par Les fonctions trigonométriques sont des outils essentiels en mathématiques, offrant une perspective fascinante sur la relation entre les angles et les valeurs numériques. Si vous êtes un étudiant en première spécialité, vous avez la chance de vous plonger dans ce monde passionnant et d’explorer les multiples facettes des fonctions trigonométriques.
Dans cet article, nous vous proposons une leçon complète sur les fonctions trigonométriques en première spécialité, téléchargeable en format PDF. Cette ressource pédagogique vous permettra d’approfondir vos connaissances et de vous familiariser avec les concepts clés.
Fonctions trigonométriques première spé cours
Cercle trigonométrique
Définition du cercle trigonométrique
Définition 1
Dans un repère orthonormé (O, OI , OJ). On appelle cercle trigonométrique le cercle :
- de centre O l’origine du repère.
- de rayon R = 1
- orienté positivement. (Le sens positif est le sens contraire de celui des aiguilles d’une montre)
- et admet une origine I.
Le plan orienté
Définition 2
Le plan est dit orienté lorsque tous les cercle sont orientés comme un cercle trigonométrique.
Dans la suite le plan est orienté.
La mesure en radian
Définition 3
Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc de cercle que cet angle intercepte sur le cercle trigonométrique.
Propriété 4
La mesure d’un angle en radian est proportionnelle à sa mesure en degrés.
Tableau proportionnalité
Exemple 5
Convertir en radian la mesure d’angle : 45°
On a
α = π×n/180
= π×45/180
= π×45/4×45
= π/4 rad
Remarque 6
- L’angle plat a pour mesure, en degré 180 (180°), en radian π (notation : π rad) ; en grade (notation : 200gr).
- Pour un angle donné, soit a sa mesure en degré, b sa mesure en radian, c sa mesure en grade, on a alors la formule de conversion
a/180 = b/π = c/200
Dans la suite on utilise souvent la mesure en radian.
Abscisses curvilignes
Soit (C) un cercle trigonométrique lié au repère orthonormé direct (O , OI , OJ) et soit A un point de (C) tel que α est une mesure de l’angle géométrique IOA en radian et α ∈ [0, 2π[ .
Imaginons un point M mobile sur le cercle (C).
Le point M prend le départ en I.
1ère cas : M parcourt le cercle (C) dans le sens positif.
- Lorsque M coïncide avec A pour la première fois, il a parcouru un chemin de longueur α.
- La deuxième fois que M coïncide avec A la mesure du trajet parcouru est α + 2π (un tour en plus de la longueur α).
- La troisième fois α + 4π, …, la (k + 1) fois α + 2kπ ,(k ∈ ℕ).
2ème cas : M parcourt le cercle (C) dans le sens négatif.
- Lorsque M coïncide la première fois avec le point A, la mesure du chemin parcouru est 2π − α.
- La deuxième fois que M passe en A, il a parcouru un chemin de longueur 4π − α.
- La troisième fois 6π − α, …, la k′ fois 2k′π − α ,(k′∈ ℕ).
Pour distinguer entre le cas précédent, le point M a parcouru un chemin de longueur α + 2kπ dans le premier cas et un chemin de longueur − (−α + 2k′π), c’est-à-dire α − 2k′π dans le deuxième cas. Ceci signifie que dans tous les cas une mesure du chemin de parcourt de I à A est α + 2k″π tel que k″∈ ℤ.
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