Le second degré première spé cours

Le second degré est l’un des concepts centraux abordés dans le programme de mathématiques de la classe de première spécialité. Ce concept joue un rôle crucial dans la résolution d’équations et l’analyse de fonctions polynomiales.

Que vous soyez élève de première spécialité mathématique à la recherche de ressources supplémentaires, ou simplement intéressé par les mathématiques, cet article vous fournira les bases nécessaires pour comprendre et maîtriser le second degré. Pour une expérience d’apprentissage plus approfondie, vous pouvez télécharger la leçon complète en format PDF.

Second degré première spé cours

1. La forme canonique du trinôme

1.1 Le trinôme du second degré

Définition 1. On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction ƒ définie par ℝ par une expression de la forme : ƒ(x) = ax² + bx + c ou les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a ≠ 0.

Remarque 1

Une fonction polynôme du second degré s’appelle également « trinôme du second degré »

Exemple 1

Les fonctions suivantes : ƒ(x) = 3x² − 7x + 5 , g(x) = 1/2x² − 6x + 1 et h(x) = 4 − 2x² des fonctions polynômes du second degré.

1.2 Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré

Proposition 1

La forme canonique d’un trinôme est de la forme :

ƒ(x) = a[(x + b/2a)² − b²−4ac/4a²]

Démonstration

On considère le trinôme du second degré ax² + bx + c , avec a ≠ 0.

Remarque 2

Dans un cas concret, on n’utilise pas cette formule un peu difficile à mémoriser, mais on retient l’astuce qui consiste à ajouter puis soustraire un terme comme nous l’avons vu dans les exemples précédents.

Exemple 2

Ecrire sous la forme canonique :

ƒ(x) = x² − 4x + 5 , g(x) = x² + 8x + 1 , h(x) = x² − 6x − 7

On a

ƒ(x) = x² − 4x + 5

= x² − 2 × 2x + 2² − 2² + 5

= (x² − 2 × 2x + 2²) − 2² + 5

= (x − 2)² − 4 + 5

= (x − 2)² + 1

donc ƒ(x) = (x − 2)² + 1.

2. Résolution d’une équation du second degré

2.1 Définition

Définition 2. Une équation du second degré est une équation de la forme ax² + bx + c = 0 avec a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.

Exemple 3. L’équation 4x² − 5x + 7 = 0 est une équation du second degré.

Définition 3. On appelle discriminant du trinôme ax² + bx + c, le nombre ∆ = b² − 4ac.

Proposition 2. Soit ∆ le discriminant du trinôme ax²+ bx + c.

– Si ∆ < 0 l’équation ax² + bx + c = 0 n’a pas de solution réelle.

– Si ∆ = 0 l’équation ax² + bx + c = 0 a une unique solution x₀ = −b/2a.

– Si ∆ > 0 l’équation ax² + bx + c = 0 a deux solutions distinctes : x₁ = −b−√∆/2a et x₂ = −b+√∆/2a

Exemple 4. Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

(E₁) : 3x² + x + 2 = 0 , (E₂) = x² − 10x + 25 = 0 , (E₃) : x² − 3x + 2 = 0.

Solution 1.

Résolvons dans ℝ les équations :

Calculons le discriminant de l’équation (E₁) : 3x² + x + 2 = 0. On a { a = 3 , b = 1 et c = 2

alors ∆ = b² − 4ac = 1 − 4 × 3 × 2 = − 23 < 0. donc l’équation ne possède pas de solution réelle, par suite S = ∅.

Calculons le discriminant de l’équation (E₂) : x² − 10x + 25 = 0. On a { a = 1 , b = −10 et c = 25 alors ∆ = b² − 4ac = (−10)² − 4 × 1 × 25 = 0. donc l’équation possède une unique solution x₀ = −b/2a = 10/2 = 5, par suite S = {5}.

Remarque 3

• A chaque fois que b = 0 ou c = 0, il est inutile d’utiliser le discriminant ∆ et les formules associées.
• Lorsqu’un peut favoriser le trinôme, on ne calcule pas le discriminant, on factorise puis on annule chaque facteur.

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