par En première spécialité (spé) mathématiques, les suites numériques jouent un rôle fondamental. Elles représentent une séquence ordonnée de nombres qui se suivent selon une règle précise. Les suites numériques sont présentes dans de nombreux domaines des mathématiques et de la science, et leur étude permet de comprendre des phénomènes variés tels que la croissance des populations, la modélisation de phénomènes physiques ou même l’optimisation de processus.
Dans cet article, nous vous proposons une leçon complète sur les suites numériques en première spécialité (spé). Pour une expérience d’apprentissage plus approfondie, vous pouvez télécharger la leçon complète en format PDF.
Les suites numériques première spé cours
1. Généralité sur les suites numériques
1.1 Définition et Notation
Définition 1.1. Une suite numérique u est une fonction dont l’ensemble de définition est ℕ ou une de ses parties. à la variable entière n, on associe le nombre u (n) appelé terme de rang n de la suite u. On a donc u : n → u (n). On note souvent un le terme de rang n ou le terme général de la suite u.
Notation :
- Lorsque la suite u est définie sur ℕ, u se note (un)n∈ℕ ou (un)n≥0 ou (un).
- Lorsque la suite u est définie sur ℕ*, u se note (un)n∈ℕ* ou (un)n≥1.
Exemple 1.1 :
∎ On a
u : ℕ → ℝ
n → 2n + 1
se note par (un)n∈ℕ avec un = 2n + 1 et son premier terme est u0 = 1.
∎ On a
v : ℕ* → ℝ
n → 1 + 2/n
se note par (vn)n∈ℕ* avec vn = 1 + 2/n et son premier terme est v1 = 3.
1.2 Définir une suite
1.2.1 De façon explicite
Définition 1.2. Une suite (un)n∈ℕ est définie de façon explicite si le terme général un s’exprime en fonction de n : (∀n ∈ ℕ) , un = ƒ(n) avec ƒ est une fonction numérique.
1.2.2 Par récurrence
Définition 1.3. Lorsque le terme général un dépend du ou des terme(s) précédent(s), on définit alors la suite par une relation de récurrence et par un ou plusieurs premier(s) terme(s).
La suite est dite récurrente à un terme si un ne dépend que du terme précédent { u0 et un+1 = ƒ(un)
La suite est dite récurrente à deux termes si un dépend des deux termes qui le précédent { u0, u1 et un+2 = ƒ(un, un+1)
Exemple 1.3 :
On donne la suite (un)n∈ℕ définie par : { u0 = 2 et un+1 = 3un − 2
Déterminer u1, u2, u3 et u4.
∎ u1 = 3u0 − 2 = 3 × 2 − 2 = 4
∎ u2 = 3u1 − 2 = 3 × 4 − 2 = 10
∎ u3 = 3u2 − 2 = 3 × 10 − 2 = 28
∎ u4 = 3u3 − 2 = 3 × 28 − 2 = 82
1.3 Monotonie d’une suite
Définition 1.4.
Soit (un)n∈I une suite numérique (I ⊂ ℕ).
La suite (un)n∈I est croissante si : ∀(n, p) ∈ I2, n > p ⇒ un ≥ up
La suite (un)n∈I est décroissante si : ∀(n, p) ∈ I2, n > p ⇒ un ≤ up
La suite (un)n∈I est constante si : ∀(n, p) ∈ I2, un = up.
Cliquer ici pour télécharger les suites numériques première spé cours en pdf
