Géométrie repérée première spé cours

Bienvenue dans cet article qui vous propose une leçon complète sur la Géométrie Repérée en première spécialité ! Nous sommes ravis de vous présenter une exploration approfondie de ce domaine fascinant des mathématiques, qui vous permettra de maîtriser l’art du repérage cartésien et d’ouvrir la voie à une compréhension approfondie du plan euclidien.

Ce document est conçu pour être plus qu’un simple article de blog : il s’agit d’une ressource complète et détaillée que vous pourrez télécharger en PDF pour une lecture aisée et une référence rapide.

Géométrie repérée première spé cours

Dans tout le chapitre, on se place dans un repère orthonormé (O, i, j) du plan.

1. Rappels

Proposition 1

1. Un vecteur directeur d’une droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0 est u (−b ; a).
2. u (x ; y) et v (x′ ; y′) sont colinéaires si et seulement si xy′ − x′y = 0.
3. Dire que deux droites sont parallèles équivaut à dire qu’elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
4. Soit deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B).
5. La distance AB est : AB = √(x_B − x_A)²+(y_B − y_A)²
6. Les coordonnées du milieu du segment [AB] sont : (x_A+x_B/2 et y_A+y_B/2).

Exemple 1

Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point A (3 ; 1) et de vecteur u (−1 ; 5).

La droite (d) admet une équation cartésienne de la forme : ax + by + c = 0.

Exemple 2

Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par les points B(5 ; 3) et C(1 ; −3).

On a BC est un vecteur directeur de la droite (d), c’est-à-dire BC (−4 ; −6) donc {−b = −4 et a = −6 d’où a = −6 et b = 4. Une équation cartésienne de (d) est de la forme : −6x + 4y + c = 0

Comme B (5 ; 3) ∈ (d) donc −6 × 5 + 4 × 3 + c = 0 donc c = 18.

Une équation cartésienne de (d) est : (d) : −6x + 4y + 18 = 0.

Remarque 2. Une équation cartésienne n’est pas unique. On peut multiplier les coefficients de l’équation par un facteur k non nul. Par exemple, la droite (d) est définie par :

(d) : −6x + 4y + 18 = 0 ⇔^k=1/2 − 3x + 2y + 9 = 0

2. Droite dans le plan (Étude analytique) vecteur normal à une droite

2.1 Vecteur normal à une droite

Définition 1. Soit (d) une droite du plan.

Tout vecteur non nul et orthogonal à un vecteur directeur de la droite (d) est appelé vecteur normal à la droite (d).

Proposition 2

∎ Une droite de vecteur normal n (a ; b) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 avec c est un nombre réel à déterminer.

∎ Réciproquement, la droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0 admet le vecteur n(a ; b) pour vecteur normal.

Cliquer ici pour télécharger la Géométrie repérée première spé cours