par Les probabilités conditionnelles sont l’un des piliers fondamentaux des probabilités et statistiques, jouant un rôle essentiel dans l’analyse des événements incertains. En première spécialité, la compréhension de ce concept s’avère être une compétence cruciale pour aborder de nombreux problèmes du quotidien, ainsi que pour explorer des applications plus complexes dans des domaines tels que la science, l’économie et la médecine.
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Probabilités conditionnelles première spé cours
1. Rappels
1.1 Définitions
∎ Expérience aléatoire : Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat qui se produira effectivement.
Exemple 1 :
- Lancer un dé à 6 faces sur une piste de jeu.
- Lancer une pièce de monnaie.
- Poser une question à un lycéen choisi au hasard.
∎ Univers : Ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire. On le note Ω. On a alors : Ω = {e1, e2, …, en}.
Exemple 2 :
- Il y a 6 issues possibles pour un dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
- Il y a 2 issues possibles pour une pièce de monnaie : Ω = {1, 2}.
- Il y a 700 lycéens dans l’échantillon qui peuvent être interroger.
∎ Evènement : Sous ensemble de l’ensemble univers Ω. On le note avec une majuscule.
Exemple 3 :
- A : « Obtenir un nombre pair avec un dé » c’est-à-dire A = {2, 4, 6}
- B : « Obtenir face avec une pièce » c’est-à-dire B = {F}
- C : « Obtenir un lycéen âgé de moins de 17 ans »
∎ Evènement élémentaire : événement qui ne contient qu’un seul élément. On le note alors ei.
Exemple 4 :
- e6 : « Obtenir un six avec un dé »
- ei : « Interroger le lycéen i parmi 700 lycéen »
∎ Evènement certain : C’est l’univers Ω.
∎ Evènement impossible : C’est l’ensemble vide φ.
1.2 Opérations sur les événements
L’étude des probabilités fait appel à la logique mathématique : il s’agit d’analyser, dans un texte les éléments qui serviront aux calculs de probabilités. Les mots à repérer sont les conjonctions « et », « ou », et la négation « ne. . . pas » La logique mathématique fait aux opérations sur les ensembles. On définit les opérations élémentaires suivantes : le complémentaire, l’intersection et l’union. D’autres opérations peuvent se décomposer à l’aide de ces trois opérations de base.
1.2.1 Événement contraire
Définition 1. L’événement contraire d’un événement A est l’événement noté A composé des éléments de Ω qui ne sont pas dans A.
x ∈ A ⇔ x ∈ Ω et x ∈ A
Exemple 5. Dans un lancer de dé, on considère l’événement A : « Obtenir 1 ou 2 »
L’événement contraire est A « Obtenir 3,4,5 ou 6 »
1.2.2 Intersection de deux événements
Définition 2. L’intersection de deux événements A et B est l’événement noté A ∩ B composé des éléments de Ω qui appartiennent à A et à B.
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