = 5 et BAC = π/4 rad. Donc

AB.AC = 2 × 5 × cos (π/4) = 10 × √2/2 = 5√2

Proposition 1. AB.AB = ∥AB∥² = AB².

Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan.

Définition 3. On appelle produit scalaire de deux vecteurs, non nuls u et v le réel noté u.v tel que :

u.v = ∥u∥ × ∥v∥ × cos (u, v)

Remarque 1 :

1. u . v se lit « u scalaire v »
2. Si l’un des deux vecteurs u et v est nul, alors u . v = 0.

Proposition 2

On considère deux vecteurs colinéaires u et v .

1. Si u et v sont de même sens alors : u . v = ∥u∥ × ∥v∥
2. Si u et v sont de sens contraire alors : u . v = − ∥u∥ × ∥v∥.

Démonstration. On considère deux vecteurs non nuls u et v et trois points A, B et C tels que : u = AB et v = AC. On a

u . v = ∥u∥ × ∥v∥ × cos (BAC)

• Si u et v sont de même sens alors : BAC = 0rad par suite cos (BAC) = 1.

Ainsi

u . v = ∥u∥ × ∥v∥

• Si u et v de sens contraire alors : BAC = πrad d’où cos (BAC) = −1.

Ainsi

u . v = − ∥u∥ × ∥v∥

Définition 4. (Projeté orthogonal)

On considère trois points du plan A, B et C et on appelle H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

On a alors :

AB.AC = AB.AH

= {AB × AH si AB et AH sont de même sens et −AB × AH si AB et AH sont de sens contraire

Cliquer ici pour télécharger le produit scalaire première spé cours