Résolution des systèmes linéaires cours

Résolution des systèmes linéaires cours première spé.

Résolution des systèmes linéaires

Définition 1

On appelle système d’équations linéaires de deux équations à deux inconnues, le système définie par :

(S) :  { ax + by = c et a′x + b′y = c′

Résoudre un système d’équation linéaires à deux inconnues x et y et à deux équations, c’est trouver tous les couples (x , y) vérifiant simultanément les deux équations.

Exemple 2

Soit le système défini par :

(S) : { x + 2y = 1 et 3x − 5y = 4

(S) est donc un système linéaire de deux équations à deux inconnues.

Chaque équation d’un système linéaire à deux inconnue (S) est assimilable à une équation cartésienne d’une droite. On peut donc assimiler le système linéaire de deux équations à l’intersection de deux droites.

Résolution par le calcul (algébrique) :

Méthode de résolution par substitution :

Exemple 3

Résoudre par substitution le système : { x − 7y = 4 et −4x + 3y = 2

{ x − 7y = 4 et −4x + 3y = 2

⇔ { x = 7y + 4 (1) et −4x + 3y = 2 (2)

On remplace l’inconnue x dans l’équation (2), on obtient :

−4(7y + 4) + 3y = 2 ⇔ −25y − 18 = 0 ⇔ y = −18/25

On remplace l’inconnue y par −18/25 dans la première équation. On obtient :

x − 7 × (−18/25) = 4 ⇔ x = −26/25

Donc

S = {(−26/25, −18/25)}

Par éliminations ou combinaisons linéaires

1. On choisit l’inconnue à éliminer : x (ou y).
2. On multiple chacune des deux équations par un coefficient bien choisi pour faire apparaitre le même nombre de x (ou de y) dans chaque équation.
3. On ajoute ensuite membre à membre chaque équation. L’inconnue choisie disparait.
4. On peut donc calculer l’autre. Puis on remplace l’inconnue pour sa valeur dans une des deux équations du départ pour trouver la 2ème inconnue.

Exemple 4

Résoudre par élimination le système :  { 3x − 7y = 4 et −4x + 3y = 2

 { 3x − 7y = 4 × (4) et −4x + 3y = 2 × (3) ⇔  { 12x − 28y = 16 (1) et −12x + 9y = 6 (2)

On additionne terme à terme (1) et (2). On obtient :

− 19y = 22 ⇔ y = − 22/19

On remplace y par − 22/19 dans la première équation. On obtient :

3x − 7y = 4 ⇔ 3x − 7 × (−22/19) = 4 ⇔ x = −26/19

Donc :

S = {(−26/19, −22/19)}

Cliquer ici pour télécharger Résolution des systèmes linéaires cours Première spé