La dérivation première spé cours

La dérivation première est un concept fondamental en mathématiques qui permet d’étudier les changements instantanés dans les fonctions. Elle joue un rôle essentiel dans de nombreux domaines, allant des sciences physiques à l’économie, en passant par l’ingénierie et les sciences de la vie. En comprenant les principes de la dérivation première, nous sommes en mesure d’analyser et de modéliser des phénomènes variés, de prévoir des comportements et de résoudre des problèmes complexes.

Dans le cadre de cet article, nous avons préparé une leçon complète sur la dérivation première, que vous pouvez télécharger au format PDF. Cette leçon détaillée vous guidera à travers les concepts clés de la dérivation première, en fournissant des explications détaillées et des exemples pratiques pour consolider votre compréhension.

La dérivation première spé cours

1. Limite en zéro d’une fonction

1.1 L’étude d’un exemple

1. Soit la fonction ƒ définie sur ]−∞, 0[∪]0, +∞[ par :

ƒ(x) = (x + 1)²−1/x

L’image de 0 par la fonction ƒ n’existe pas. On s’intéresse cependant aux valeurs de ƒ(x) lorsque x se rapproche de 0.

On constate que ƒ(x) se rapproche de 2 lorsque x se rapproche de 0. On dit que la limite de ƒ lorsque x tend vers 0 est égale à 2 et on note : lim_x→0ƒ(x) = 2.

2. Soit la fonction g définie sur ]−∞, 0[∪]0, +∞[ par :

g(x) = 1/x²

A l’aide de la calculatrice, on constate que g(x) devient de plus en plus grand lorsque x se rapproche de 0. On dit que la limite de g lorsque x tend vers 0 est égal à +∞ et on note : lim_x→0g(x) = +∞.

Définition 1.1. On dit que ƒ a pour limite l lorsque x tend vers 0 si les valeurs de ƒ(x) peuvent être aussi proche de l que l’on veut pourvu que x soit suffisamment proche de 0. On note : lim_x→0ƒ(x) = l et on lit : la limite de ƒ(x) lorsque x tend vers 0 est égal à l.

1.2 Quelques Résultats A Connaître

Remarque 1.1. On admet que si une fonction ƒ est définie en 0 et si ƒ admet une limite finie en 0 (on dit que ƒ est continue en 0), alors : lim_x→0ƒ(x) = ƒ(0). C’est le cas, en tout point de l’ensemble de définition, des fonctions polynômes, rationnelles et trigonométriques, de la fonction racine carrée …

∎ lim_x→0 √x = 0 , lim_x→0 x = 0 et lim_x→0 xⁿ = 0 (n ∈ ℕ*)

∎ Soit P une fonction polynôme et Q est une fonction rationnelle définie en 0, alors : lim_x→0 P(x) = P(0) et lim_x→0 Q(x) = Q(0).

∎ Si de plus, P et Q sont définies et positives au voisinage de 0, alors :

lim_x→0 √P(x) = √P(0) , lim_x→0 √Q(x) = √Q(0).

∎Soit ƒ et g deux fonctions telles que : lim_x→0 ƒ(x) = l et lim_x→0 g(x) = l′, alors :

lim_x→0 (ƒ + g)(x) = l + l′ et lim_x→0 (ƒ × g)(x) = l × l′.

2. Nombre dérivé

2.1 Définition et Exemples

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle ou sur une réunion d’intervalles deux à deux disjoints et a ∈ D_ƒ.

Définition 2.1. Dire que la fonction ƒ est dérivable en a et que le nombre dérivé de ƒ en a est le réel l, revient à dire que le taux de variation de ƒ en a, ƒ(a + h)−ƒ(a)/h admet pour limite finie l quand h tend vers 0. Le nombre dérivé est noté ƒ′(a), et on a : lim_h→0 ƒ(a + h)−ƒ(a)/h = ƒ′(a).

Exemple 2.1. Soit ƒ la fonction trinôme définie sur ℝ par : ƒ(x) = x² + 2x − 3.

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