Généralités sur les fonctions numériques première spé cours

Les fonctions numériques sont un pilier fondamental des mathématiques, et leur compréhension est essentielle pour les étudiants explorant le monde des nombres et des relations. En première spécialité (première spé), l’étude des fonctions numériques joue un rôle central dans le développement des compétences mathématiques avancées. C’est un domaine passionnant qui permet de modéliser et d’analyser une variété de phénomènes réels, de l’évolution de populations à la croissance d’économies en passant par les mouvements d’objets physiques.

Généralités sur les fonctions numériques première spé cours

1. Vocabulaire sur les fonctions

1.1 Définition générale d’une fonction

Définition 1. On appelle fonction ƒ la donnée d’un ensemble E, d’un ensemble F et d’un procédé qui permet d’associer à un élément x de E au plus un élément y = ƒ(x) de F. Cet élément y, quand il existe, est l’image de x, et x est appelé un antécédent de y. On appelle E l’ensemble de départ de ƒ, F l’ensemble d’arrivée de ƒ.

Remarque 1. Il faut faire la différence entre la fonction ƒ qui représente une relation et ƒ(x) qui représente l’image de x par ƒ qui est un élément.

1.2 L’ensemble de définition d’une fonction

Définition 2. Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x.

L’ensemble de définition de la fonction ƒ est l’ensemble des nombres réels x qui possèdent une image par cette fonction. L’ensemble de définition de la fonction ƒ est noté : D_ƒ tel que

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ƒ(x) ∈ ℝ}

Exemple 1. Déterminons l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

ƒ(x) = 2x/x−1 , ƒ(x) = √x−1 , ƒ(x) = x²+4/x²−1 , ƒ(x) = 1/2x²+x−3

1. On a D_ƒ = {x ∈ ℝ/x − 1 ≠ 0} = {x ∈ ℝ/x ≠ 1} = ]−∞, 1[ ∪ ]1, +∞[.
2. On a D_ƒ = {x ∈ ℝ/x − 1 ≥ 0} = {x ∈ ℝ/x ≥ 1} = [1, +∞[.

1.3 Graphe d’une fonction

Définition 3. La courbe représentative d’une fonction ƒ dans un repère (O , i , j) est l’ensemble des points M (x, y) ou x parcourt le domaine de définition D_ƒ de ƒ, elle est souvent notée (C_ƒ ).

Remarque 3. La définition signifie : M(x, y) ∈ (C_ƒ) ⇔ {y = ƒ(x) et x ∈ D_ƒ

1.4 Égalité de deux fonctions

Définition 4. Deux fonctions ƒ et g sont dites égales si :

1. Elles sont le même ensemble de définition D.
2. (∀x ∈ D), ƒ(x) = g(x).

Exemple 2 :

On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = 2 − x/x−7 et la fonction g définie par : g(x) = x−14/x−7.

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