Fonction exponentielle première spé cours

La fonction exponentielle est l’un des piliers fondamentaux des mathématiques, avec une vaste gamme d’applications dans divers domaines. Dans cet article, nous allons explorer la fonction exponentielle dans le contexte de la première spécialité mathématique. Nous vous présenterons une exploration approfondie de la fonction exponentielle, en couvrant tous les aspects essentiels, des définitions de base aux applications pratiques. Nous avons également rendu cette leçon disponible en téléchargement au format PDF, afin que vous puissiez l’étudier à votre rythme et vous y référer ultérieurement.

Fonction exponentielle première spé cours

1. La fonction exponentielle

1.1 Définition et théorèmes

Théorème 1. Il existe une unique fonction ƒ dérivable sur ℝ telle que : ƒ′ = ƒ et ƒ(0) = 1.

Démonstration. L’existence de cette fonction est admise.

Montrons que cette fonction ne s’annule pas sur ℝ et qu’elle est unique.

• La fonction exponentielle ne s’annule pas sur ℝ

Soit φ la fonction définie sur ℝ par : φ(x) = ƒ(x)ƒ(−x).

Comme ƒ est dérivable sur ℝ, la fonction φ est dérivable sur ℝ par produit :

φ′(x) = ƒ′(x) × ƒ(−x) − ƒ(x) × ƒ′(−x)

= ƒ(x) × ƒ(−x) − ƒ(x) × ƒ(−x)

= 0

et comme φ′ = 0 alors la fonction φ est constante. Donc

(∀x ∈ ℝ) , φ(x) = φ(0) = ƒ²(0) = 1

On en déduit alors ƒ(x) × ƒ′(−x) = 1, donc la fonction ƒ ne s’annule pas sur ℝ.

Unicité de la fonction exponentielle

On suppose que deux fonctions ƒ et g vérifient les conditions :

{ ƒ = ƒ′ et ƒ(0) = 1 , g = g′ et g(0) = 1

On pose h = ƒ/g définie sur ℝ car g ne s’annule pas. La fonction h est dérivable sur ℝ par quotient de fonctions dérivables :

h′ = (ƒ/g)′ = ƒ′×g−ƒ×g′/g² = ƒ×g−ƒ×g/g² = 0

La fonction h est donc constante et h(x) = ƒ(0)/g(0) = 1. Donc

(∀x ∈ ℝ) , ƒ(x)/g(x) = 1 ⇔ ƒ(x) = g(x)

On en déduit que ƒ = g. L’unicité de ƒ est donc vérifiée.

Définition 1. On appelle fonction exponentielle l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que ƒ′ = ƒ et ƒ(0) = 1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle et on la note : exp.

Corollaire 1. exp(0) = 1.

2. Étude de la fonction exponentielle

2.1 Dérivabilité

Proposition 1. La fonction exponentielle est continue et dérivable sur ℝ et (exp(x))′ = exp(x).

Démonstration. Conséquence immédiate de sa définition.

2.2 Variations

Proposition 2. La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Démonstration. On a démontré dans le paragraphe 1 que la fonction exponentielle ne s’annule jamais. Or, par définition exp(0) = 1 donc pour tout x ∈ ℝ, exp(x) > 0. Comme (exp(x))′ = exp(x), la fonction exponentielle est strictement croissante.

Proposition 3. Pour tout réels a et b, on a :

1. e^a = be ⇔ a = b
2. e^a < e^b ⇔ a < b
3. a < 0 ⇔ 0 < e^a < 1

Démonstration. Admis

Exemple 1.

Résolvons dans ℝ l’équation : e^2×2+3 = e^7x

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