Variables aléatoires réelles première spé cours

Au sein de l’univers des mathématiques, certaines notions peuvent sembler à première vue complexes et abstraites. Pourtant, elles sont indispensables pour comprendre le monde qui nous entoure et prendre des décisions éclairées. C’est le cas des Variables Aléatoires Réelles, un sujet fascinant et puissant que nous avons le plaisir de vous présenter dans cet article.

Nous avons conçu cet article comme un guide complet dédié aux Variables Aléatoires Réelles en Première Spécialité (Spé). Pour vous permettre d’approfondir ce sujet à votre rythme et de le consulter facilement, nous mettons à votre disposition un document PDF téléchargeable.

Variables aléatoires réelles première spé cours

1. Variable aléatoire et loi de probabilité

1.1 Variable aléatoire

Exemple 1.1. Soit l’expérience aléatoire : « On lance un dé à six faces et on regarde le résultat. » L’ensemble de toutes les issues possibles E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (l’univers des possibilités).

On considère le jeu suivant :

• Si le résultat est 5 ou 6, on gagne 2 €.
• Sinon, on perd 1 €.

On peut définir ainsi une variable aléatoire X sur E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} qui donne le gain et qui peut prendre les valeurs 2 ou −1.

1. Pour les issues 5 et 6, on a : X = 2
2. Pour les issues 1,2,3 et 4, on a : X = −1.

Définition 1.1. On considère une expérience aléatoire dont l’univers est Ω = {e₁, e₂, …, e_n}. On appelle variable aléatoire toute fonction, souvent notée X, qui à chaque élément de Ω lui associe un nombre réel.

1.2 Loi de probabilité

Définition 1.2. Soit une variable aléatoire X prenant les valeurs x₁, x₂, …, x_n. La loi de probabilité de X est donnée par toutes les probabilités p (X = x_i).

Remarque 1.1 :

1. Les « x_i » sont toutes les valeurs prises par X.
2. Il faut penser à vérifier, une fois de loi de probabilité déterminée, que :

p (X = x₁) + p (X = x₂) + … + p (X = x_n) = 1

Exemple 1.2. On lance simultanément deux dés à 6 faces et on note les valeurs obtenues.

Soit X la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs. Etablir la loi de probabilité de X.

La variable aléatoire X peut prendre les valeurs 1,2,3,4,5 et 6.

1. La plus grande des deux valeurs est 1, si on obtient la combinaison : (1, 1) donc

p (X = 1) = 1/6 × 1/6 = 1/36

2. La plus grande des deux valeurs est 2, si on obtient les combinaisons : (1, 2),(2, 1) ou (2, 2) donc

p (X = 2) = 1/36 + 1/36 + 1/36 = 3/36 = 1/12

3. La plus grande des deux valeurs est 3, si on obtient les combinaisons : (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2) ou (3, 3) donc

p (X = 3) = 5/36

4. La plus grande des deux valeurs est 4, si on obtient les combinaisons : (1, 4), (4, 1),(2, 4),(4, 2),(3, 4),(4, 3) ou (4, 4) donc

p (X = 4) = 7/36

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